Лектор Буганова С. Н. Интегрирование рациональных функций. Интегралы

Лектор Буганова С. Н. Интегрирование рациональных функций. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен. Интегралы от некоторых классов тригонометрических функций. Дисциплина Математика 1 Лекция 13 2015 -16 учебный год

План лекций 1. Интегрирование дробно-рациональных функций 2. Интегрирование тригонометрических функций 3. Интегрирование некоторых иррациональностей

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов , где n, m – степени многочленов. Если n<m, то рациональная дробь называется правильной, в противном случае, при n≥m, — неправильной. Если дробь неправильная, то из нее нужно сначала выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель )( )( x. Q x. P m n

Неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов: , , где А, В, С, a , p, q – любые числа, k. N, k>1. Дроби первых двух типов интегрируются непосредственно ; Для интегрирования дроби третьего и четвертого типов нужно выделить полный квадрат в знаменателе и затем сделать замену переменной. ax A kax A )(qpxx CBx 2 kqpxx CBx )(2 cax. A ax axd Adx ax A ln )( c k ax Aaxdax. Adx ax Ak k k 1 )( )( 1 c axk A k 1 )()1(

Пример

Интегрирование тригонометрических функций. 1. Интегралы вида , вычисляются с помощью формулы: , 2. Интегралы вида , где хотя бы одно из чисел m и n – нечетное положительное, k и второе число – любое, вычисляются подведением под знак дифференциала. mxdxkxsinsinmxdxkxcoscos ))cos()(cos( 2 1 sinsinxmkxmkmxkx ))sin()(cos( 2 1 cossinxmkxmkmxkx ))cos()(cos( 2 1 coscosxmkxmkmxkx kxdxkxnmsincos

3. Интегралы вида , где m и n – четные положительные числа (одно из них может равняться нулю) k – любое число, вычисляются с помощью формул понижения степени: , 4. Интегралы вида и , где m – натуральное, k – любое число, вычисляются заменой переменной: tgkx=z или ctgkx=z. 5. Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки , откуда x=2 arctgz; ; kxdxkxnmsincos )2 cos 1( 2 1 sin 2)2 cos 1( 2 1 cos 22 sin 2 1 cossin kxdxtg m kxdxctg m dxxx. R)cos; (sin z x tg 2 21 2 z dz dx 21 2 sin z z x 22 1 1 cos zz x 2 1 2 2 sin 2 x tg x 2 1 cos 2 2 x tg x

Интегрирование простейших иррациональных функций 1. Интегралы вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3 – го вида: в знаменателе выделяются полный квадрат и вводится новая переменная. 2. Интегралы вида вычисляются с помощью замены переменной , где s – наименьшее общее кратное чисел n 1, n 2, …, nk; a , b, c, d – числа (c и d не равны нулю одновременно). В частности, корень под знаком интеграла может быть один. cbxax dx. BAx 2)( dx dcx bax x. Rknnn ); . . . ; ; ; (21 st dcx bax

3. Интегралы вида , вычисляются с помощью тригонометрических подстановок соответственно: 1. x=asinz; dx=acoszdz. 2. x=atgz; . 3. . dxxax. R); ( 22 dxaxx. R); ( 22 z adz dx 2 cos z a x cos z zdza dx 2 cos sin

Пример (вычисление с помощью тригонометрических подстановок). z dz ztg z dz dxtgzxdx x x 24 2 cos 1 cos ; 1 c z zzd z zdz zztg dz 3 sinsin cos cossin cos 3 4 434 4 34 3 322 2 2 3 3 1 ) 11 11 sin; sin 1 1; 1 ( sin 3 1 x x c x x x zctg z z zctg x ctgz z c

Задание на СРС 1. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен. (конспект) [1, 2]. Задание на СРСП 1. ИДЗ-8. 2. , 8. 3 [1. – стр. 57].

Глоссарий № аза шаҚ қ Русский English 1. Ал аш ы функция ғ қ Первообразная функция Antiderivative 2. Аны талма ан интеграл қ ғ Неопределенный интеграл Ndefinite integral 3. Айнымалы ауыстыру Замена переменной Transformation of variable 4. Б лшектеп интегралдау ө Интегрирование по частям Integration by parts 5. Интеграл астында ы ғ функция Подынтегральная функция Integrand

Основная 1. А. П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике, т. 2 — Мн. : Выш. Школа, 2011. 2. Данко П. Е. , Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. — М. : Оникс, 2007. Дополнительная 3. Сыдыкова Д. К. Математика I. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. -Алматы: Каз. ГАСА, 2008. 4. Сыдыкова Д. К. «Курс Математики- I» , Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный учебник. -Алматы: Каз. ГАСА, 2012. 5. www. studentlibrary. ru 6. http: //sferaznaniy. ru/vysshaya-matematika.