Лектор Буганова С. Н. Интегрирование рациональных функций. Интегралы

  • Размер: 360 Кб
  • Количество слайдов: 13

Описание презентации Лектор Буганова С. Н. Интегрирование рациональных функций. Интегралы по слайдам

Лектор Буганова С. Н. Интегрирование рациональных функций. Интегралы от функций,  содержащих квадратный трехчлен. Интегралы отЛектор Буганова С. Н. Интегрирование рациональных функций. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен. Интегралы от некоторых классов тригонометрических функций. Дисциплина Математика 1 Лекция 13 2015 -16 учебный год

План лекций 1. Интегрирование дробно-рациональных функций 2. Интегрирование тригонометрических функций 3. Интегрирование некоторых иррациональностей План лекций 1. Интегрирование дробно-рациональных функций 2. Интегрирование тригонометрических функций 3. Интегрирование некоторых иррациональностей

Интегрирование рациональных дробей.   Рациональной дробью называется отношение двух многочленов    , гдеИнтегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов , где n, m – степени многочленов. Если n<m, то рациональная дробь называется правильной, в противном случае, при n≥m, — неправильной. Если дробь неправильная, то из нее нужно сначала выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель )( )( x. Q x. P m n

 Неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.  Простейшими Неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов: , , где А, В, С, a , p, q – любые числа, k. N, k>1. Дроби первых двух типов интегрируются непосредственно ; Для интегрирования дроби третьего и четвертого типов нужно выделить полный квадрат в знаменателе и затем сделать замену переменной. ax A kax A )(qpxx CBx 2 kqpxx CBx )(2 cax. A ax axd Adx ax A ln )( c k ax Aaxdax. Adx ax Ak k k 1 )( )( 1 c axk A k 1 )()1(

Пример Пример

Интегрирование тригонометрических функций.  1. Интегралы вида     ,  вычисляются с помощьюИнтегрирование тригонометрических функций. 1. Интегралы вида , вычисляются с помощью формулы: , 2. Интегралы вида , где хотя бы одно из чисел m и n – нечетное положительное, k и второе число – любое, вычисляются подведением под знак дифференциала. mxdxkxsinsinmxdxkxcoscos ))cos()(cos( 2 1 sinsinxmkxmkmxkx ))sin()(cos( 2 1 cossinxmkxmkmxkx ))cos()(cos( 2 1 coscosxmkxmkmxkx kxdxkxnmsincos

 3. Интегралы вида      , где m и n – четные 3. Интегралы вида , где m и n – четные положительные числа (одно из них может равняться нулю) k – любое число, вычисляются с помощью формул понижения степени: , 4. Интегралы вида и , где m – натуральное, k – любое число, вычисляются заменой переменной: tgkx=z или ctgkx=z. 5. Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки , откуда x=2 arctgz; ; kxdxkxnmsincos )2 cos 1( 2 1 sin 2)2 cos 1( 2 1 cos 22 sin 2 1 cossin kxdxtg m kxdxctg m dxxx. R)cos; (sin z x tg 2 21 2 z dz dx 21 2 sin z z x 22 1 1 cos zz x 2 1 2 2 sin 2 x tg x 2 1 cos 2 2 x tg x

Интегрирование простейших иррациональных функций  1. Интегралы вида      интегрируются так же,Интегрирование простейших иррациональных функций 1. Интегралы вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3 – го вида: в знаменателе выделяются полный квадрат и вводится новая переменная. 2. Интегралы вида вычисляются с помощью замены переменной , где s – наименьшее общее кратное чисел n 1, n 2, …, nk; a , b, c, d – числа (c и d не равны нулю одновременно). В частности, корень под знаком интеграла может быть один. cbxax dx. BAx 2)( dx dcx bax x. Rknnn ); . . . ; ; ; (21 st dcx bax

3. Интегралы вида    ,     вычисляются с помощью тригонометрических подстановок3. Интегралы вида , вычисляются с помощью тригонометрических подстановок соответственно: 1. x=asinz; dx=acoszdz. 2. x=atgz; . 3. . dxxax. R); ( 22 dxaxx. R); ( 22 z adz dx 2 cos z a x cos z zdza dx 2 cos sin

Пример (вычисление с помощью тригонометрических подстановок).  z dz ztg z dz dxtgzxdx x x 24Пример (вычисление с помощью тригонометрических подстановок). z dz ztg z dz dxtgzxdx x x 24 2 cos 1 cos ; 1 c z zzd z zdz zztg dz 3 sinsin cos cossin cos 3 4 434 4 34 3 322 2 2 3 3 1 ) 11 11 sin; sin 1 1; 1 ( sin 3 1 x x c x x x zctg z z zctg x ctgz z c

Задание на СРС 1. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен. (конспект) [1, 2].  Задание наЗадание на СРС 1. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен. (конспект) [1, 2]. Задание на СРСП 1. ИДЗ-8. 2. , 8. 3 [1. – стр. 57].

Глоссарий № аза шаҚ қ Русский English 1. Ал аш ы функция ғ қ Первообразная функцияГлоссарий № аза шаҚ қ Русский English 1. Ал аш ы функция ғ қ Первообразная функция Antiderivative 2. Аны талма ан интеграл қ ғ Неопределенный интеграл Ndefinite integral 3. Айнымалы ауыстыру Замена переменной Transformation of variable 4. Б лшектеп интегралдау ө Интегрирование по частям Integration by parts 5. Интеграл астында ы ғ функция Подынтегральная функция Integrand

Основная 1. А. П.  Рябушко.  Индивидуальные задания по высшей математике,  т. 2 -Основная 1. А. П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике, т. 2 — Мн. : Выш. Школа, 2011. 2. Данко П. Е. , Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. — М. : Оникс, 2007. Дополнительная 3. Сыдыкова Д. К. Математика I. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. -Алматы: Каз. ГАСА, 2008. 4. Сыдыкова Д. К. «Курс Математики- I» , Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный учебник. -Алматы: Каз. ГАСА, 2012. 5. www. studentlibrary. ru 6. http: //sferaznaniy. ru/vysshaya-matematika.