Линейные однородные ДУ n -го порядка с постоянными

Линейные однородные ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами 0. . . 2 2 2 1 1 yayaynn naaa, . . . , , 21 — постоянные

• Если имеет место равенство где — постоянные, не все равные нулю, то говорят, что выражается линейно через функции )(. . . )()()(112211 x. Ax. Axnnn Dx 121, . . . , , n. AAA )(xn )(), . . . , (), (121 xxxn

• n функций называются линейно независимыми , если никакая из этих функций линейно не выражается через остальные. )(), . . . , (), (121 xxxxnn

Замечание Если функции линейно зависимы, то найдутся постоянные С 1 , С 2 , …, Сn не все равные нулю, такие, что будет выполняться тождество )(), . . . , (), (121 xxxxnn Dx 0)(. . . )()(2211 x. Cx. Cnn

Пример 1. Например, функции xxx eyeyey 3, , 2 линейно зависимые, так как при 3 1 , 0, 1321 CCC имеет место тождество: 033 2 21 xxx e. Ce.

Пример 2. Например, функции 2 , , 1 xyxyy линейно независимые, так как ни при каких 321, , CCC одновременно не равных нулю, выражение не равно нулю: 0 2 321 x.

Пример 3. Например, функции xkxkxkneyeyey, . . . , , 21 линейно независимые, так как ни при каких n. CCC, . . . , , 21 одновременно не равных нулю, выражение не равно нулю: 0. . . 21 21 xk n xkxkne. Ce.

Теорема Если функции у 1 , у 2 , …, у n являются линейно независимыми решениями уравнения то его общее решение есть где С 1 , С 2 , …, С n — произвольные постоянные. 0. . . 2 2 2 1 1 yayaynn nny. Cy. Cy. . .

Нахождение общего решения ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами. 1. Составляем соответствующее характеристическое уравнение: 0. . . 2 2 1 1 n nnn akakak 2. Находим корни характеристического уравнения: k 1 , k 2 , …, k n

3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения: а) каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение b) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней соответствует два частных решения и kx e ik xe x cosxe x sin

с) каждому действительному корню кратности r соответствует r линейно независимых частных решений d) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности r соответствуют 2 r частных решений: Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения (т. е. столько , каков порядок данного линейного ДУ) kxrkxkx exxee 1 , . . . , , ik xexxxexe xrxx cos. . . , , cos 1 xexxxexe xrxx sin. . . , , sin

4. Найдя n линейно независимых частных решений у 1 , у 2 , …, у n , строим общее решение данного линейного уравнения: где С 1 , С 2 , …, С n – произвольные постоянные. nny. Cy. Cy. . .

Пример 1. Решить ДУ: 0 yy IV Решение. Характеристическое уравнение: 01 4 k 012 2 k 011 22 kk 1, 1101)121 22 kkkk ikikkk 4322, 101)2 x. Ce. Cy xx sincos 4321 Ответ. Общее решение:

Пример 2. Решить ДУ: 027279 3456 yyyy )( 2 654 32 321 x. CCex. CCy x Решение. Характеристическое уравнение: 027279 3456 kkkk 0)27279( 233 kkkk 2 321321 3 , , 100)1 xyxyykkkk Ответ. 0)3( 33 kk 303)2654 3 kkkk xxx exyxeyey 32 6 3 5 3 4, ,

Пример 3. Решить ДУ: 04110 yyy )4 sin 4 cos(32 5 1 x. Ce. Cy x Решение. Характеристическое уравнение: 04110 23 kkk 0)4110( 2 kkk 100)111 ykk Ответ. Общее решение xeyik kkx x 4 sin 45 4 cos 45 04110)