Линейная алгебра 1 Литература • В.

  • Размер: 1.7 Мб
  • Автор:
  • Количество слайдов: 77

Описание презентации Линейная алгебра 1 Литература • В. по слайдам

Линейная алгебра 1 Линейная алгебра

Литература • В. Л. Клюшин «Высшая математика для экономистов» (учебное пособие) • В. Л. Клюшин «ВысшаяЛитература • В. Л. Клюшин «Высшая математика для экономистов» (учебное пособие) • В. Л. Клюшин «Высшая математика для экономистов: задачи, тесты, упражнения»

Понятие матрицы Определение. Числовая таблица с m строками и n столбцами называется mxn матрицей.  Понятие матрицы Определение. Числовая таблица с m строками и n столбцами называется mxn матрицей. 3 x 4 — матрица — элемент матрицы, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца 3 11108 2432 1371 A ija 712 a. . . 13 a. . . 34 a

Общий вид матрицы 432 232221 131211  матрица aaa A nmматрица bbb bbb B mnmm nОбщий вид матрицы 432 232221 131211 матрица aaa A nmматрица bbb bbb B mnmm n n . . 21 22221 1. . .

5   L L M M M L 11 12 1 n 21 22 25 L L M M M L 11 12 1 n 21 22 2 n i ij j m 1 m 2 mn a a a a a , сокраще j A A ai нно ,

Экономический пример Вид продукци и Районы продажи 1 2 I 98 24 II 39 15 IIIЭкономический пример Вид продукци и Районы продажи 1 2 I 98 24 II 39 15 III 22 15 Ежегодные продажи (млн. руб. )

Операции над матрицами (алгебра матриц) 7 Операции над матрицами (алгебра матриц)

Сложение и вычитание матриц … производится поэлементно 8     i m ij mСложение и вычитание матриц … производится поэлементно 8 i m ij m nn j nm ija 5 1 4 3 7 c 5 3 6 b 0 4 2 1 32 10 7 ; Пример 61.

Умножение матрицы на число. 9   iijj A a 4 B b 1 λ λУмножение матрицы на число. 9 iijj A a 4 B b 1 λ λ 2 3 9 = ; Приме 15 1. 3 5 р

Умножение строки на столбец. 10 числоbababa b b b aaann n n  . . 2211Умножение строки на столбец. 10 числоbababa b b b aaann n n . . 2211 2 1 21 113142 3 4 12: Пример

Экономический пример Вид продукции 1 2 3 4 5 Объём (штук) 4 2 6 2 7Экономический пример Вид продукции 1 2 3 4 5 Объём (штук) 4 2 6 2 7 Цена единицы ($) 8 4 2 3 6 Цена партии 11 4 2 6 2 7 8 6× 4 2 3=

Умножение строки на столбец Пример. Умножить каждую строку матрицы A  на каждый столбец матрицы B,Умножение строки на столбец Пример. Умножить каждую строку матрицы A на каждый столбец матрицы B, где

Умножение матрицы на матрицу При умножении матрицы на матрицу ,  каждая строка матрицы умножается наУмножение матрицы на матрицу При умножении матрицы на матрицу , каждая строка матрицы умножается на каждый столбец матрицы. • При этом результат умножения -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы , записывается на пересечение -ой строки и -го столбца матрицы.

Пример. Результат умножения матриц содержит столько же строк как первый сомножитель и столько же столбцов какПример. Результат умножения матриц содержит столько же строк как первый сомножитель и столько же столбцов как второй сомножитель 14 543 024 30 12 15129 5811 5 0 30155)3(

Связь алгебраических операций 15     B B B 0 1 2 1 +Связь алгебраических операций 15 B B B 0 1 2 1 + + Во A A A A 2 1 1 3 2 обще говоря, λ λ

Транспонирование матриц При транспонировании меняются местами строки и столбцы исходной матрицы. (Первая строка становится первым столбцом,Транспонирование матриц При транспонировании меняются местами строки и столбцы исходной матрицы. (Первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и т. д. ) Матрица, транспонированная к A обозначается A ’ или A t. Пример. 16 543 024 A 50 42 34 ‘

Свойства операций над матрицами 17 OA Akk Ak. Akk k. Bk. ABAk CBACBA ABBA  0.Свойства операций над матрицами 17 OA Akk Ak. Akk k. Bk. ABAk CBACBA ABBA 0. 7. 6 )()(. 5 )(. 4 )(. 3 )()(. 2. 12121 AEAAE Bk. AABk ACABCBA BCACAB . 5 )()(. 4 )(. 3 )(. 2 )()(.

