Линейная алгебра §§ 1. Матрицы

Скачать презентацию Линейная алгебра  §§  1. Матрицы Скачать презентацию Линейная алгебра §§ 1. Матрицы

1.ppt

  • Размер: 3.5 Мб
  • Автор: Александр Лесик
  • Количество слайдов: 121

Описание презентации Линейная алгебра §§ 1. Матрицы по слайдам

Линейная алгебра Линейная алгебра

§§ 1. Матрицы §§ 1. Матрицы

 Определение. . Матрицей размера     (или числовой матрицей ) называется Определение. . Матрицей размера (или числовой матрицей ) называется прямоугольная таблица, образованная из mnmn чисел и состоящая из из mm строк и nn столбцов m n ( , ). m n. N

  Матрицы записывают в виде: 11 12 1 21 22 2 1 2. Матрицы записывают в виде: 11 12 1 21 22 2 1 2. . . , . . . . n n mnm m a a a a a

или более кратко:  [[ aa ijij ], ( aa ijij ), ), или более кратко: [[ aa ijij ], ( aa ijij ), ), соответственно. 11 12 1 21 22 2 1 2. . . , . . . . n n mnm m a a a a a ija

Числа aa ijij     называются элементами матрицы ; ; aa iiЧисла aa ijij называются элементами матрицы ; ; aa ii 11 , , aa ii 22 , , …, …, aa inin – – элементы ii -й строки; aa 11 jj , , aa 22 jj , , …, …, aa mjmj – элементы jj -го столбца. ( 1, , 1, )i m j n ( 1, )i m ( 1, )j n

  Прямоугольной называется матрица размера      у которой Прямоугольной называется матрица размера у которой Матрица размера называется квадратной порядка nn. . , m n n n. m n

  Главной диагональю квадратной матрицы AA [ [ aa ijij ]] порядка nn Главной диагональю квадратной матрицы AA [ [ aa ijij ]] порядка nn называется совокупность элементов aa iiii а а побочной диагональю – – совокупность элементов aa ii nn –– ii 11 ( 1, ), i n ( 1, ). i n

  Единичная матрица  (обозначается ЕЕ ) – квадратная матрица, у которой все Единичная матрица (обозначается ЕЕ ) – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, остальные элементы – – нули.

§§ 2. Операции над матрицами §§ 2. Операции над матрицами

 Определение. . Суммой матриц AA [ [ aa ijij ]] и и Определение. . Суммой матриц AA [ [ aa ijij ]] и и BB [ [ bb ijij ]] размеров называется матрица AA BB [ [ aa ijij bb ijij ] ] размера m n ( 1, , 1, ). i m j n

 Определение. . Произведением матрицы AA [ [ aa ijij ]]  размера Определение. . Произведением матрицы AA [ [ aa ijij ]] размера на число λλ называется матрица λλ AA [[ λλ aa ijij ] ] размера m n ( 1, , 1, ). i m j n (λ )R

  Разностью матриц  AA и и BB  называется матрица AA – Разностью матриц AA и и BB называется матрица AA – – BB AA (–(– BB ). ).

 Определение. . Произведением матрицы AA [ [ aa ikik ]]  размера Определение. . Произведением матрицы AA [ [ aa ikik ]] размера на матрицу BB [ [ bb kjkj ]] размера называется матрица ABAB [[ aa ii 11 bb 11 jj aa ii 22 bb 22 jj aa ii 33 bb 33 jj +…+ aa inin bb njnj ]] размера n p m n m p ( 1, , 1, ). i m k n j p

  Операция произведения матриц AA и и BB определена для согласованных матриц , Операция произведения матриц AA и и BB определена для согласованных матриц , т. е. когда количество столбцов матрицы AA равно количеству строк матрицы BB. .

