Линейная алгебра 2 Финансовый Университет при Правительстве РФ

  • Размер: 547 Кб
  • Количество слайдов: 72

Описание презентации Линейная алгебра 2 Финансовый Университет при Правительстве РФ по слайдам

  Линейная алгебра 2 Финансовый Университет при Правительстве РФ Москва - 2014 г. Кафедра «Прикладная Линейная алгебра 2 Финансовый Университет при Правительстве РФ Москва — 2014 г. Кафедра «Прикладная математика» . Угрозов Валерий Вячеславович

  Рекомендуемая литература  • Методы оптимальных решений в экономике и финансах.  Под. ред. Рекомендуемая литература • Методы оптимальных решений в экономике и финансах. Под. ред. В. М. Гончаренко, В. Ю. Попова. –М. КНОРУС. 2013. • Винюков И. А. , Попов В. Ю. , Пчелинцев С. В. Многочлены и ком-плексные числа. Собственные значения и собственные векторы. Модель Ле-онтьева. Пособие для подготовки бакалавров экономики и менеджемента. — М. : Финакадемия при Правительстве РФ, 2009. • Винюков И. А. , Попов В. Ю. , Пчелинцев С. В. Линейное програм-мирование. Пособие для подготовки бакалавров экономики и менеджемента. —М. : Финакадемия при Правительстве РФ, 2009. • Красс М. С. , Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М. Дело. 2002.

  Лекция 1.  Неотрицательные матрицы  и модели Леонтьева.  1. 1. Собственные значения Лекция 1. Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева. 1. 1. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса—Перрона. Число и вектор Фробениуса, их свойства. 1. 2. Продуктивность неотрицательных матриц. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Продуктивные модели Леонтьева. Различные критерии продуктивности модели Леонтьева.

  Собственные значения и собственные векторы  матрицы • Опр.  Число  называется ссссссссссссс Собственные значения и собственные векторы матрицы • Опр. Число называется ссссссссссссс – матрицы A nxn , если существует ненулевой n- мерный вектор – столбец x , такой что • Ax = x; • при этом вектор х называется собственным вектором матрицы A , соответствующим собственному значению

  Определение  Ч исло называется собственным значением ( собственным числом ) матрицы A , Определение Ч исло называется собственным значением ( собственным числом ) матрицы A , если . xx. A ˆ : x, Rx n 0 0 x называется собственным вектором матрицы A , отвечающим собственному числу .

  Определение. Уравнение 0 det. EA называется характеристическим уравнением  EApdet М ногочлен  называется Определение. Уравнение 0 det. EA называется характеристическим уравнением EApdet М ногочлен называется характеристическим многочленом

  Теорема . Для того чтобы число было собственным значением матрицы  A необходимо и Теорема . Для того чтобы число было собственным значением матрицы A необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения.

  Пример. Найти собственные значения и собственные вектоpы матрицы с с с с с Пример. Найти собственные значения и собственные вектоpы матрицы с с с с с

  0 401 050 104 k k k 41 14 )5( 401 050 104=(5 - 0 401 050 104 k k k 41 14 )5( 401 050 104=(5 — k )((4 — k ) 2 -1)= = (5 — k )(3 — k )(5 — k ). (5 — k ) 2 (3 — k )=0=> k 1 =3, k 2, 3 =5.

  k 1 =3:  с с с с с с с с  0 k 1 =3: с с с с с с с с 0 0 0 3401 0350 1034 z y x с с с с с с с с 0 0 0 101 020 101 z y x с с с 0 02 0 zx y=0, x=z=c. f 1 =(1; 0; 1).

  k 2, 3 =5:  с с с с с с с с k 2, 3 =5: с с с с с с с с 0 0 0 5401 0550 1054 z y x с с с с с с с с 0 0 0 101 000 101 z y x с с с 0 00 0 zx y zx x = — z = c 1 , y = c 2 = > f 2 =(1; 0; -1), f 3 =(0; 1; 0).

  Замечания.  • 1.  Собственные числа  матрицы А и транспонированной матрицы АT Замечания. • 1. Собственные числа матрицы А и транспонированной матрицы АT совпадают. • 2. Если x – собственный вектор матрицы А, то любой коллинеарный ему вектор (т. е. x , 0) также является собственным вектором матрицы А причем оба вектора соответствуют одному и тому же собственному значению.

