Математические модели Лекция № 8. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ

Математические модели Лекция № 8. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ

Получение моделей элементов (моделирование элементов) в общем случае — процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математиче ских соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает проектировщик. Методы получения функциональных моделей элементов делят на теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы основаны на изучении физических закономер ностей протекающих в объекте процессов, определении со ответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предпо ложений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели. Экспериментальные методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов пли проведении целенаправленных экспериментов.

Несмотря на эвристический характер многих операций моделирования имеется ряд положений и приемов, общих для получения моделей различных объектов. Достаточно общий характер имеют методика макромоделирования, математические методы планирования экспериментов, а так же алгоритмы формализуемых операций расчета численных значений параметров и определения областей адекватности.

Методика макромоделирования Применение методики состоит из следующих этапов: 1. Определение тех свойств объекта, которые должны отражаться моделью (устанавливаются требования к степени универсальности будущей модели). 2. Сбор априорной информации о свойствах моделируемого объекта. Примерами собираемых сведений могут служить справочные данные, математические модели и результаты эксплуатации существующих аналогичных объектов к т. п.

3. Получение общего вида уравнений модели (структуры модели). Этот этап в случае теоретических методов включает выполнение всех присущих этим методам операций, перечисленных выше. Часто проектировщику модели удобнее оперировать не уравнениями, а эквивалентными схемами, с помощью которых инженеру проще устанавливать физический смысл различных элементов математической модели.

4. Определение численных значений параметров модели. Возможны следующие приемы выполнения этого этапа: а) использование специфических расчетных соотношений с учетом собранных на этапе 2 сведений; б) решение экстремальной задачи, в которой в качестве целевой функции выбирается степень совпадения известных значений выходных параметров объекта с результатами использова ния модели, а управляемыми параметрами являются параметры модели; в) проведение экспериментов и обработка полученных результатов.

5. Оценка точности полученной модели и определение области ее адекватности. При неудовлетворительных точностных оценках выполняют итерационное приближение к желаемому результату повторением этапов 3 — 5. 6. Представление полученной модели в форме, приня той в используемой библиотеке моделей.

Методы планирования экспериментов Для целей моделирования используют пассивные и активные эксперименты. В пассивных экспериментах нет возможности выбирать условия опыта по своему усмотрению и устанавливать значения факторов на желаемом уровне. В активных экспериментах опыты проводятся по заранее разработанному плану, выражающему количество опытов и значения факторов в каждом опыте.

Выбор вида зависимости выходного параметра макромодели у (в общем случае рассматривается вектор выход ных параметров Y ) от внешних параметров q k объединен ных в вектор факторов Q , осуществляется проектировщиком. Чаще всего в методах планирования эксперимента используются модели линейные (4. 4) или квадратичные (4. 5)AQy ABy

где А — вектор — строка коэффициентов (параметров) модели; В — вектор, включающий факторы q k , те или иные произведения из двух, трех или более факторов и возможно также квадраты факторов , p — число факторов. Число опытов N , как правило, должно превышать число определяемых параметров вектора А. Параметры рассчитывают по методу наименьших квадратов, т. е. из условия минимизации суммы квадратов отклонений значений , определенных по уравнению модели (4. 4), и измеренных значений y l. 2 kq pk , 1 ly~

( 4. 5 ) где l — номер опыта. В зависимости от способов планирования преимущества активных экспериментов перед пассивными могут выражаться в получении оптимального положения области адекватности, в ее увеличенном объеме, в упрощении оце нок точности и т. п. m l ll Ay. Ay 1 2)(~min

Регрессионный анализ Связь между у и Q может быть не функциональной, а статистической, что особенно харак терно при пассивных экспериментах. Для получения моде лей в такой ситуации часто применяют регрессионный ана лиз. Модель ищется в форме уравнения регрессии (4. 4), в котором роль коэффициентов a k в векторе А выполняют коэффициенты относительной регрессии.

Рассмотрим алгоритм вычисления коэффициентов a k. По результатам пассивных экспериментов получаются оценки математических ожиданий М у , М к , среднеквадра тичных отклонений σ y , σ k соответственно для выходного у и внешних q k параметров, а также коэффициенты корре ляции r k между у и q k , образующие вектор R , и коэффициенты корреляции d kj между факторами q k и q j , образую щие матрицу D. Далее решается система линейных алгеб раических уравнений

(4. 6 ) и полученный вектор используется при расчете относительных коэффициентов регрессии по формуле Если факторы qk некоррелированы, то D — единичная матрица и можно обойтись без решения системы (4. 6) , так как . RD ), . . . , , ( 21 p k yk ka kk r

Диалоговое моделирование Наличие в методике макромоделирования эвристических и формальных операций обусловливает целесообразность разработки моделей элемен тов в диалоговом режиме работы с ЭВМ. Язык взаимодействия человека с ЭВМ должен позволять оперативный ввод исходной информации о структуре модели, об известных характеристиках и параметрах объекта, о плане экспериментов.

Диалоговое моделирование должно иметь программное обеспечение, в котором реализованы алгоритмы статистической обработки результатов экспериментов, расчета выходных параметров эталонных моделей и создаваемых макромоделей, в том числе расчета параметров по методам планирования экспериментов и регрессионного анализа, алгоритмы методов поиска экстремума, расчета областей адекватности и др. Пользователь, разрабатывающий модель, может менять уравнения модели, задавать их в аналитической, схемной или табличной форме, обращаться к нужным подпрограммам и тем самым оценивать результаты предпринимаемых действий, приближаясь к получению модели с требуемыми свойствами.