 Определение. . Матрицей , ,  транспонированной по отношению к матрице  AA Определение. . Матрицей , , транспонированной по отношению к матрице AA [ [ aa ijij ]] размера называется матрица AA TT [ [ aa jiji ] ] размера m n. n m

§§  33. .  Определители §§ 33. . Определители

 Определение. . Если      то то определителем второго порядка Определение. . Если то то определителем второго порядка называется число 11 12 21 22 , a a A a a

11 12 11 22 12 21 21 22. a a a a  11 12 11 22 12 21 21 22. a a a a

 Определение. . Если       то то определителем третьего Определение. . Если то то определителем третьего порядка называется число 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , a a a A a a a

11 12 13 22 23 21 22 23 11 12 13 32 33 3111 12 13 22 23 21 22 23 11 12 13 32 33 31 32 33. a a a a a a

  Для вычисления определителя третьего порядка можно использовать правило треугольников : : Для вычисления определителя третьего порядка можно использовать правило треугольников : :

  Если AA [ [ aa ijij ]     Если AA [ [ aa ijij ] то то определитель nn -го порядка записывают в виде( , 1, , ), i j n n N

гдегде  aa ijij    называются элементами определителя. . 11 12 1гдегде aa ijij называются элементами определителя. . 11 12 1 21 22 2 1 2. . . , . . . . n n n a a a a a ( , 1, )i j n

  Определитель матрицы AA  обозначают:  detdet AA , |, | AA Определитель матрицы AA обозначают: detdet AA , |, | AA || , , Δ. Δ.

 Определение. . Минором  MM ijij  элемента  aa ijij определителя nn Определение. . Минором MM ijij элемента aa ijij определителя nn -го порядка (( n n 1) 1) называется определитель (( nn –– 1)1) -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием ii -й строки и jj -го столбца.

 Определение. . Алгебраическим дополнением  AA ijij  элемента aa ijij определителя nn Определение. . Алгебраическим дополнением AA ijij элемента aa ijij определителя nn -го порядка называется число A ij ( – 1) i j M ij.

  Определитель nn -го порядка матрицы AA [ [ aa ijij ] ] Определитель nn -го порядка матрицы AA [ [ aa ijij ] ] можно вычислять: 1) 1) путем разложения по элементам ii -й строки: 1 1 2 2 1. . . ; n in in i i ik ik ka A a

  2) 2) путем разложения по элементам jj -го столбца: 1 1 2 2) 2) путем разложения по элементам jj -го столбца: 1 1 2 2 1. . n nj njj j j jkj kj k a A a

  Определители обладают следующими свойствами:   1) если все элементы какой-либо строки Определители обладают следующими свойствами: 1) если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю;

  2) если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число kk 2) если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число kk то исходный определитель умножится на это число; ( ), k. R

  33 ) ) если соответствующие элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то 33 ) ) если соответствующие элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то он равен нулю;

  4) если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой, 4) если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на число kk то определитель не изменится. ( ), k. R

§§  44. Обратная матрица §§ 44. Обратная матрица

  Квадратная матрица АА называется невырожденной (или неособенной ) ) если  В Квадратная матрица АА называется невырожденной (или неособенной ) ) если В противном случае AA – – вырожденная (или особенная ). ). 0.

 Определение. . Матрица AA – 1– 1 называется обратной матрицей для квадратной матрицы Определение. . Матрица AA – 1– 1 называется обратной матрицей для квадратной матрицы АА , если AAAA – 1– 1 AA EE , , где EE – единичная матрица.

 Теорема. . Матрица АА имеет обратную тогда и только тогда, когда матрица АА Теорема. . Матрица АА имеет обратную тогда и только тогда, когда матрица АА – – невырожденная.

Если AA [ [ aa ijij ]     тото( , 1,Если AA [ [ aa ijij ] тото( , 1, ), i j n 11 21 1 112 22 2 1 2. . . 1 , . . . . n n nnn n

где || AA || – определитель матрицы АА , , AA ijij – алгебраическиегде || AA || – определитель матрицы АА , , AA ijij – алгебраические дополнения элементов aa ijij матрицы АА. .

§§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений §§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений

 Определение. . Системой  mm линейных алгебраических уравнений с nn  неизвестными Определение. . Системой mm линейных алгебраических уравнений с nn неизвестными xx 11 , , xx 22 , …, xx nn называется система вида

11 1 12 2 1 1 22 2 1 1 2 2. . .11 1 12 2 1 1 22 2 1 1 2 2. . . , . . . , nn nn mn n mm m a x a x a x b

где aa ijij       – коэффициенты системы;  bbгде aa ijij – коэффициенты системы; bb ii – свободные члены; ( 1, , 1, )i m j n ( 1, )i m , . m n. N

  Решением системы называется совокупность nn значений неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы. Решением системы называется совокупность nn значений неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы.

  Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной. .

  Система называется определенной , если она имеет единственное решение. Система называется определенной , если она имеет единственное решение.

  Решить систему – значит определить, совместна она или нет,  и в Решить систему – значит определить, совместна она или нет, и в случае совместности найти множество всех ее решений.

  Матрица называется матрицей (или основной матрицей ) системы.  11 12 1 Матрица называется матрицей (или основной матрицей ) системы. 11 12 1 21 22 2 1 2. . . . . n n mnm m a a a A a a a

  Матрица называется расширенной матрицей  системы 11 12 1 1 21 22 Матрица называется расширенной матрицей системы 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2. . . [ ]. . . . . n n mn m m ma a a b A B a a a b

 Определение. . Определителем системы nn  линейных уравнений с nn  неизвестными называется Определение. . Определителем системы nn линейных уравнений с nn неизвестными называется определитель Δ матрицы этой системы.

  Если  то система имеет единственное решение и называется невырожденной. . Если то система имеет единственное решение и называется невырожденной. . Если ΔΔ 0, 0, то система не имеет решения или имеет бесконечное множество решений и называется вырожденной. . 0,

  Метод Крамера. Необходимо:   1) вычислить определитель Δ системы;  Метод Крамера. Необходимо: 1) вычислить определитель Δ системы; 2) в определителе Δ заменить поочередно ii -й столбец столбцом свободных членов и вычислить соответствующие определители ΔΔ i i ; ;

  3) вычислить значения xx 11 , ,  xx 22 , …, 3) вычислить значения xx 11 , , xx 22 , …, xx nn по по формулам Крамера : : 4) записать решение ( ( xx 11 , , xx 22 , …, xx nn ). ). 1 2 , , . . . , ; n nx x x

  Метод обратной матрицы. .  Необходимо:   1) записать систему в Метод обратной матрицы. . Необходимо: 1) записать систему в матричном виде: AXAX BB , , где AA – матрица системы; XX – матрица-столбец неизвестных; BB – матрица-столбец свободных членов;

  22 ) решить матричное уравнение по формуле     XX 22 ) решить матричное уравнение по формуле XX AA – 1– 1 BB ; ; 33 ) записать решение ( ( xx 11 , , xx 22 , …, xx nn ). ).

  Элементарными преобразованиями строк матрицы  называются:   1) перестановка строк; Элементарными преобразованиями строк матрицы называются: 1) перестановка строк; 2) умножение строки на одно и то же число λ (λ 0);

  3) прибавление к строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число. 3) прибавление к строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число. В результате элементарных преобразований строк матрицы AA получают эквивалентную матрицу BB ; пишут: AA BB. .

  Метод Гаусса. Необходимо:   1) записать расширенную матрицу системы;  Метод Гаусса. Необходимо: 1) записать расширенную матрицу системы; 2) с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы свести матрицу системы к треугольной или трапециевидной;

  3) для преобразованной таким образом расширенной матрицы записать соответствующую систему уравнений; 3) для преобразованной таким образом расширенной матрицы записать соответствующую систему уравнений; 4) решить полученную систему начиная с последнего уравнения; 5) записать решение ( x 1 , x 2 , …, x n ).

В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность. Ф.В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность. Ф. Бэкон

Векторная алгебра Векторная алгебра

§§ 1. Векторы §§ 1. Векторы

 Определение. . Вектором называется направленный отрезок.  Определение. . Вектором называется направленный отрезок.