  Опред.  Квадратная матрица A называется  неотрицательной :  A ≥ 0, Опред. Квадратная матрица A называется неотрицательной : A ≥ 0, если ее элементы неотрицательны. Если все элементы матрицы A положительны, то она называется положительной , A > 0. Опред. Вектор называется положительным ( неотрицательным ), если все его компоненты x i > 0 (соответственно, x i ≥ 0 ). x r. Неотрицательные матрицы и основные определения и теоремы.

  Неотрицательные (положительные) матрицы 1) Матриц а называется положительной ( неотрицательной ) ,  если Неотрицательные (положительные) матрицы 1) Матриц а называется положительной ( неотрицательной ) , если все ее элементы положительны (неотрицательны). 00 AA. , 00 jiaaijij

  Квадратная матрица А 0 называется разложимой , если одновременной перестановкой строк и столбцов ее Квадратная матрица А >0 называется разложимой , если одновременной перестановкой строк и столбцов ее можно привести к виду: 1 2 3 0 A r r A n r r A r n r в противном случае матрица A называется неразложимой. Замечание . A >0 неразложима.

  Теорема Фробениуса−Перрона.  Для любой неотрицательной матрицы A ≥ 0 существует собственное значение λ Теорема Фробениуса−Перрона. Для любой неотрицательной матрицы A ≥ 0 существует собственное значение λ A ≥ 0 ( называемое числом Фробениуса ) такое, что λ A ≥ λ для любого собственного значения λ матрицы A. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор – х А соответствующий собственному значению λ A и называемый вектором Фробениуса. Причем, если A > 0, то λ A > 0 и х А > 0 Число и вектор Фробениуса Ax r

  2 3 3 2 A  Пример.  Найти число Фробениуса и вектор Фробениуса 2 3 3 2 A Пример. Найти число Фробениуса и вектор Фробениуса матрицы вида Матрица A имеет два собственных значения: число Фробениуса λ A = 5, которому соответствует собственный вектор x A =t (1, 1) T (он является вектором Фробениуса для t > 0) и собственное значение λ 2 = − 1 с собственным вектором t ( — 1, 1) T ( t ≠ 0). Замечание. Так как собственные значения матриц А и А T совпадают , то числа Фробениуса данных матриц равны.

  Замечание  Поскольку с. з.  A  совпадают с  с. з. Замечание Поскольку с. з. A совпадают с с. з. A T , то T AA T A A AA P P T T A A AP A P T T A A AA P P

  Теорема 0, 0. . AXвс есть вектор Фробениуса A.  Теорема 0, 0. . AXвс есть вектор Фробениуса A.

  Теорема        есть вектор Фробениуса A.  Доказательство: Теорема есть вектор Фробениуса A. Доказательство: Пусть AX X T T T A AP AX P X 0 0 T A A X P X 0, 0. . AXвс

  Следствие Если матрица  A 0 неразложима, то кроме вектора  X A Следствие Если матрица A 0 неразложима, то кроме вектора X A (определенного с точностью до положительного множителя) у нее нет других неотрицательных собственных векторов.

  Свойства чисел Фробениуса • 1. Если А =B0 , то A= B.  • Свойства чисел Фробениуса • 1. Если А =>B>0 , то A=> B. • 2. Пусть А= >0 , тогда ( A ) k является число Фробениуса A k. • 3. Если A – число Фробениуса матрицы А= >0 , то A есть число Фробениуса матрицы А Е с • 4. Если все суммы элементов строк ( столбцов) неотрицательной матрицы А равны одному и тому же числу сс r=R= или m=M= ссссссссс с

  Свойства чисел Фробениуса • Следствие. Если все суммы элементов строк ( столбцов) неотрицательной матрицы Свойства чисел Фробениуса • Следствие. Если все суммы элементов строк ( столбцов) неотрицательной матрицы А равны одному и тому же числу те r=R= или m=M= ссссссссс А

  Пусть  I =(1, 1, . . . 1) T Обозначим  –вектор, координаты Пусть I =(1, 1, . . . 1) T Обозначим –вектор, координаты которого есть сумма элементов строк матрицы А r = min( ) ; R = max ( ) T — вектор, координаты которого есть сумма элементов столбцов матрицы А m = min( ) ; M = max ( )

  Теорема Число Фробениуса  A 0 удовлетворяет условиям: 1) r ≤  A ≤ Теорема Число Фробениуса A 0 удовлетворяет условиям: 1) r ≤ A ≤ R 2) m ≤ A ≤ M

