Математическая обработка результатов измерений
• Математическая обработка результатов измерений Измерить физическую величину означает определить, с помощью измерительного прибора, во сколько раз она отличается от единицы измерения данной характеристики Измерения можно разделить на два типа прямые и косвенные Измерения никогда не могут быть абсолютно точными Виды погрешностей: • Случайные • Систематические • Промахи.
Математическая обработка результатов измерений Задача обработки всякого измерения состоит из: • нахождения наиболее вероятного значения измеряемой величины; • оценки погрешности измерения; • указания надежности результата, т. е. вероятности с которой истинное значение попадает в данный интервал. В соответствии с этим результат записывают вместе с погрешностью и вероятностью в виде: Х = Хизм Х; Р. Или как неравенство: , Р здесь Х погрешность измерения, Р вероятность.
• Нормальное распределение (распределение Гаусса) f(x) -σ +σ -2σ x 0 - σ< x 0+σ +2σ Р равна f(x) -3σ 0, 683 (68, 3%) x 0 - 2σ< x 0+2σ - 0, 950 (95%) x 0 - 3σ< x 0+3σ - 0, 997 (99, 7%) +3σ
Обработка прямых измерений (алгоритм прямых измерений) • 1. Найти сумму всех Х Таблица 1 № Хi Хi 1 2 Х 1 - Х 2 - 3 Х 3 . 2. Найти Х 3 - . n Хn (Хi - )2 Хn - 6. Определить. 7. Записать окончательный результат 3. Заполнить третий и четвертый столбцы таблицы. 4. Сосчитать сумму в четвертом столбце 5. Рассчитать среднеквадратичную погрешность среднего арифметического, используя полученную сумму
• № di, мм Обработка прямых измерений (пример) =19, 55 / 5 =3, 910 мм 1 3, 9 0, 01 0, 0001 2 3, 85 0, 0036 3 3, 88 0, 0009 4 3, 97 0, 06 0, 0036 5 3, 95 0, 04 0, 0016 Для доверительной вероятности Р = 0, 95 и числа измерений n = 5, коэффициент Стьюдента 0, 0098 =3, 2, ∑ 19, 55 мм тогда = 3, 2× 0, 022= 0, 070 мм Окончательный результат: = (3, 91 0, 07 P=0, 95 ) мм Относительная погрешность d = (0, 07 / 3, 91)100% = 1, 8%
Обработка косвенных измерений (функция одной переменной) Пусть искомая физическая величина Y является функцией измеряемой величины X. Y =f(X) Значение искомой функции следует находить, как функцию среднего арифметического значения измеренной величины. Воспользуемся известным соотношением между дифференциалом функции df(X) и бесконечно малым приращением аргумента d. X Полагая X d. X, а где X =t p, n-1 SX Y d. Y , получаем выражение для погрешности функции: производная функции при X =
Обработка косвенных измерений (функция одной переменной) Учитывая то, что:
Обработка косвенных измерений (функция многих переменных) Пусть искомая физическая величина Y является функцией нескольких измеряемых величин Y= f(X 1, X 2, …Xn) Каждая из величин X 1, X 2, …Xn определяется с соответствующей погрешностью X 1, X 2, … Xn Тогда среднеквадратичная погрешность функции: И доверительный интервал (если погрешности различных измеряемых величин определены с одной и той же доверительной вероятностью):
Обработка косвенных измерений (функция многих переменных) Относительная погрешность функции может быть вычислена по формуле
Обработка косвенных измерений (функция многих переменных) 1. Погрешность алгебраической суммы 2. Погрешность произведения (частного)
Некоторые правила приближенных вычислений Правила округления Ø Отбрасываемая (n+1)-я цифра меньше 5 – оставшаяся n-я цифра не изменяется. Например: 5, 764 5, 76 или 423, 1 423. Ø Отбрасываемая (n+1)-я цифра больше 5 – оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Например: 15, 6 16 или 189 190. Ø Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я отлична от 0 – оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Например: 23, 52 24 или 0, 3453 0, 35. Ø Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я и более мелкие разряды равны 0. В этом случае принято округлять до четой цифры. Если оставшаяся n-я цифра четная – ее сохраняют, если нечетная – ее увеличивают на единицу. Примеры: 13, 50 14; 275 280; 0, 5450 0, 54
Некоторые правила приближенных вычислений Правила действий с приближенными числами Сложение и вычитание Неверно Верно 34, 666 + 12, 01 7, 7 54, 376 34, 666 + 12, 01 7, 7 54, 4 4, 67 + 3, 33 8, 00 6, 266 - 2, 066 4, 2 6, 266 - 2, 066 4, 200 Абсолютная погрешность суммы не меньше чем в слагаемом, имеющем наибольшую абсолютную погрешность.
Некоторые правила приближенных вычислений Умножение и деление Неверно Верно 0, 125× 8, 0=1, 00 4 × 0, 1111=0, 4444 4 × 0, 1111=0, 4 81, 18 : 9, 0 =9, 02 81, 18 : 9, 0 =9, 0 Относительная погрешность произведения (и частного) равна корню квадратному из суммы квадратов относительных погрешностей всех сомножителей
Скачать презентацию Математическая обработка результатов измерений Математическая
Matobrabotka-2 - копия.ppt