 Определение. . Длиной (или модулем ) ) вектора  называется расстояние между его Определение. . Длиной (или модулем ) ) вектора называется расстояние между его началом и концом. Модули векторов и обозначают и соответственно. ABa AB a

  Векторы и называются коллинеарными векторами  (обозначаются  если они лежат на Векторы и называются коллинеарными векторами (обозначаются если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. ab || ), a b

  Если и имеют одинаковое направление, то их называют сонаправленными (обозначаются  Если и имеют одинаковое направление, то их называют сонаправленными (обозначаются а если противоположное – противоположно направленными (обозначаются ab ), a b ). a b

  Векторы называются компланарными , если они параллельны некоторой плоскости.   Векторы Векторы называются компланарными , если они параллельны некоторой плоскости. Векторы и называются равными , если и ab a b

  Угол между векторами  (обозначается   – наименьший угол между направлениями Угол между векторами (обозначается – наименьший угол между направлениями векторов ии, a b ( , ))a b a, b 0 ( , )π. a b

  Если    то векторы называются ортогональными  (обозначаютсяπ ( , Если то векторы называются ортогональными (обозначаютсяπ ( , ) , 2 a b ). a b

 Определение. . Произведением вектора  на число λ λ    Определение. . Произведением вектора на число λ λ называется вектор, обозначаемый такой, что: a (λ )R λ , a

  1)1)  2)    при λλ 0, 0,  1)1) 2) при λλ 0, 0, при λλ 0 илиλ λ ; a a λa a λ 0 a 0. a

  Вектор  называется противоположным вектору a : a 1. a a Вектор называется противоположным вектору a : a 1. a a

Правило треугольника   Правило параллелограмма Правило треугольника Правило параллелограмма

Правило ломаной Правило ломаной

Правило параллелепипеда Правило параллелепипеда

  Разностью векторов и  называется вектор ab ( ). a b Разностью векторов и называется вектор ab ( ). a b

 Определение. . Векторы    называются линейно зависимыми , если существуют числа Определение. . Векторы называются линейно зависимыми , если существуют числа не все равные нулю, такие, что 1 2 , , , na a a. K 1 2 λ , , λ , n. K 1 1 2 2 λ λ. . . λ 0. n na a a

  В противном случае векторы    называются линейно независимыми. . 1 В противном случае векторы называются линейно независимыми. . 1 2 , , , na a a. K

  Два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора на плоскости линейно Два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

  Три компланарных вектора линейно зависимы, а три некомпланарных вектора в пространстве линейно Три компланарных вектора линейно зависимы, а три некомпланарных вектора в пространстве линейно независимы.

 Определение. . Базисом в пространстве называются три упорядоченных некомпланарных вектора.  Определение. . Базисом в пространстве называются три упорядоченных некомпланарных вектора.

  Если     – базис в RR 33 , , Если – базис в RR 33 , , то то любой вектор пространства можно представить единственным образом в виде линейной комбинации 1 2 3 { , , }e e e a 1 1 2 2 3 3. a x e x e

Числа xx 11 , ,  xx 22 , ,  xx 33 называютсяЧисла xx 11 , , xx 22 , , xx 33 называются координатами вектора в базисе пишут a 1 2 3 { , , }; e e e 1 2 3 ( , , ). a x x x

  Базис называется ортонормированным , если базисные векторы попарно ортогональны и имеют единичную Базис называется ортонормированным , если базисные векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину; обозначается где { , , }, i j k (1, 0, 0), i(0, 1, 0), j(0, 0, 1). k

  Координаты вектора в ортонормированном базисе называются прямоугольными декартовыми координатами. . Координаты вектора в ортонормированном базисе называются прямоугольными декартовыми координатами. .

  Если      то: 1 1 1 , a Если то: 1 1 1 , a x i y j z k 2 2 2 , b x i y j z k 1 1 1 λ λa x i y j z k (λ ), R 1 2 1 2 ( ) ( ). a b x x i y y j z z k

§§ 2. Скалярное произведение §§ 2. Скалярное произведение

 Определение. . Скалярным произведением векторов    и (обозначается  или или Определение. . Скалярным произведением векторов и (обозначается или или называется число ab( , ), a b )ab ( , ) cos ( , ). a b a b

  Если    в базисе    то 1 1 Если в базисе то 1 1 1 ( , , ), a x y z 2 2 2 ( , , )b x y z { , , }, i j k 1 2 1 2 ( , ). a b x x y y z z

 Теорема. . Для перпендикулярности ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобыab ( , Теорема. . Для перпендикулярности ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобыab ( , ) 0. a b