  Доказательство Пусть  X A  :  T X A  = 1 Доказательство Пусть X A : T X A = 1 , такой вектор Фробениуса может быть выбран, т. к. он определяется неоднозначно. A A A T T A A AAX X I X 1 n A i Ai i X

  1 1 1 n n n A i A Ai i i m X 1 1 1 n n n A i A Ai i i m X X M X 14 2 43 m ≤ A ≤ M

  Следствие.  Если все суммы элементов строк ( столбцов) неотрицательной матрицы А равны одному Следствие. Если все суммы элементов строк ( столбцов) неотрицательной матрицы А равны одному и тому же числу ( т. е. r=R= или m=M= ) , то число Фробениуса А = • Пусть • Так как сумма элементов каждого столбца равна 6, то A =6 и B =3, так как сумма любой строки равна 3. ссс сс 111 003 201 053 302 221 B;

  Л инейн ая модель обмена.  М одель международной торговли. 1 2 3 i Л инейн ая модель обмена. М одель международной торговли. 1 2 3 i n ix nin xa nx ini xa 22 xa i ii xa 2 2 x 1 x 11 xa i ii xa 3 ii xa 133 xa i 3 x iii xa

  Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т. е ix национальный доход i — той страны, ija дол я национального дохода, которую j — страна тратит на покупку у i — той страны. . n, , i, aaaa njjj n i ij

  с с с с 0. . . . . 21 22221 11211 nnnn n с с с с 0. . . . . 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa A структурная матрица торговли. С умма элементов столбца матрицы А равна 1. Для i — той страны выручка от внутренней и внешней торговли равна . 2211 niniii xaxaxap Или в матричной форме P=Ax

  Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны ,  т. е.  выручка Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны , т. е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода: . , , 1, nixp ii Допустим, что p i > х i с с с с nnnnnn nn nn xxaxaxa 2211 22222121 11212111 национальный доход i — ой страны Выручка i — той страны

  Сложим все неравенства системы  222122121111 nn aaax  . 2121 nnnnnn xxxaaax Сложим все неравенства системы 222122121111 nn aaax . 2121 nnnnnn xxxaaax В ыражения в скобках равны единице. . 2121 nn xxxxxx = > p i > х i невозможно, и условие p i х i принимает вид p i = х i , . С экономической точки зрения это означает, что все страны не могут одновременно получать прибыль.

  Уравнение обмена. XAX 0 XEA 021 ссссс сс nx x x X X- вектор Уравнение обмена. XAX 0 XEA 021 ссссс сс nx x x X X- вектор национальных доходов или Замечание. Модель международной торговли является частным случаем более общей модели , называемой линейной моделью обмена.

  Модель Леонтьева многоотраслевой экономики  1 2 конечное потребление 3 i n ix iy Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 1 2 конечное потребление 3 i n ix iy inx nxnix 2 ix ix 2 2 x 1 x 1 ix ix 3 ix 1 3 ix 3 x iix

  Модель Леонтьева многоотраслевой экономики • Рассмотрим n – отраслей , каждая из которых производит Модель Леонтьева многоотраслевой экономики • Рассмотрим n – отраслей , каждая из которых производит однородный продукт. Пусть • X i — объем продукции, выпускаемый i- ой отраслью за некоторый промежуток времени; • x ij — объем продукции i –ой отрасли , расходуемой j –ой отраслью в процессе производства; • y i — объем продукции i –ой отрасли , предназначенной для конечного потребления (т. е. используемой в непроизводственной сфере).

  Соотношения баланса. 1, 21 niyxxxx iiniii  Линейная модель межотраслевого баланса.  Уравнения Леонтьева. Соотношения баланса. 1, 21 niyxxxx iiniii Линейная модель межотраслевого баланса. Уравнения Леонтьева. Гипотеза линейности : . 1, , njixax jijij а ij — коэффициент прямых затрат, показывает какое количество продукции i- ой отрасли затрачивается на производство единицы продукции j- ой отрасли и считается неизменным за рассматриваемый период. nnnnnnn nn nn yxaxaxax

  с с с с 0. . . . . 21 22221 11211 nnnn n с с с с 0. . . . . 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa A 0 2 1 с с с с nx x x X матрица прямых затрат. вектор валового выпуска. 021 ссссс сс ny y y Y вектор конечного потребления

