Линейные электрические цепи переменного однофазного тока Получение синусоидальной

Линейные электрические цепи переменного однофазного тока Получение синусоидальной эдс. Лекция 3 Криворожский национальный университет Кафедра электромеханики Доцент кафедры электромеханики, к. т. н. Рожненко Ж. Г. Способы представления синусоидальных величин. Целесообразность применения энергии переменного тока Основные параметры цепей синусоидального тока i ( t ) = I m sin(ω t + ψ i )Элементы R , L , C в электрической цепи синусоидального тока Мощности в цепях синусоидального тока

Электрические цепи переменного синусоидального тока – цепи, в которых эдс, ток и напряжения изменяются по величине и направлению по синусоидальному закону. Получение синусоидальной эдс N Se e e Устройство синхронного генератора: 1 2 В генераторах переменного тока получают эдс, изменяющуюся во времени по закону синуса, и тем самым обеспечивают наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок. Синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм. При этом для расчета используются законы Ома и Кирхгофа, но записанные в векторной или комплексной форме. 1) статор – неподвижная часть машины. Полый цилиндр собранный из тонких листов электротехнической стали (0, 35 -0, 5 мм), изолированных друг от друга лаком. В пазах статора размещена обмотка; 2) ротор – вращающаяся часть. Электромагнит с обмоткой возбуждения, которая через кольца и щётки подсоединена к источнику постоянного тока.

В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Это объясняется преимуществом производства и распределения этой энергии. Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основные преимущества переменного тока по сравнению с постоянным: — генераторы синусоидального тока значительно дешевле в производстве, чем генераторы постоянного тока; — переменный ток легко преобразуется в постоянный; — трансформация и передача электрической энергии переменным током экономичнее чем постоянным; — двигатели переменного тока имеют простую конструкцию, высокую надежность и невысокую стоимость. Целесообразность применения энергии переменного тока

Основные параметры цепей синусоидального тока I m — максимальная амплитуда тока ( амплитудное значение ); — угловая частота [1/c] или [рад/c]; f — частота колебаний [Гц]; Т — период [с]; i — начальная фаза, , Синусоидальный ток может быть представлен посредством действительной функции времени: Значение тока, напряжения, эдс в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно i , u , e. T= 2 ; =2 f ; — фаза, рад; Действующее значение тока обозначается I : Измерительные приборы показывают действующие значения. sin( )i I tmi ti 2 2 0 T I r. T i rdt 2 0 1 T I i dt T 1 cos 2( )1 12 2 sin ( ) 0, 707 220 0 T Tt dt. Ii m. I I r t dt I Im mi. T T

Способы представления синусоидальных токов, напряжений, эдс • Временная диаграмма. • Аналитическое выражение (формула) : • Графоаналитический способ (векторы). Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора. Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины. Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, эдс) одной и той же частоты называют векторной диаграммой. x y o A 1 A 2 A 3 A 4 i, A t a a 1 2 3 4 sin( )i I tmi

Способы представления синусоидальных токов, напряжений, эдс • Комплексные числа. Синусоидальный ток можно представить комплексным числом Í m на комплексной плоскости: где амплитуда тока I m – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, т. е. аргумент комплексного тока. Символический метод расчёта цепей синусоидального тока — использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Комплексное действующее значение тока Í : ji. I I em m & 2 j. Imi. I Ie & &

Основные формы записи комплексных чисел: — показательная форма записи ; — алгебраическая форма записи; Пример 1 : Для мгновенного значения В +j b 0 a +1 &I — модуль комплексного числа (длина вектора); — аргумент комплексного числа (угол вектора); — действительная (вещественная) часть комплексного числа; — мнимая часть комплексного числа; — действующее значение тока. Пример 2 : определить мгновенное значение тока. определить комплексное значение напряжения. Для А j. I Ie g I a jb g 2 2 I a b barctg a a I cos b I sin 141 (314 30 )( )sin tu t o 2 m. II 60 10 j I e o &

