Математические методы проектирования инфокоммуникационных систем Лекция №
mmipk_01.ppt
- Размер: 494.5 Кб
- Автор:
- Количество слайдов: 24
Описание презентации Математические методы проектирования инфокоммуникационных систем Лекция № по слайдам
Математические методы проектирования инфокоммуникационных систем Лекция № 1 « Предмет курса. Основные понятия » доцент, к. т. н. Елагин В. С.
Краткая история Базовые результаты теории массового обслуживания были сформулированы в начале XX века. Основоположником ее прикладной ветви – теории телетрафика – считается датский математик А. К. Эрланг, родившийся в 1878 и умерший в 1929 году. Именно на результаты А. К. Эрланга – как на базовые положения теории массового обслуживания – ссылаются специалисты, занимающиеся подобными исследованиями. В настоящее время теория массового обслуживания, помимо инфокоммуникационных систем, эффективно используется для решения задач торговли, транспорта и других сфер экономической деятельности.
Ключевые понятия (1) Модель – это упрощенное подобие объекта или процесса, которое воспроизводит интересующие нас свойства и характеристики оригинала. Математическая модель – это система математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Моделирование – это построение, совершенствование, изучение и применение моделей реально существующих или проектируемых объектов, процессов, явлений. БСЭ: Задача – вопрос, требующий решения на основании определенных знаний и размышлений. БСЭ: Математическая модель – приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженного с помощью математической символики.
Ключевые понятия (2) Теория (от греческого Theoria – учение) – форма достоверных научных знаний: • представляющая собой множество логически увязанных между собой допущений и суждений ; • дающая целостное представление о закономерностях и существенных характеристиках объектов; • основывающаяся на окружающей реальности. Парадигма – совокупность наиболее общих идей и методологических установок в науке, признанных данным научным сообществом. Парадигма обладает двумя важными свойствами: • принята научным сообществом для дальнейшем работы ; • содержит « переменные» вопросы, то есть открывает простор для исследователей.
Ключевые понятия (3) Метод – это прием или способ действия. Методика – это совокупность методов, приемов проведения какой-либо работы. Методология – это совокупность методов, применяемых в какой-либо науке. Структура системы – это устойчивая упорядоченность в пространстве и во времени ее элементов и связей между ними. Устойчивость проекта ( project stability ) – это его эффективность при определенных изменениях условий реализации, то есть при выборе альтернативных сценариев. Проект считается абсолютно устойчивым ( absolutely stable ), если он эффективен при всех сценариях. Выделяют также достаточно устойчивые ( sufficiently stable ) и неустойчивые ( unstable ).
Большая и сложная система
Теория вероятностей – раздел математики, посвященный случайным величинам. Случайные величины обычно делят на дискретные и непрерывные. Допустим, что мы провели N измерений числа разговаривающих абонентов АТС. При этом K раз численность разговаривающих абонентов (событие » A «) была одной и той же. Тогда вероятность наступления интересующего нас события – P(A) определяется следующим образом: Основы теории вероятностей
Четыре основные аксиомы Теории вероятности (Колмогоров) приводятся ниже в следующей форме: а) каждому событию » A » ставится в соответствие неотрицательное число – его вероятность P(A) ≥ 0 ; б) вероятность достоверного события » Ω » равна единице – P( Ω ) =1; в) если » A » и » B » непересекающиеся события, то вероятность события » A » или » B » (оно обычно обозначается как » A + B «) – P(A + B) равна сумме P(A) + P(B) ; г) условная вероятность наступления события » B «, если уже произошло событие » A «, – P(B|A) определяется как P(AB) / P(A). Основы теории вероятностей
Условная вероятность Событие » AB » имеет одну особенность. Оно имеет место, когда события » A » и » B » наступают одновременно. Тогда вероятность события » B » при условии, что уже произошло событие » A «, представима как отношение площадей » AB » и » A «.
Выводы из аксиом Если могут наступить только события » A » и » Ā «, то справедливы такие соотношения: P(A + Ā) = 1 или P(A) = 1 — P(Ā). Очевидно также, что 0 ≤ P(A) ≤ 1. Из аксиомы (в) можно получить более общее соотношение для попарно непересекающихся событий: P(A + B + C + … + Z) = P(A) + P(B) + P(C) + … + P(Z).
Закон распределения Полной характеристикой случайной величины служит закон ее распределения. Этот закон устанавливает соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Основной интерес представляет функция распределения (ФР) случайной величины – F(t).
Закон распределения Пример ФР случайной величины показан на рисунке. Эта функция определена на отрезке [0, Tmax ].
F(t) = P(T > t). Иными словами ФР равна вероятности соблюдения неравенства T > t. На рисунке указаны две точки T x и T y , которым соответствуют вероятности P(T x > t) и P(T y > t). Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал ( T x , T y ), равна разности F ( Ty ) — F ( Tx ). В некоторых случаях практический интерес представляет дополнительная ФР – P(T ≤ t). Очевидно, что P(T ≤ t) =1 — F(t). Закон распределения
Характеристики случайной величины Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины Математическое ожидание определяет положение центра распределения случайной величины. Для функции f (t) (плотность вероятности) обычно определяют медиану и моду. Медиана делит площадь под кривой f (t) пополам. Мода непрерывной случайной величины – такое значение t , в котором функция f (t) достигает локального максимума. Если функция f (t) имеет один максимум, то распределение называется унимодальным.
Характеристики случайной величины
Характеристики случайной величины Дисперсия случайной величины – D(T) характеризует меру рассеяния случайной величины. Она рассчитывается как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения: D(T) = E[(t — T (1) ) 2 ]. Корень второй степени из дисперсии – σ называется среднеквадратическим (или стандартным) отклонением. Отношение среднеквадратического отклонения к среднему значению (если оно больше нуля) именуется коэффициентом вариации случайной величины – k :
Законы распределения В теории телетрафика часто используется предположение о пуассоновском законе распределения случайных величин. Такое предположение, например, было подтверждено экспериментально для потока вызовов, поступающих от абонентов телефонной станции. Для математического ожидания λ (интенсивность потока вызовов) плотность вероятности – p(x) определяется следующим образом: Функция распределения этого потока вызовов
Законы распределения
Законы распределения Второй интересный пример – дискретное равномерное распределение. Буквой » b » о бозначена левая граница области изменения случайной величины. Допустим, что рассматриваемая случайная величина принимает n значений.
В теории телетрафика часто используется экспоненциальное распределение , для которого функции f (t) и F(t) определяются такими формулами: Законы распределения Распределение Эрланга k-го порядка. Функции f (t) и F(t) для этого распределения вычисляются следующим образом: Очевидно, что при k =1 мы получаем экспоненциальное распределение.
Законы распределения
Законы распределения Последний пример связан с распределением случайной величины на ограниченном интервале. Речь идет о равномерном распределении на отрезке времени [ a, b]. В этом интервале функции f (t) и F(t) определяются следующим образом:
Использованные источники • Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. – М. : Книжный дом «Либриком», 2011. • Маликов Р. Ф. Основы математического моделирования. – М. : Горячая линия – Телеком, 2010. • Качала В. В. Основы теории системного анализа. – М. : Горячая линия – Телеком, 2007. • Городецкий А. Е. , Дубаренко В. В. , Тарасова И. Л. , Шереверов А. В. Программные средства интеллектуальных систем. – СПб. : Изд-во СПб. ГТУ, 2000. • Тарасенко Ф. П. Прикладной системный анализ. – М. : КНОРУС, 2010. • Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. – М. : Наука, 1976. • Энциклопедии и словари. • Ресурсы Internet.
Вопросы?