Математическая статистика Теория вероятностей Статистика Словом статистика

Математическая статистика. Теория вероятностей.

Статистика Словом «статистика» в XVIII веке стали обозначать сведения о государствах (от латинского status — состояние дел). Например, данные о населении, территории, экономике. Статистика – общественная наука, занимается получением, обработкой и анализом количественных и качественных данных о явлениях, происходящих в природе и обществе. Экономическая статистика, медицинская статистика, метеорологическая и т. д. Математическая статистика – о раздел математики, посвящённый методам и правилам обработки и анализа данных. Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Сбор данных Постановка задачи Обработка, сортировка, представление в удобной форме Выводы

Статистика Способы записи чисел, используемые при подсчётах: Сбор данных. Данные могут быть количественные (числа), или качественные (свойства объектов, например, цвет, имя, название города. ) Исходные данные получают в результате опросов, исследований, специально проведённых экспериментов или наблюдений (например, за явлениями природы. ) 12 3 4 5

Статистика Представление данных. Таблицы, графики Прогноз погоды, Санкт-Петербург, май 2013:

Статистика Представление данных. Диаграммы Гистограмма: (столбчатая диаграмма) Круговая диаграмма: (весь круг = 100 %) Составная гистограмма: Радиальная диаграмма: (роза ветров)

Инфографика — это визуальное представление информации. Один рисунок может заменить несколько страниц текста.

Инфографика Один рисунок заменяет несколько страниц текста

Статистика Один рисунок заменяет несколько страниц текста

Украина. Сельское хозяйство

Статистические характеристики Среднее, мода, медиана Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество Ср. арифм. = сумма чисел количество чисел Примеры: среднее арифметическое чисел 2 и 4 Два числа. Их сумма 6. Ср. арифм. 6/2 = 3 среднее арифметическое чисел: 1, 1, 4, 8 и 10 Пять чисел. Их сумма 24. Ср. арифм. 24/5 = 4, 8

Статистические характеристики Среднее, мода, медиана Мода ряда чисел – это число, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Примеры: Ряд 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3 , 5, 3 Мода – число 3. Оно встречается 4 раза. Ряд: 2, 1, 6, 8, 6, 2 В этом ряду 2 моды: число 2 и число 6. Ряд: 2, 1, 6, 8, 7, 4 В этом ряду моды нет. Мода часто используется для нечисловых данных (например цвет, вкус, запах). С её помощью определяют наиболее популярные типы товаров, что учитывается при прогнозе продаж или планировании производства.

Статистические характеристики Среднее, мода, медиана Медиана ряда чисел – это значение, находящееся посередине ряда чисел, упорядоченного по возрастанию. (Среднее арифметическое двух таких чисел, если общее количество чисел нечётно. ) Пример: Ряд 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3 , 5, 3 Упорядочим: 1, 1, 1, 2, 3, 3, 5 Медиана этого ряда: 1, 1, 1, 2, 3, 3, 5

Статистические характеристики Среднее, мода, медиана: что выбрать? Предположим, что в одной комнате оказалось 19 бедняков и один миллиардер. У бедняков по 5 $, у миллиардера — 1 млрд. $ Среднее арифметическое: Разделим все деньги (1 000 095 $) поровну на 20 человек, то получим, что у каждого $50 004, 75. Медиана: $5 (значение в середине упорядоченного ряда) Мода: $5 (значение, которое встречается чаще всего)

Статистические характеристики Среднее, мода, медиана: что выбрать? 11 учеников бежали 100 метров. Результаты (в секундах): Вася 15, 3 Петя 16, 9 Лена 21, 8 Медиана: Катя 18, 4 Результат ученика, прибежавшего Стас 16, 1 «средним» – шестым из одиннадцати – Алла 25, 1 равен 16, 9 с. Оксана 19, 9 Боря 15, 5 Среднее арифметическое: Паша 14, 7 примерно 18, 3 с. Наташа 20, 2 Миша 15, 4 Упорядоченные результаты 14, 7 15, 3 15, 4 15, 5 16, 1 16, 9 18, 4 19, 9 20, 2 21, 8 25, 1

Статистические характеристики Размах На поверхности Меркурия средняя температура равна +15°С, но… температура колеблется от -150 °С до +350 °С Размах – разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных. Размах температуры на Меркурии 500 °С