Основные действия над комплексными числами: — сложение (вычитание): — умножение: — деление: — сопряжённое комплексное число: Комплексное число е j называется оператором поворота, т. к. при умножении любого числа на е j — вектор поворачивается на комплексной плоскости на угол . Умножение числа на j поворачивает вектор на плоскости на 90 против часовой стрелки, если “+” и по часовой, если “-“. 11 1 j. A A e a jb &22 2 j. A A e a jb & 1 2 1 2( )A A a a j b b & & 1 2( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2( )( ) ( )j. A A e a jb a a b b j a b & & 11 12 22 ( )A Aje AA & & 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 22 2 2 2 ( )( )A a jb a a b b a b j A a jba b a b *j. A Ae a jb 2 AA A & 90 je j

Элементы R , L, C в электрической цепи синусоидального тока • Активное сопротивление R. — закон Ома для амплитудных значений. — закон Ома для действующих значений. — начальные фазы напряжения и тока. Если — закон Ома для комплексных значений тока и напряжения. — закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения. sin(ω ψ )m uu U t u i R sin( ω ψ ), m u. U i t R sin( ). m ui I t m m UI R U I R ui ψ то, uj U Ue&ψ ψ. ij j. U U I Ie e R R & &u U I R & &

• Индуктивность L. Элементы R , L, C в электрической цепи синусоидального тока Согласно закону электромагнитной индукции: По второму закону Кирхгофа: — закон Ома для мгновенных значений. — мгновенное значение тока. — закон Ома для амплитудных значений. — закон Ома для действующих значений. — реактивно-индуктивное сопротивление. Начальные фазы напряжения и тока: Т. е. в индуктивности напряжение опережает ток на 90 . — закон Ома для комплексных значений тока и напряжения. sin( )i I tmi . ddi e L dt dt . u e di u L dt cos( ) sin( 90 )u LI t m m i i o ω ω m m m L U U U LI I L x L U I x f. LLx. L 2ω , 90 ui o. 90 u i o ψ ( ψ 90 ) ψ90. u i ij j jj L L LU Ue Ix e e Ijx & & L U I jx & &

• Ёмкость C. Элементы R , L, C в электрической цепи синусоидального тока Ток – скорость изменения заряда во времени: где — закон Ома для мгновенных значений. — мгновенное значение напряжения. — закон Ома для действующих значений. — реактивно-ёмкостное сопротивление. Начальные фазы напряжения и тока: Т. е. в ёмкости ток опережает напряжения по фазе на 90 . — законом Ома для комплексных значений тока и напряжения. — закон Ома для амплитудных значений. sin(ω ψ )m uu U t , dq i dt. q Cu du i C dt )90ψωsin(ω)ψωcos(ωumumt. CUi; 1 Um. I CUm m C 1 1 2 C x C f. C C U I x C Um. Imx , 90 u i o. 90 ui o CU I jx & & ψ ( ψ 90 ) ψ90, i u uj j jj C C U U I Ie e j x x x jx & & &

Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока Первый закон Кирхгофа: — для мгновенных значений: — для комплексных значений: Второй закон Кирхгофа: — для мгновенных значений: — для комплексных значений: Все методы расчета, которые основаны на законах Кирхгофа справедливы и для цепей синусоидального тока в комплексной форме. Комплексный метод называется еще символическим методом расчета. , т. к. при расчете используется не истинные токи, напряжения, ЭДС, а их символы (комплексные числа). Переход к символам позволяет систему дифферинциальных уравнений для мгновенных значений токов заменить системой алгебраических уравнений для комплексов. Комплексный (символический) метод расчёта цепей синусоидального тока 0; ki 0. k. I & ; k ku e . k k. I Z EU & &&

Последовательное соединение элементов R , L , C Второй закон Кирхгофа для мгновенных значений напряжений: Второй закон Кирхгофа для комплексных действующих значений напряжений: По закону Ома для элементов электрической цепи в комплексной форме: где — комплексное сопротивление цепи. — модуль комплексного сопротивления цепи. — угол смещения фаз между напряжением и током на входе схемы. Таким образом: — закон Ома для действующих значений. . R L Cu u R L C U U & &. ; RU I R & &; L LU Ijx& &( ). C CU I jx & & ( )]. L CU I R j x x & & ( ) j L CZ R j x x R jx ze 2 2( )L Cz R x x L Cx x x arctg R R , ψ ψ. u i j j i uj U Ue I Ie Zze & & U I z