Специальные виды матриц Строка Столбец Квадратная Диагональная Нулевая Верхнетреугольная Нижнетреугольная 18 Специальные виды матриц Строка Столбец Квадратная Диагональная Нулевая Верхнетреугольная Нижнетреугольная

Пример Определить типы следующих матриц (выбрать из строка, столбец, квадратная, диагональная, нулевая,  верхнетреугольная, нижнетреугольная ).Пример Определить типы следующих матриц (выбрать из строка, столбец, квадратная, диагональная, нулевая, верхнетреугольная, нижнетреугольная ).

Определители квадратных матриц Определитель матрицы  – это число, обозначаемое  и вычисляемое по конкретным правилам.Определители квадратных матриц Определитель матрицы – это число, обозначаемое и вычисляемое по конкретным правилам. • Матрица 1 -го порядка – таблица, состоящая из од-ного числа и её определитель равен этому числу. 20. 11 12 21 22 12 21 a a Матрица 2 го порядка A a a Её определитель A a a

Числовой пример 21 - -1 3 5 A 2 2 17 Числовой пример 21 — —

Геометрический смысл определителя 2 -го порядка | А | это с точностью до знака площадь Геометрический смысл определителя 2 -го порядка | А | это с точностью до знака площадь заштрихованного параллелограмма (a 12 , a 22 ) (a 11 , a 21 ) xy

Решить систему уравнений: Для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и можно умножить первоеРешить систему уравнений: Для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и можно умножить первое уравнение на коэффициент при во втором уравнении и умножить второе уравнение на коэффициент при в первом уравнении. Затем вычесть из первого уравнения второе: •

Решить систему уравнений: . 24 64 73221 21 xx xx )3(64 )4(732 21 21 xx xxРешить систему уравнений: . 24 64 73221 21 xx xx )3(64 )4(732 21 21 xx xx 18123 28128 21 21 xx xx 1828)123()128(2121 xxxx 2 5 10 1 x 1051 x 101231282121 xxxx

Решить систему уравнений: 25 2222121 1212111 bxaxa )( )( 1222221212111 abxaxa 122221 2122211221 2221212211 )( )(Решить систему уравнений: 25 2222121 1212111 bxaxa )( )( 1222221212111 abxaxa 122221 2122211221 2221212211 )( )( abab xaaxaa 122211221 221212211 abxaaxaa 122221 112211 abab xaaxaa 122221 112212211)( abab xaaaa

Решить систему уравнений 2612212211 122221 1 aaaa abab x  2221 1211 222 121 1 aaРешить систему уравнений 2612212211 122221 1 aaaa abab x 2221 1211 222 121 1 aa aa ab ab x

Пусть дана система уравнений  Если , где обозначает матрицу коэффициентов при неизвестных, то  Пусть дана система уравнений Если , где обозначает матрицу коэффициентов при неизвестных, то и , где матрицы и получаются из матрицы заменой первого и второго столбца на столбец свободных членов соответственно • Теорема Крамера.

Пример Решить систему  по правилу Крамера. •  28 Пример Решить систему по правилу Крамера. •

Разложение определителя по элементам строки или столбца Минором определителя матрицы  называется такой новый определитель, Разложение определителя по элементам строки или столбца Минором определителя матрицы называется такой новый определитель, который получается из данного вычеркиванием -ой строки и -го столбца. •

Разложение определителя по элементам строки или столбца 303231 1211 333231 232221 131211 23 aa aa aaaРазложение определителя по элементам строки или столбца 303231 1211 333231 232221 131211 23 aa aa aaa aaa M 3331 2321 333231 232221 131211 12 aa aa aaa aaa M

Пример Для матрицы 31 412 310 321 A 62340 42 30 412 310 321 12 MПример Для матрицы 31 412 310 321 A 62340 42 30 412 310 321 12 M

Пример 32522)1(1 12 21 412 310 321 23  M  Пример 32522)1(1 12 21 412 310 321 23 M

. Пример Найти миноры и для матрицы 33 . Пример Найти миноры и для матрицы

Разложение определителя по элементам строки или столбца Алгебраическим дополнением  элемента  определителя матрицы называется минорРазложение определителя по элементам строки или столбца Алгебраическим дополнением элемента определителя матрицы называется минор этого элемента, взятый со знаком • Пример:

Разложение определителя по элементам строки или столбца Для матрицы 35 412 310 321 A 6)6(1 1212Разложение определителя по элементам строки или столбца Для матрицы 35 412 310 321 A 6)6(1 1212 21 12 MM

Разложение определителя по элементам строки или столбца Теорема Лапласа. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любойРазложение определителя по элементам строки или столбца Теорема Лапласа. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. 36)1 (131312121111 строкиойэлементампо разложение. Aa. Aa. A )2 (323222221212 столбцагоэлементампо разложение. Aa. Aa.

Разложение определителя по элементам строки или столбца Пример. Найти определитель матрицы при помощи разложения по элементамРазложение определителя по элементам строки или столбца Пример. Найти определитель матрицы при помощи разложения по элементам третьего столбца. •

Свойства определителей 1. Определитель не меняется при транспонировании:  Пример:  38'AA 42 31 43 21Свойства определителей 1. Определитель не меняется при транспонировании: Пример: 38′

Свойства определителей 2. Определитель меняет знак при перестановки любых двух строк или любых двух столбцов. Пример:Свойства определителей 2. Определитель меняет знак при перестановки любых двух строк или любых двух столбцов. Пример:

Свойства определителей 3. Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя. Пример:Свойства определителей 3. Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя. Пример:

Свойства определителей 4. Определитель матрицы, содержащий строку или столбец, целиком состоящий из нулей, равен нулю. Пример:Свойства определителей 4. Определитель матрицы, содержащий строку или столбец, целиком состоящий из нулей, равен нулю. Пример:

Свойства определителей 5. Определитель матрицы, содержащий  равные или пропорциональные строку и столбец, равен нулю. Пример:Свойства определителей 5. Определитель матрицы, содержащий равные или пропорциональные строку и столбец, равен нулю. Пример:

Свойства определителей  6. Если каждый элемент некоторой строки матрицы представим в виде суммы двух слагаемых,Свойства определителей 6. Если каждый элемент некоторой строки матрицы представим в виде суммы двух слагаемых, то определитель есть сумма определителей , где все строки матриц и , кроме указанной строки, совпадают с соответствующими строками матрицы , а все элементы указанной строки матриц и являются, соответственно, первыми и вторыми слагаемыми указанной строки матрицы . •

Свойства определителей Пример. 11 12 13 31 32 33 a a a a x y aСвойства определителей Пример. 11 12 13 31 32 33 a a a a x y a a a a z x y za b c a b a a c a a 60 28 32 2 3 1) 1 52 7 7 1 2 5 ( 0 1 1 0( )

Свойства определителей 7. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другойСвойства определителей 7. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

Пример 461 2 3 423 413 3 2 1 2 0  2 1 1 433Пример 461 2 3 423 413 3 2 1 2 0 2 1 1 433 2 l l

Свойства определителей 8. Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Пример:  4760543 500 2, 440Свойства определителей 8. Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Пример: 4760543 500 2,

Свойства определителей 9. (Теорема Лапласа. ) Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на ихСвойства определителей 9. (Теорема Лапласа. ) Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Пример: 48 столбцуму3 поразложение 333323231313 строкеой 1 поразложение 131312121111 333231 232221 131211 Aa. Aa aaa aaa

Свойства определителей 10. Если  является единственным ненуле-вым элементом в своей строке или столбце, то Пример:Свойства определителей 10. Если является единственным ненуле-вым элементом в своей строке или столбце, то Пример: 49 ij a ij ji ijijij. Ma. A 1 1 1 7 11 4 4, 2 ( 1)

Свойства определителей 11. Определитель произведения матриц равен произведению определителей: 50 BAAB Свойства определителей 11. Определитель произведения матриц равен произведению определителей:

Обратная матрица Число 1 обладает свойством: Для любого числа. Например,  Для любого ненулевого числа определеноОбратная матрица Число 1 обладает свойством: Для любого числа. Например, Для любого ненулевого числа определено Число, обратное к (обозначается или ) такое, что •

Обратная матрица Вопрос: существует ли аналог числа 1 и аналог обратного числа среди матриц? 52 Обратная матрица Вопрос: существует ли аналог числа 1 и аналог обратного числа среди матриц?

Обратная матрица Квадратная матрица называется диагональной , если все её элементы вне главной диагонали равны нулю.Обратная матрица Квадратная матрица называется диагональной , если все её элементы вне главной диагонали равны нулю. Пример: Диагональная матрица называется единичной , если все её диагональные элементы – единицы. Пример:

Обратная матрица Единичная матрица обозначается или. Единичная матрица размера обозначается так же или : • Обратная матрица Единичная матрица обозначается или. Единичная матрица размера обозначается так же или : •

Обратная матрица Если для матрицы определено произведение , то Аналогично,  Пример:  •  55Обратная матрица Если для матрицы определено произведение , то Аналогично, Пример: •

Обратная матрица Матрица называется обратной к матрице  и обозначается , если  Если существует, тоОбратная матрица Матрица называется обратной к матрице и обозначается , если Если существует, то матрица A называется обратимой. •

Обратная матрица Пример:     так как и  57    5,Обратная матрица Пример: так как и 57 5, 05, 1 12 43 21 1 10 01 5, 05, 1 12 43 21 10 01 43 21 5, 05,

Обратная матрица Теорема. Обратная матрица существует только для невырожденной квадратной матрицы.  Пример:   Обратная матрица Теорема. Обратная матрица существует только для невырожденной квадратной матрицы. Пример: существует, так как

Обратная матрица второго порядка Теорема. Пример. 59 Обратная матрица второго порядка Теорема. Пример.

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Пусть – квадратная матрица. 1. Найти . Если  Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Пусть – квадратная матрица. 1. Найти . Если , то не существует. 2. Для каждого элемента матрицы вычислить его алгебраическое дополнение. Записать все алгебраические дополнения в виде матрицы и транспонировать её. Получится присоединённая матрица, обозначаемая или . • 60 A 0 A A A ~*

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Итак,  61   nnnn n n AAA AAAНахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Итак, 61 nnnn n n AAA AAA A. . . . . 21 22212 12111 *

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 3. Обратная матрица вычисляется по формуле 62*11 A A AНахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 3. Обратная матрица вычисляется по формуле 62*

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Пример. Найти методом присоединённой матрицы, где Решение. 1.  Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Пример. Найти методом присоединённой матрицы, где Решение. 1. , следовательно существует. •

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 2. 2 11 1 2 1 0 7 7 AНахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 2.

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 2. (продолжение) 11 12 13 21 22 23 31 32Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 2. (продолжение)

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы (продолжение)* 3 66 7 14 7 2 12 A Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы (продолжение)*

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 3.  67    163 226 7147 14Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 3. 67 163 226 7147 14 11*

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Проверка: Ответ:  68 EAAAA 11    Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Проверка: Ответ:

Системы линейных уравнений В общем случае система с уравнениями и  неизвестными имеет вид  Системы линейных уравнений В общем случае система с уравнениями и неизвестными имеет вид (1) • 69 . 2211 22222121 11212111. . . . , . . . mnmnmm nn nn bxaxaxa

Системы линейных уравнений Структурные составляющие: 70  матрица коэффициентов L L L L 11 12 1Системы линейных уравнений Структурные составляющие: 70 матрица коэффициентов L L L L 11 12 1 n 21 22 2 n m 1 m 2 mn a a a A a a a столбец неизвестных ; столбец свободных членов M M 1 2 m 1 2 n x x b b

Системы линейных уравнений Пример: Здесь  m=3 ,  n=3 , 71  073 72 1432Системы линейных уравнений Пример: Здесь m=3 , n=3 , 71 073 72 1432 31 32 321 xx xx xxx 703 210 321 A 0 7 14 B 3 2 1 x x x X

Системы линейных уравнений Решением системы называется такой набор чисел ( с 1 ,  с 2Системы линейных уравнений Решением системы называется такой набор чисел ( с 1 , с 2 , …, с n ), что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных ( с 1 вместо х 1 , …, с n вместо х n ) каждое из уравнений системы обращается в тождество. Если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной ; система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Системы линейных уравнений Система называется определенной , если она имеет единственное решение; и неопределенной , еслиСистемы линейных уравнений Система называется определенной , если она имеет единственное решение; и неопределенной , если она имеет более одного решения.

Метод обратной матрицы Система уравнений Равносильна матричному уравнению     74 BXA x xМетод обратной матрицы Система уравнений Равносильна матричному уравнению 74 BXA x x x 0 7 14 703 210 321 3 2 1 073 72 1432 31 32 321 xx xx xxx

Метод обратной матрицы Мы сможем решить систему, если сможем решить данное матричное уравнение . • Метод обратной матрицы Мы сможем решить систему, если сможем решить данное матричное уравнение . • 75 BAXAA E 11 )( BAXE 1 BAX 1 BXA BAXAA 11)(

Метод обратной матрицы В нашем случае 76    07141 703 210 3213 2 1Метод обратной матрицы В нашем случае 76 07141 703 210 3213 2 1 xx x

77 Метод обратной матрицы Теорема. Если число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель , то77 Метод обратной матрицы Теорема. Если число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель , то система (1) имеет единственное решение •