Лектор Пахомова Е. Г. 2011 г. Математический анализ

Лектор Пахомова Е. Г. 2011 г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Сходимость знакопеременных рядов

§ 16. Сходимость знакопеременных рядов 1. Знакочередующиеся ряды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд , у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки , называется знакочереду- ющимся. Будем считать, что 1 -й член знакочередующегося ряда положителен. знакочередующийся ряд имеет вид: u 1 – u 2 + u 3 – u 4 + … (– 1) n + 1 u n + … =∑(– 1) n + 1 u n , ( 1 ) где u n > 0 , n ℕ .

ТЕОРЕМА 1 (признак сходимости Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд ∑(– 1) n + 1 u n удовлетворяет условиям: 1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. u 1 > u 2 > … > u n > … , 2) Тогда ряд ∑(– 1) n + 1 u n сходится, причем его сумма S поло- жительна и не превосходит первого члена ряда. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 0 lim n n u

Замечания. 1) Ряд ∑(– 1) n + 1 u n будет сходиться и в том случае, когда условие 1 теоремы Лейбница выполняется, начиная с некоторого номера N. Но утверждение о сумме ряда в этом случае не будет иметь места. 2) Если ряд ∑(– 1) n + 1 u n удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то погрешность, получаемая при замене суммы ряда S его частичной суммой S n , не превосходит модуля первого отбрасываемого члена, т. е. | R n | = | S – S n | < u n + 1 3) Если ряд ∑(– 1) n + 1 u n не удовлетворяет 2 -му условию теоремы Лейбница, то он расходится (т. к. не выполнено необходимое условие сходимости). Если ряд ∑(– 1) n + 1 u n удовлетворяет 2 -му условию теоре- мы Лейбница, но не удовлетворяет ее 1 -му условию, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.

2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов Пусть ∑ u n – знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд ∑| u n |. ТЕОРЕМА 2 (признак абсолютной сходимости). Если ряд ∑| u n | сходится, то ряд ∑ u n тоже сходится. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Замечание. Признак абсолютной сходимости достаточный, но не необходимый. Т. е. существуют сходящиеся знакопере- менные ряды ∑ u n , для которых ∑| u n | – расходится. ОПРЕДЕЛНИЕ. Ряд ∑ u n называют абсолютно сходящимся , если его ряд модулей ∑| u n | сходится. Если ряд ∑ u n – сходится, а его ряд модулей ∑| u n | – расходится, то ряд ∑ u n называют условно сходящимся.

СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1) ТЕОРЕМА 3. Если ряды ∑ u n и ∑ v n сходятся абсолютно, то ряд ∑(α u n β v n ) тоже сходится абсолютно ( α, β ℝ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно СЛЕДСТВИЕ теоремы 3. Если ряд ∑ u n – сходятся абсолютно, ∑ v n – сходятся условно, то ряд ∑(α u n β v n ) сходится условно ( α, β ℝ , 0 ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

2) ТЕОРЕМА 4 (о перестановке членов ряда). а) Если ряд ∑ u n сходится абсолютно , то ряд , полученный из него в результате перестановки членов , также сходится абсолютно и имеет ту же сумму. б) Если ряд ∑ u n сходится условно , то можно так переставить члены ряда , что сумма получившегося ряда будет равна любому , заранее заданному числу. Более того , можно так переставить члены ряда , что получившийся ряд будет расходиться (теорема Римана).

Пусть даны два ряда: ∑ u n и ∑ v n . Составим таблицу из всевозможных парных произведений членов этих рядов: u 1 v 1 u 1 v 2 u 1 v 3 … u 1 v n … u 2 v 1 u 2 v 2 u 2 v 3 … u 2 v n … u 3 v 1 u 3 v 2 u 3 v 3 … u 3 v n … ………………………. . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением рядов ∑ u n и ∑ v n называют ряд , составленный из элементов таблицы (2) в следующем порядке : Итак: ∑ u n ∑ v n = u 1 v 1 + u 1 v 2 + u 2 v 1 + u 1 v 3 + u 2 v 2 + u 3 v 1 + …)2(

3) ТЕОРЕМА 5 (о сходимости произведения рядов). Пусть ряды ∑ u n и ∑ v n сходятся абсолютно и их суммы равны U и V соответственно. Тогда ряд ∑ u n ∑ v n тоже сходится абсолютно и его сумма равна U V .

ТЕОРЕМА 6 (признак Дирихле). Пусть 1) последовательность { a n } монотонна и 2) последовательность частичных сумм ряда ∑ b n ограничена. Тогда ряд ∑ a n b n – сходится . ТЕОРЕМА 7 (признак Абеля). Пусть 1) { a n } монотонная и ограниченная ; 2) ряд ∑ b n – сходится. Тогда ряд ∑ a n b n – сходится ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно; 0 lim n n a