  YAXX YXAE YAEX 1 2. Задача прогнозирования 1. Задача планирования  Уравнения Леонтьева 1 YAXX YXAE YAEX 1 2. Задача прогнозирования 1. Задача планирования Уравнения Леонтьева 1 H E A матрица коэффициентов полных затрат HYX

  Отрасли производств а Производственное потребление Конечное потребление I II I 1 4 3 II Отрасли производств а Производственное потребление Конечное потребление I II I 1 4 3 II 5 3 7 ПРИМЕР Рассматривается 2 -х отраслевая модель экономики. Дана балансовая таблица за прошедший год:

  1. Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году;  2. Запишите вектор валового 1. Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; 2. Запишите вектор валового выпуска X для прошедшего года.

  1 4 3 8 5 3 7 15 X    x 1 1 4 3 8 5 3 7 15 X x 1 =x 11 +x 12 +y 1 =1+4+3=8; х 2 =x 21 +x 22 +y 2 =5+3+7=15. Отсюда находим, вектор валового выпуска

  Найдите матрицу прямых затрат  (матрицу Леонтьева) A. Найдите матрицу прямых затрат (матрицу Леонтьева) A.

  ij ij jx a xобъем производственного потребления продукции отрасли i отраслью  j валовой ij ij jx a xобъем производственного потребления продукции отрасли i отраслью j валовой выпуск отрасли j. Элементы матрицы

  11 12 1 2 21 22 1 4 8 15 5 3 8 15 11 12 1 2 21 22 1 4 8 15 5 3 8 15 x x A x x

  Найдите матрицу полных затрат H. 1 4 1 08 15 0 1 5 3 Найдите матрицу полных затрат H.

  1 H E A . 0 1 1 с с с с bcad ac 1 H E A . 0 1 1 с с с с bcad ac bd bcaddc ba

  10, 875 0, 267 0, 625 0, 8 1, 5 0, 5 1, 17 10, 875 0, 267 0, 625 0, 8 1, 5 0, 5 1, 17 1, 64 H

  В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на 70, а отрасли II—уменьшится В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на 70%, а отрасли II—уменьшится на 10 %. Найдите вектор конечного потребления Y 1 для следующего года.

  1 1 70 3 1 5, 1 100 6, 3 10 7 1 100Y 1 1 70% 3 1 5, 1 100% 6, 3 10% 7 1 100%Y

  Найдите вектор валового выпуска X 1  для следующего года. 11 HYX 1 1, Найдите вектор валового выпуска X 1 для следующего года. 11 HYX 1 1, 5 0, 5 5, 1 1, 17 1, 64 6, 3 X 1 10, 8 16, 3 X

  На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году по сравнению с На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году по сравнению с прошедшим? 10, 8 8 100% 8 % 16, 3 15 100% 15 X 35% % 8, 7% X

  Продуктивн ость модели Леонтьева. Продуктивные матрицы.  Определение.  Квадратная м атрица А 0 Продуктивн ость модели Леонтьева. Продуктивные матрицы. Определение. Квадратная м атрица А 0 называется продуктивной , если для Y 0 X 0 М одель Леонтьева с продуктивной матрицей А также называется продуктивной. – решение уравнения. YAXX . YXAE или М одель Леонтьева продуктивна, если вектор а конечного потребления Y 0 можно получить при подходящем валовом выпуске X 0.

  Критерии продуктивности. Теорема 1.  Если А 0 и  Y *  0: Критерии продуктивности. Теорема 1. Если А 0 и Y * > 0: X = AX + Y* имеет решение X * 0, то А п родуктивна. Заметим, что на самом деле X *>0, что следует из X * = AX *+ Y * и А 0, X * 0, Y*>0. Д остаточно, чтобы решение X * 0 хотя бы для одного вектора Y* > 0. Теорема 2. ( первый критерий продуктивности ). Матрица А 0 продуктивна тогда и только тогда, когда ( Е — А ) -1 0.

  Лемма. .  Если бесконечный ряд (из матриц) Е + А 2 +. . Лемма. . Если бесконечный ряд (из матриц) Е + А 2 +. . сходится, то его сумма есть матрица ( Е — А ) -1. Теорема 33. . ( второй критерий продуктивности ). Матрица А 0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд Е + А 2 +. . . Теорема 44. . Е сли сумма элементов столбца (строки) матрицы А 0 меньше 1, то матрица А продуктивна.

