Линейные формы Определение 1. Линейной формой (или линейной

Линейные формы

Определение 1. Линейной формой (или линейной функцией) на векторном пространстве V называется всякая функция h: V –> K, обладающая следующими свойствами 1) h(x+y) = h(x) + h(y); 2) h(rx) = rh(x). Иными словами, линейная форма – это линейное отображение пространства V в поле K, рассматриваемое как (одномерное) векторное пространство.

Пример 1. Как доказывается в курсе аналитической геометрии, функция h(x) = (s, x) (s – вектор из Е3) является линейной функцией на пространстве Е3.

Пример 2. Функция h(f) = f(xo) (xo – элемент из X) является линейной функцией на пространстве F(X,K) функций на множестве X со значениями в поле K.

Пример 3. Функция h(f) = f / (xo) (xo – элемент из R) является линейной функцией на пространстве C1 (R) дифференцируемых функций на вещественной прямой.

Пример 4. является линейной функцией на пространстве C[a, b] непрерывных функций на отрезке [a, b].

Пример 5. Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов. След матрицы X обозначается через trX. Функция h(X) = trX является линейной функцией на пространстве Ln(K) квадратных матриц.

Если x1, x2, …, xn – координаты вектора x в базисе {e1,e2,…,en}, то h(x) = a1x1+a2x2+…+anxn, (1) где ai = h(ei). Таким образом, линейная функция однозначно определяется своими значениями на базисных векторах, называемых ее коэффициентами в данном базисе. Коэффициенты могут быть произвольными: для любых a1, a2, …,an из поля К функция h, определяемая формулой (1), является линейной.

Линейные функции образуют подпространство в пространстве F(V,K) всех функций на V со значениями в K. Определение 2. Пространство линейных функций на V называется сопряженным пространством по отношению к V и обозначается через V*.

Пусть {e1,e2,…,en} – базис пространства V. Линейные функции g1,g2,…,gn из V*, определяемые равенствами gi (x) = xi , называются координатными функциями относительно базиса {e1,e2,…,en}. Они составляют базис пространства V*, который называется сопряженным базисом по отношению к {e1,e2,…,en}.

Из определения сопряженного базиса следует, что для любого вектора x из V x = g1(x)e1 + g2(x)e2 +…+ gn(x)en, (2)

Сопряженный базис может быть также определен условиями

Из предыдущего следует, что dim V = dim V*, так что пространства V и V* изоморфны, хотя между ними не существует никакого естественного (выделенного) изоморфизма. Однако второе сопряженное пространство V** = (V*)* оказывается естественно изоморфным пространству V.

Из определения операций в пространстве V* следует, что для любого вектора x из V функция fx на V*, определенная по формуле fx(h) = h(x), является линейной.

Теорема 1. Отображение x –> fx является изоморфизмом пространства V на пространство V**. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения линейных функций следует, что fx+y = fx + fy и frx = r fx . Остается проверить, что отображение x –> fx биективно.

Отображение x –> fx – биективно ? Пусть {e1,e2,…,en} – базис пространства V и {g1,g2,…,gn} – сопряженный базис пространства V*. Тогда

Отображение x –> fx – биективно ? Отображение x –> fx переводит вектор с координатами x1, x2, …, xn в базисе {e1,e2,…,en} пространства V в вектор с такими же координатами в базисе

В дальнейшем мы будем отождествлять пространства V и V** посредством указанного изоморфизма, т.е. рассматривать каждый вектор x из V одновременно и как линейную функцию на V* (и писать x(h) вместо fx(h) ). При таком соглашении пространства V и V* будут играть совершенно симметричную роль.

Следствие. Всякий базис пространства V* сопряжен некоторому базису пространства V.

Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между подпространствами пространств V и V*, при котором каждому k-мерному подпространству пространства V соответствует (n-k)-мерное подпространство пространства V* (где n=dimV).

Определение 3. Аннулятором подпространства U пространства V называется подпространство

Теорема 2. dimU0 = dimV – dimU. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {e1,e2,…,en} – такой базис пространства V, что U= , и {g1,g2,…,gn} – сопряженный базис пространства V*. Тогда U0 = .

В соответствии с нашим отождествлением пространств V** и V, мы можем говорить об аннуляторе подпространства W пространства V* как о подпространстве пространства V. По определению

Теорема 3. (U0)0 = U для любого подпространства U пространства V. Д о к а з а т е л ь с т в о. В обозначениях доказательства теоремы 2, ясно, что (U0)0 = = U. Следствие. Любое подпространство в V является аннулятором некоторого подпространства в V*.

Пусть имеется система однородных линейных уравнений Будем интерпретировать x1,…, xn как координаты вектора x n-мерного пространства V в некотором базисе {e1,e2,…,en} . Тогда система (2) может быть записана в виде hi(x)=0 (i=1,…,m), где h1,…,hm – линейные функции, стоящие в левых частях уравнений (2).

Множество решений этой системы представляет собой аннулятор подпространства пространства V*. Заметим, что размерность этого подпространства равна рангу матрицы коэффициентов системы (2). Поэтому теорема о размерности подпространства решений системы однородных линейных уравнений является непосредственным следствием теоремы 2.

Следствие. Любое подпространство в V является аннулятором некоторого подпространства в V*. Следствие теоремы 3 в этом контексте может быть сформулировано так: Теорема 4. Всякое подпространство в V является множеством решений некоторой системы однородных линейных уравнений.