Последовательное соединение элементов R , L , C Векторная диаграмма: в зависимости от соотношения x L и x C — активно-индуктивный характер электрической цепи. — активно-ёмкостной характер электрической цепи. возможно три состояния цепи: — активный характер электрической цепи. Резонанс напряжений. 1. 0 0 L C u ix x x 2. 0 0 L Cx x x u i 3. 0 0 L Cx x xui

Последовательное соединение элементов R , L , C Резонанс напряжений Резонансом называется режим работы участка цепи с реактивными элементами, в котором ток и напряжение совпадают по фазе. Сопротивление электрической цепи является чисто активным. Резонанс может быть достигнут изменением частоты, индуктивности или емкости. При резонансе напряжений напряжение на реактивных элементах может превышать входное. Добротность контура — Q : Волновое сопротивление контура: , , U I z R min I max. R ( ) ; L CZ R j x x R Условие резонанса напряжений ; соответственно 0. L Cx x x 0 0 0 1 1 ω ; ωрезонансная круговая частота. ω L CLC L L LU Ix x Q U IR R L

Последовательное соединение элементов R , L , C Резонанс напряжений Режим резонанса характеризуется частотными и резонансными характеристиками. Частотными характеристиками называются зависимости реактивных сопротивлений и угла от частоты. Резонансными характеристиками называются зависимости тока и напряжения от частоты. 1 1 ω ; ; . L Cx L x arctg C r 0 1 L

Комплексный метод анализа цепей синусоидального тока 2. Представить исходные данные о параметрах всех источников и элементов цепи в комплексной форме: J ( t )→ , e ( t ) → и R , X L , X C. 1. Выбрать положительное направление токов во всех ветвях, указав их стрелками на схеме. 3. Пользуясь законами Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составить систему уравнений и определить комплексные значения токов во всех ветвях схемы. 4. Перейти от комплексных значений токов (напряжений) к их мгновенным значениям i ( t ) или u ( t ). → Eg. J g ( ) sin(ω ψ )m ee t E t. 2 me. Ej E e g ω 2 ; LZ jx j L j f. L . 1 1 — 2 CZ jx j j C f. C ; Z R

Задача 1. Определить мгновенное значение тока, если параметры элементов: R =3 Ом, X L =4 Ом, X C =8 Ом. Приложенное напряжение равно: Расчёт электрических цепей синусоидального тока Решение. ( ) 141 sin(314 30 ) B. u t t

Мощности в цепях переменного тока Активная мощность P – среднее значение мгновенной мощности за период. Характеризует скорость преобразования электроэнергии в другие её виды: Мгновенная мощность p – произведение мгновенных значений напряжения и тока: Максимальное значение активной мощности, которое может быть получено при данных значениях напряжения и тока, называется полной мощностью S. Реактивная мощность Q – это мощность обмена энергии между источником и реактивным элементом. Для удобства и упрощения вычислений вводится понятие комплексной мощности — произведение комплексного, действующего значения напряжения на сопряженный комплекс тока: p ui sin( ). m ii I t sin(ω ψ ), m uu U t 0 , 1 T P pdt T , Втcos. P UI BA, S UI, вар. sin. Q UI 2 2 S P Q cos sin. ~ u ij jj j S U I Ue Ie UIe Se S j. S P j. Q

Расчёт электрических цепей синусоидального тока Задача 2. Определить активную, реактивную и полную мощности в цепи переменного тока, если( ) 282 cos( 15 ) B иu t t ( ) 5 2 sin( 60 )А. i t t

Параллельное соединение элементов R , L , C Согласно первому закону Кирхгофа и закону Ома в комплексной форме: — комплексная проводимость — закон Ома для комплексных значений ; — закон Ома для действующих значений. ; ; ; ( ). R L C R LL CC I I U I R U I jx g g g g g ; R U I U g R g g g ( ); LL L U I U jb jx g g g ( ). CC CU I U jb jx g g g L CI U g j b b U Y g g g Z Y 1 ( )j L CY g j b b g jb ye I U Y g g I Uy