  Теорема 55. .  Е сли сумма элементов  столбца  (строки)  матрицы Теорема 55. . Е сли сумма элементов столбца (строки) матрицы А > 0 меньше или равна 1, причем хотя бы для одного столбца эта сумма 0 называется запасом п родуктивно сти матрицы A, если продуктивны матрицы k. A для 1 k <(1+ a ), а матрица (1+ a ) A не продуктивна.

  Пример. Исследовать на продуктивность матрицу А.  • Решение. Так обе суммы элементов столбцов Пример. Исследовать на продуктивность матрицу А. • Решение. Так обе суммы элементов столбцов матрицы меньше единицы, то матрица А продуктивна. с с с с 3020 6050 , ,

  Двойственная к модели Леонтьева. Известна матрица прямых затрат A ,  вектор валового выпуска Двойственная к модели Леонтьева. Известна матрица прямых затрат A , вектор валового выпуска X. Введем P – вектор цен. inpppp. P: 021 цена единицы продукции i — той отрасли. Доход i — той отрасли. ii px Затраты на выпуск единицы продукции: . 2211 iniiiiii papa Модель равновесных цен.

  Затраты на выпуск. 2211 iniiiiiii papax  единиц продукции: ix iw Доход-Затраты — Затраты на выпуск. 2211 iniiiiiii papax единиц продукции: ix iw Доход-Затраты — добавленнаястоимость (часть дохода идет на выплату зарплат и налогов, прибыль и инвестиции…) Баланс: . 2211 iiniiiiiiwpapapaxpx ; 2211 iiniiiivpapapap норма добавленной стоимости. i i i xw v

  nnnnnnn nn nn vpapapap  2211 22222112211111 0 21 nvvv. V вектор норм добавленной nnnnnnn nn nn vpapapap 2211 22222112211111 0 21 nvvv. V вектор норм добавленной стоимости : VPAP VAEP 1 AEVP прогнозирование планированиемодель равновесных цен.

  Пример , 3, 09, 0 6, 02, 0 с сс A ? , 001115)1 Пример , 3, 09, 0 6, 02, 0 с сс A ? , 001115)1 VP ? , 11)2 PV ; )1 AEPV , 7, 09, 0 6, 08, 0 3, 09, 0 6, 02, 0 10 01 с сс с сс AE . 12 7, 09, 0 6, 08, 0 001115 с сс V

  ; )2 1 AEVP  с сс 1 1 7, 09, 0 6, 08, ; )2 1 AEVP с сс 1 1 7, 09, 0 6, 08, 0 AE ; 4045 3035 8, 09, 0 6, 07, 0 9, 06, 07, 08, 0 1 с сс . 7080 4045 3035 11 с сс P

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

  Дополнение  • Теорема • Матрица A 0  продуктивна тогда и только тогда, Дополнение • Теорема • Матрица A 0 продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.

  Доказательство Пусть матрица  A — продуктивна.  Тогда Y 0 X 0 Доказательство Пусть матрица A — продуктивна. Тогда Y 0 X 0 – решение уравнения X = AX + Y . Пусть Y> 0 , тогда, очевидно, X > 0. Умножим равенство слева на левый вектор Фробениуса :

  T T T A A P X P Y P X {{ 0 01 T T T A A P X P Y P X {{ 0 01 T T A A A P X P Y

  Доказательство Пусть Рассмотрим 1 A 0 1 A Y A   Доказательство Пусть Рассмотрим 1 A 0 1 A Y A %

  0; . . . ; 0; 1 T T T p p A p 0; . . . ; 0; 1 T T T p p A p %= > одно из с. з. равно 1 Пусть вектор 1 1 1 , . . . , , , n n n X x x x X x % Собственный: AX X % % %

  1 1 0 1 n n X YA Y x x   1 1 0 1 n n X YA Y x x 1 1 1 n n n AX Y x X x x

  Если 11 0 nx  AX X = с. з.  А  и, Если 11 0 nx AX X => с. з. А и, по нашему предположению 1 1 A % есть число Фробениуса 1, 0 n AX X x % %

  10 nx Противоречит AX X 1 A Можно считать, что 1 1 n x 10 nx Противоречит AX X 1 A Можно считать, что 1 1 n x , 0 AX Y X X = > A- продуктивна

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!