  Скалярное произведение векторов обладает свойствами:   1)1)  2)2)  3)3)( Скалярное произведение векторов обладает свойствами: 1)1) 2)2) 3)3)( , ); a b b a ( , ); a b c a c b c (λ , ) ( , λ ) λ( , )a b a b (λ ). R

  Если    то:   прпр1 1 1 ( , Если то: прпр1 1 1 ( , , ), a x y z 2 2 2 ( , , )b x y z 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( , ) cos ( , ), x x y y z za b a bx y z 1 2 1 2 2 1 1 1 ( , ). a x x y y z za b b ax y z

  Работа AA силы по по перемещению материальной точки на вектор F : Работа AA силы по по перемещению материальной точки на вектор F : s ( , ) cos ( , ). A F s F s

§§ 3. Векторное произведение §§ 3. Векторное произведение

  Упорядоченная тройка некомпланарных векторов   с общим началом называется правой , Упорядоченная тройка некомпланарных векторов с общим началом называется правой , , если с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору наблюдается происходящим против хода часовой стрелки. , , a b c ab c

В противном случае тройка векторов называется левой. . В противном случае тройка векторов называется левой. .

 Определение. . Векторным произведением векторов    и (обозначается  или называется Определение. . Векторным произведением векторов и (обозначается или называется вектор, удовлетворяющий условиям: ab[ , ]a b)a b

  1)1)  2)   и  3) тройка векторов  1)1) 2) и 3) тройка векторов –– правая. [ , ] sin ( , ); a b a b [ , ]a b a[ , ] ; a b b , a, b[ , ]a b

  Если    в базисе    то 1 1 Если в базисе то 1 1 1 ( , , ), a x y z 2 2 2 ( , , )b x y z { , , }, i j k 1 1 1 2 2 2. [ , ] i j k a b x y z

 Теорема. . Для коллинеарности ненулевых векторов  и необходимо и достаточно, чтобы ab Теорема. . Для коллинеарности ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы ab [ , ] 0. a b

  Векторное произведение векторов обладает свойствами:   1)1)  2)2)  3)3)[ Векторное произведение векторов обладает свойствами: 1)1) 2)2) 3)3)[ , ]; a b b a [ , ]; a b c a c b c [λ , ] [ , λ ] λ[ , ]a b a b ( λ ). R

  Площадь SS параллелограмма , ,  построенного на векторах и a: b Площадь SS параллелограмма , , построенного на векторах и a: b [ , ]. S a b

  Площадь SS треугольника , ,  построенного на векторах и a: b Площадь SS треугольника , , построенного на векторах и a: b 1 [ , ]. 2 S a b

§§ 4. Смешанное произведение §§ 4. Смешанное произведение

 Определение. . Смешанным произведением векторов   и (обозначается    Определение. . Смешанным произведением векторов и (обозначается или называется число, равное , abc( , , ) a b c )abc ([ , ], ). a b c

  Если      в базисе    то Если в базисе то 1 1 1 ( , , ), a x y z 2 2 2 ( , , ), b x y z { , , }, i j k 3 3 3 ( , , )c x y z 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ( , , ). x y z a b c x y z

 Теорема. . Для компланарности ненулевых векторов   необходимо и достаточно, чтобы , Теорема. . Для компланарности ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы , a, b ( , , ) 0. a b c c

  Смешанное произведение векторов обладает свойствами:   1)1)  2)2)([ , ], Смешанное произведение векторов обладает свойствами: 1)1) 2)2)([ , ], ) ( , [ , ]); a b c ( , , )a b c a c a b ( , , ). b a c c b a a c b

  Объем VV параллелепипеда , ,  построенного на векторах, , : a Объем VV параллелепипеда , , построенного на векторах, , : a b c ( , , ). V a b c

  Объем VV пирамиды , ,  построенной на векторах, , : a Объем VV пирамиды , , построенной на векторах, , : a b c 1 ( , , ). 6 V a b c

Высшее назначение математики как раз и состоит в том, чтобы находить скрытый порядок вВысшее назначение математики как раз и состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает. Н. Винер