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Как наука теория вероятности зародилась в 17 в. Первые исследования относились к изучению азартных игр (азарт – от французского слова hazard, означающего «случай» , «риск» ). Затем 18 -19 веках теория вероятностей находит применения в естествознании и технике (геодезии, астрономии, в теории стрельбы и т. д. )

Основные понятия n n Случайные эксперименты – это различные, опыты, испытания, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая и которые можно повторить много раз в одинаковых условиях. Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента в одних и тех же условиях. Достоверные события – это события, которые при данных условиях всегда выполняются обязательно. Невозможные события – это события, которые в данных условиях никогда не происходят. События Невозможные Достоверные Случайные

Теория вероятностей События Невозможные Достоверные Случайные Пример: n n Случайный эксперимент – бросание кубика (монеты, нескольких кубиков…) Случайное событие – выпадение на кубике определённого числа, например числа « 5» . Достоверное событие – выпадет целое положительное число. Невозможное событие – выпадет число 8.

Статистическое определение вероятности n n Относительная частота случайного события – это отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов. Если проведении большого количества случайных экспериментов, значение относительной частоты события А близко к некоторому числу, то это число называется вероятностью случайного события А. (Это статистическое определение вероятности) Вероятность события А обозначается Р(А). (От «probability» – вероятность, возможность. ) Вероятность выражается дробью от 0 до 1, либо в процентах, от 0 до 100%. Зная вероятность события, мы можем прогнозировать частоту его появления в будущем при большом количестве соответствующих экспериментов.

Пример. Эксперимент с бросанием кнопки Число экспериментов 10 20 30 50 Число падений кнопки острием вниз(частота) 5 Относительная частота падения кнопки острием вниз 0, 5 9 14 22 0, 45 0, 47 0, 44 100 200 500 1000 2000 45 92 226 450 909 0, 45 0, 46 0, 45 n. По данным таблицы можно сделать вывод, что вероятность падения кнопки острием вниз приблизительно равна 0, 45 или 45% Вероятность любого события может принимать значения от 0 (0%, невозможное событие) до 1 (100%, достоверное событие).

Теоретическое (классическое) определение вероятности Вероятность случайного события – это отношение числа «благоприятных исходов» (результатов) к общему числу всех возможных результатов. (Это теоретическое определение вероятности) Пример. Кидают кубик. Всего 6 возможных исходов (результатов). • Для события «выпало число 5» 1 благоприятный исход, вероятность этого события = 1/6. • Для события «выпало чётное число» 3 благоприятных исхода ( « 2» , « 4» и « 6» ), вероятность этого события = 3/6. • Для события «выпало число 7» нет благоприятных исходов, вероятность этого события = 0/6 = 0. В теории вероятностей такие события, как «выпадение на кубике числа 5» и «выпадение числа 3» предполагаются равновозможными (равновероятными).

Примеры задач В пакете лежат 20 зеленых и 10 желтых груш. Какова вероятность вынуть из пакета грушу? n. Какова вероятность вынуть из пакета яблоко? n n. В классе из 30 учеников, где 17 мальчиков и 13 девочек, наугад выбирается один. Какова вероятность того, что это мальчик? Решение: Обозначим через А событие: наугад выбранный ученик – мальчик. Мальчиков 17, всего детей 30, поэтому Р(А)=17/30.

Примеры решения задач n Студент не выучил 1 билет из 25 предложенных для экзамена. Какова вероятность того, что ему достанется выученный билет? n В лотерее 1000 билетов, из них 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет выигрышный? n В ящике 2 белых и 4 чёрных шара. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар: 1) белый, 2) чёрный, 3) красный 4) белый или чёрный?

Несовместимые результаты. Сложение вероятностей. Несовместные (взаимоисключающие) события – это события, которые не могут наступить одновременно. Для несовместных событий А и В вероятность наступления хотя бы одного из них равна сумме вероятностей: Р(А или В) = Р(А) + Р(В). Пример. • Для события «выпало число 5» 1 благоприятный исход, вероятность этого события = 1/6. • Для события «выпало число 6» 1 благоприятный исход, вероятность этого события = 1/6. • Для события «выпало число 5 или 6» 2 благоприятных исхода, вероятность этого события = 1/6 + 1/6 = 2/6. 1 результат из 6 возможных 2 результата из 6 возможных