Параллельное соединение элементов R , L , C — реактивная проводимость ; — модуль полной проводимости ; — активная проводимость ; — аргумент полной проводимости ; — реактивно-индуктивная проводимость ; — реактивно-ёмкостная проводимость. ( )j L CY g j b b g jb ye L Cb b b 2 2 ( ) L Cy g b b 1 g R L Cb bbarctg g g 1 L Lxb 1 C Cx b

Векторная диаграмма: возможны три характера цепи: Параллельное соединение элементов R , L , C — активно-индуктивный характер электрической цепи. в зависимости от соотношения параметров b L и b C — активно-ёмкостной характер электрической цепи. — активный характер электрической цепи. Резонанс токов. 1. 0 0 L C u ib b b 2. 0, 0 L C u ib b b 3. 0, 0 L C u ib b b

Резонанс токов R 1 I a b. U CL R 2 I 1 I 2 Согласно первому закону Кирхгофа: — полная проводимость ; 1 2 I I I g g g 1 1 1 2 2 1 1 ( )1 1 ; ( )L L L R jx Y Z R jx. R x 1 1 1 2 2 1 1 11 ; L LR x Y j g jb Z R x 11 1 1 1( ) ; L a p. I U Y U g jb I j. I g g g 2 2 2 2 2 ( )1 1 ; ( )С С С С С R jx x. R Y j g jb Z R jx. R x R x 22 2 2 2( ) ; С a p. I U Y U g jb I j. I g g g 1 2( ) ( )LСY Y Y g g j b b g jb ( ). I U Y U g jb g g g

Резонанс токов R 1 I a b. U CL R 2 I 1 I 2 Условие резонанса токов: & & RI I& 2 I & U 0+ j +1 1& IПри резонансе токов входной ток определяется только активной проводимостью: Частотные резонансные характеристики проводимостей реактивных элементов. ( ). I U Y U g jb g g g L Cb b 2 2 1 ; L L L x b R x 2 2 2 ; C C Cx b R x 2 2 1 2( ) ( )L CI Uy U g g b b Ug min. I 0 u i 0. b

Электрические цепи с магнитно-связанными элементами Когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны , а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи ( k c ). где М – взаимная индуктивность элементов цепи (размерность – Гн); L 1 и L 2 -собственные индуктивности этих элементов. Взаимная индуктивность ( M ) двух катушек зависит от числа витков, геоме-трических размеров магнитопровода и взаимного расположения катушек, а также от абсолютной магнитной проницаемости среды. Два зажима называют одноименными , если при одинаковом направлении токов относительно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются. Такие выводы обозначают на схемах одинаковыми условными значками, например, точками или звездочками, ( a 1 и a 2 ), ( b 1 и b 2 ). — сопротивление взаимной индуктивности (размерность – Ом). a 1 a 2 b 1 b

Электрические цепи с магнитно-связанными элементами взаимной индукции первого элемента входит в уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, со знаком «+» . Если направление обхода контура одного элемента и направление тока в индуктивно-связаном с ним элементе совпадают (т. е. одинаково ориентированы относительно одноимённых зажимов), то напряжение Система уравнений электрической цепи, составленных по законам Кирхгофа:

Последовательное соединение индуктивно-связанных элементов Векторная диаграмма: Согласное включение катушек Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа в символической форме. Действующее значение тока в цепи: 1 1 2 2 1 2( ) ( 2 )U IR Ij L Ij M I R R j L L M & & & &

Последовательное соединение индуктивно-связанных элементов Встречное включение катушек Векторная диаграмма: Действующее значение тока в цепи: Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа в символической форме. 1 1 2 2 1 2( ) ( 2 )U IR Ij L Ij M I R R j L L M & & & &

Определение взаимной индуктивности опытным путём 1) Последовательное соединение катушек (согласное и встречное). 2) Схема соединения трансформатора (опыт холостого хода). 1 а) согласное включение катушек: 1 б) встречное включение катушек: согл 1 2 встр 1 2 2 2 М М x x x x

Уравнения и векторная диаграмма линейного трансформатора

Топографическая диаграмма — совокупность точек на комплексной плоскости изображающие комплексные значения потенциалов одноимённых точек электрической схемы. При построении топографической диаграммы потенциал любой одной точки схемы принимают равным нулю. Рассмотрим контур: dcbad. Для построим топографическую диаграмму совмещённую с векторной диаграммой токов.

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ !