Линейная алгебра §§ 1. Матрицы

Линейная алгебра

§§ 1. Матрицы

Определение. . Матрицей размера (или числовой матрицей ) называется прямоугольная таблица, образованная из mnmn чисел и состоящая из из mm строк и nn столбцов m n ( , ). m n. N

Матрицы записывают в виде: 11 12 1 21 22 2 1 2. . . , . . . . n n mnm m a a a a a

или более кратко: [[ aa ijij ], ( aa ijij ), ), соответственно. 11 12 1 21 22 2 1 2. . . , . . . . n n mnm m a a a a a ija

Числа aa ijij называются элементами матрицы ; ; aa ii 11 , , aa ii 22 , , …, …, aa inin – – элементы ii -й строки; aa 11 jj , , aa 22 jj , , …, …, aa mjmj – элементы jj -го столбца. ( 1, , 1, )i m j n ( 1, )i m ( 1, )j n

Прямоугольной называется матрица размера у которой Матрица размера называется квадратной порядка nn. . , m n n n. m n

Главной диагональю квадратной матрицы AA [ [ aa ijij ]] порядка nn называется совокупность элементов aa iiii а а побочной диагональю – – совокупность элементов aa ii nn –– ii 11 ( 1, ), i n ( 1, ). i n

Единичная матрица (обозначается ЕЕ ) – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, остальные элементы – – нули.

§§ 2. Операции над матрицами

Определение. . Суммой матриц AA [ [ aa ijij ]] и и BB [ [ bb ijij ]] размеров называется матрица AA BB [ [ aa ijij bb ijij ] ] размера m n ( 1, , 1, ). i m j n

Определение. . Произведением матрицы AA [ [ aa ijij ]] размера на число λλ называется матрица λλ AA [[ λλ aa ijij ] ] размера m n ( 1, , 1, ). i m j n (λ )R

Разностью матриц AA и и BB называется матрица AA – – BB AA (–(– BB ). ).

Определение. . Произведением матрицы AA [ [ aa ikik ]] размера на матрицу BB [ [ bb kjkj ]] размера называется матрица ABAB [[ aa ii 11 bb 11 jj aa ii 22 bb 22 jj aa ii 33 bb 33 jj +…+ aa inin bb njnj ]] размера n p m n m p ( 1, , 1, ). i m k n j p

Операция произведения матриц AA и и BB определена для согласованных матриц , т. е. когда количество столбцов матрицы AA равно количеству строк матрицы BB. .

Определение. . Матрицей , , транспонированной по отношению к матрице AA [ [ aa ijij ]] размера называется матрица AA TT [ [ aa jiji ] ] размера m n. n m

§§ 33. . Определители

Определение. . Если то то определителем второго порядка называется число 11 12 21 22 , a a A a a

11 12 11 22 12 21 21 22. a a a a

Определение. . Если то то определителем третьего порядка называется число 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , a a a A a a a

11 12 13 22 23 21 22 23 11 12 13 32 33 31 32 33. a a a a a a

Для вычисления определителя третьего порядка можно использовать правило треугольников : :

Если AA [ [ aa ijij ] то то определитель nn -го порядка записывают в виде( , 1, , ), i j n n N

гдегде aa ijij называются элементами определителя. . 11 12 1 21 22 2 1 2. . . , . . . . n n n a a a a a ( , 1, )i j n

Определитель матрицы AA обозначают: detdet AA , |, | AA || , , Δ. Δ.

Определение. . Минором MM ijij элемента aa ijij определителя nn -го порядка (( n n 1) 1) называется определитель (( nn –– 1)1) -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием ii -й строки и jj -го столбца.

Определение. . Алгебраическим дополнением AA ijij элемента aa ijij определителя nn -го порядка называется число A ij ( – 1) i j M ij.

Определитель nn -го порядка матрицы AA [ [ aa ijij ] ] можно вычислять: 1) 1) путем разложения по элементам ii -й строки: 1 1 2 2 1. . . ; n in in i i ik ik ka A a

2) 2) путем разложения по элементам jj -го столбца: 1 1 2 2 1. . n nj njj j j jkj kj k a A a

Определители обладают следующими свойствами: 1) если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю;

2) если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число kk то исходный определитель умножится на это число; ( ), k. R

33 ) ) если соответствующие элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то он равен нулю;

4) если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на число kk то определитель не изменится. ( ), k. R

§§ 44. Обратная матрица

Квадратная матрица АА называется невырожденной (или неособенной ) ) если В противном случае AA – – вырожденная (или особенная ). ). 0.

Определение. . Матрица AA – 1– 1 называется обратной матрицей для квадратной матрицы АА , если AAAA – 1– 1 AA EE , , где EE – единичная матрица.

Теорема. . Матрица АА имеет обратную тогда и только тогда, когда матрица АА – – невырожденная.

Если AA [ [ aa ijij ] тото( , 1, ), i j n 11 21 1 112 22 2 1 2. . . 1 , . . . . n n nnn n

где || AA || – определитель матрицы АА , , AA ijij – алгебраические дополнения элементов aa ijij матрицы АА. .

§§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений

Определение. . Системой mm линейных алгебраических уравнений с nn неизвестными xx 11 , , xx 22 , …, xx nn называется система вида

11 1 12 2 1 1 22 2 1 1 2 2. . . , . . . , nn nn mn n mm m a x a x a x b

где aa ijij – коэффициенты системы; bb ii – свободные члены; ( 1, , 1, )i m j n ( 1, )i m , . m n. N

Решением системы называется совокупность nn значений неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной. .

Система называется определенной , если она имеет единственное решение.

Решить систему – значит определить, совместна она или нет, и в случае совместности найти множество всех ее решений.

Матрица называется матрицей (или основной матрицей ) системы. 11 12 1 21 22 2 1 2. . . . . n n mnm m a a a A a a a

Матрица называется расширенной матрицей системы 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2. . . [ ]. . . . . n n mn m m ma a a b A B a a a b

Определение. . Определителем системы nn линейных уравнений с nn неизвестными называется определитель Δ матрицы этой системы.

Если то система имеет единственное решение и называется невырожденной. . Если ΔΔ 0, 0, то система не имеет решения или имеет бесконечное множество решений и называется вырожденной. . 0,

Метод Крамера. Необходимо: 1) вычислить определитель Δ системы; 2) в определителе Δ заменить поочередно ii -й столбец столбцом свободных членов и вычислить соответствующие определители ΔΔ i i ; ;

3) вычислить значения xx 11 , , xx 22 , …, xx nn по по формулам Крамера : : 4) записать решение ( ( xx 11 , , xx 22 , …, xx nn ). ). 1 2 , , . . . , ; n nx x x

Метод обратной матрицы. . Необходимо: 1) записать систему в матричном виде: AXAX BB , , где AA – матрица системы; XX – матрица-столбец неизвестных; BB – матрица-столбец свободных членов;

22 ) решить матричное уравнение по формуле XX AA – 1– 1 BB ; ; 33 ) записать решение ( ( xx 11 , , xx 22 , …, xx nn ). ).

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются: 1) перестановка строк; 2) умножение строки на одно и то же число λ (λ 0);

3) прибавление к строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число. В результате элементарных преобразований строк матрицы AA получают эквивалентную матрицу BB ; пишут: AA BB. .

Метод Гаусса. Необходимо: 1) записать расширенную матрицу системы; 2) с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы свести матрицу системы к треугольной или трапециевидной;

3) для преобразованной таким образом расширенной матрицы записать соответствующую систему уравнений; 4) решить полученную систему начиная с последнего уравнения; 5) записать решение ( x 1 , x 2 , …, x n ).

В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность. Ф. Бэкон

Векторная алгебра

§§ 1. Векторы

Определение. . Вектором называется направленный отрезок.

Определение. . Длиной (или модулем ) ) вектора называется расстояние между его началом и концом. Модули векторов и обозначают и соответственно. ABa AB a

Векторы и называются коллинеарными векторами (обозначаются если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. ab || ), a b

Если и имеют одинаковое направление, то их называют сонаправленными (обозначаются а если противоположное – противоположно направленными (обозначаются ab ), a b ). a b

Векторы называются компланарными , если они параллельны некоторой плоскости. Векторы и называются равными , если и ab a b

Угол между векторами (обозначается – наименьший угол между направлениями векторов ии, a b ( , ))a b a, b 0 ( , )π. a b

Если то векторы называются ортогональными (обозначаютсяπ ( , ) , 2 a b ). a b

Определение. . Произведением вектора на число λ λ называется вектор, обозначаемый такой, что: a (λ )R λ , a

1)1) 2) при λλ 0, 0, при λλ 0 илиλ λ ; a a λa a λ 0 a 0. a

Вектор называется противоположным вектору a : a 1. a a

Правило треугольника Правило параллелограмма

Правило ломаной

Правило параллелепипеда

Разностью векторов и называется вектор ab ( ). a b

Определение. . Векторы называются линейно зависимыми , если существуют числа не все равные нулю, такие, что 1 2 , , , na a a. K 1 2 λ , , λ , n. K 1 1 2 2 λ λ. . . λ 0. n na a a

В противном случае векторы называются линейно независимыми. . 1 2 , , , na a a. K

Два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

Три компланарных вектора линейно зависимы, а три некомпланарных вектора в пространстве линейно независимы.

Определение. . Базисом в пространстве называются три упорядоченных некомпланарных вектора.

Если – базис в RR 33 , , то то любой вектор пространства можно представить единственным образом в виде линейной комбинации 1 2 3 { , , }e e e a 1 1 2 2 3 3. a x e x e

Числа xx 11 , , xx 22 , , xx 33 называются координатами вектора в базисе пишут a 1 2 3 { , , }; e e e 1 2 3 ( , , ). a x x x

Базис называется ортонормированным , если базисные векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину; обозначается где { , , }, i j k (1, 0, 0), i(0, 1, 0), j(0, 0, 1). k

Координаты вектора в ортонормированном базисе называются прямоугольными декартовыми координатами. .

Если то: 1 1 1 , a x i y j z k 2 2 2 , b x i y j z k 1 1 1 λ λa x i y j z k (λ ), R 1 2 1 2 ( ) ( ). a b x x i y y j z z k

§§ 2. Скалярное произведение

Определение. . Скалярным произведением векторов и (обозначается или или называется число ab( , ), a b )ab ( , ) cos ( , ). a b a b

Если в базисе то 1 1 1 ( , , ), a x y z 2 2 2 ( , , )b x y z { , , }, i j k 1 2 1 2 ( , ). a b x x y y z z

Теорема. . Для перпендикулярности ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобыab ( , ) 0. a b

Скалярное произведение векторов обладает свойствами: 1)1) 2)2) 3)3)( , ); a b b a ( , ); a b c a c b c (λ , ) ( , λ ) λ( , )a b a b (λ ). R

Если то: прпр1 1 1 ( , , ), a x y z 2 2 2 ( , , )b x y z 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( , ) cos ( , ), x x y y z za b a bx y z 1 2 1 2 2 1 1 1 ( , ). a x x y y z za b b ax y z

Работа AA силы по по перемещению материальной точки на вектор F : s ( , ) cos ( , ). A F s F s

§§ 3. Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов с общим началом называется правой , , если с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору наблюдается происходящим против хода часовой стрелки. , , a b c ab c

В противном случае тройка векторов называется левой. .

Определение. . Векторным произведением векторов и (обозначается или называется вектор, удовлетворяющий условиям: ab[ , ]a b)a b

1)1) 2) и 3) тройка векторов –– правая. [ , ] sin ( , ); a b a b [ , ]a b a[ , ] ; a b b , a, b[ , ]a b

Если в базисе то 1 1 1 ( , , ), a x y z 2 2 2 ( , , )b x y z { , , }, i j k 1 1 1 2 2 2. [ , ] i j k a b x y z

Теорема. . Для коллинеарности ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы ab [ , ] 0. a b

Векторное произведение векторов обладает свойствами: 1)1) 2)2) 3)3)[ , ]; a b b a [ , ]; a b c a c b c [λ , ] [ , λ ] λ[ , ]a b a b ( λ ). R

Площадь SS параллелограмма , , построенного на векторах и a: b [ , ]. S a b

Площадь SS треугольника , , построенного на векторах и a: b 1 [ , ]. 2 S a b

§§ 4. Смешанное произведение

Определение. . Смешанным произведением векторов и (обозначается или называется число, равное , abc( , , ) a b c )abc ([ , ], ). a b c

Если в базисе то 1 1 1 ( , , ), a x y z 2 2 2 ( , , ), b x y z { , , }, i j k 3 3 3 ( , , )c x y z 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ( , , ). x y z a b c x y z

Теорема. . Для компланарности ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы , a, b ( , , ) 0. a b c c

Смешанное произведение векторов обладает свойствами: 1)1) 2)2)([ , ], ) ( , [ , ]); a b c ( , , )a b c a c a b ( , , ). b a c c b a a c b

Объем VV параллелепипеда , , построенного на векторах, , : a b c ( , , ). V a b c

Объем VV пирамиды , , построенной на векторах, , : a b c 1 ( , , ). 6 V a b c

Высшее назначение математики как раз и состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает. Н. Винер