Лекция Тема: Линейные дифференциальные

  • Размер: 893 Кб
  • Количество слайдов: 19

Описание презентации Лекция Тема: Линейные дифференциальные по слайдам

Лекция  Тема:  Линейные  дифференциальные  уравнения  n -го порядка ( однородные сЛекция Тема: Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка ( однородные с постоянными коэффициентами)

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ Определение  Фундаментальная система решений – совокупность любых линейно независимых решений. 0 yyФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ Определение Фундаментальная система решений – совокупность любых линейно независимых решений. 0 yy xyxysin, cos 21 Пример Найти фундаментальную систему решений фундаментальная система решений Уравнение имеет и другие фундаментальные решения, например xkyxkysin, cos 21 Решение

 Определение  Линейное однородное уравнение  вида y ( n ) + a 1 Определение Линейное однородное уравнение вида y ( n ) + a 1 y ( n– 1) +…+ a n – 1 y + a n y =0, (1) где a 1 , a 2 , … , a n – действительные числа называется линейным однородным уравнением n –го порядка с постоянными коэффициентами. Решения уравнения ( 1) будем искать в виде y = e x , где – постоянная Левая уравнения (1) называется линейным дифференциальным оператором и обозначается ( ) 0 L y

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 1. Постоянный множитель можно выносить за знак оператора. 2. Оператор от суммы двухСВОЙСТВА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 1. Постоянный множитель можно выносить за знак оператора. 2. Оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций o 3. Если решение однородного линейного уравнения y. Lkky. L 2121 y. Lyy. L 0)(1 y. L то 1 Cyy — тоже решение, т. е 1( ) 0 LСy

ПУСТЬ  Имеем:  y  = e  x , y =  2 ПУСТЬ Имеем: y = e x , y = 2 e x , y = 3 e x , … , y ( n ) = n e x . Подставляем y , … , y ( n ) в уравнение ( 1 ) и получаем: n e x + a 1 n– 1 e x +…+ a n – 1 e x + a n e x =0, n + a 1 n– 1 +… + a n – 1 + a n = 0 . характеристическое уравнение А его корни — характеристические числа решение линейного Д У

ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ Рассмотрим линейное однородное уравнение 2 -го порядка 0)()(yxqyxpy Теорема Если 1 y 2ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ Рассмотрим линейное однородное уравнение 2 -го порядка 0)()(yxqyxpy Теорема Если 1 y 2 yny nn y. Cy. Cy 2211 — фундаментальная система решений уравнения то — общее решение Замечание Всякое частное решение однородного линейного уравнения – линейная комбинация частных решений, составляющих фундаментальную систему решений. Замечание Уравнение (1) не может иметь более чем n линейно независимых частных решений. (1)

)()(xfy. LПусть нашли частное решение Пусть линейное неоднородное уравнение )()(1 xfy. L Введем новую функцию zyy)()(xfy. LПусть нашли частное решение Пусть линейное неоднородное уравнение )()(1 xfy. L Введем новую функцию zyy 1)()(11 xfz. Ly. Lzy. L )()(1 xfy. L)()(2 xfy. L 21 yy тоже частное решение xeyy 322 22 yy 1 y xeyy 32 xeyxey 1 • Пример частные решения 0)(z. Lоднородное уравнение, соответствующее неоднородному nn z. Cz. Cyy 22111 общее решение неоднородного уравнения

 Структура общего решения линейного неоднородного уравнения : частное решение этого уравнения общее решение однородного уравнения Структура общего решения линейного неоднородного уравнения : частное решение этого уравнения общее решение однородного уравнения 01 1 1 nn n aaea n, , 1 Алгоритм • Составляем характеристическое уравнение • Находим корни характеристического уравнения По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения (частных решений будет ровно столько, каков порядок линейного дифференциального уравнения)

 N + A 1 N– 1 +… + A N – 1  + A N + A 1 N– 1 +… + A N – 1 + A N = 0 . Замечани я 1) характеристическое уравнение получается из ( 1 ) заменой производных искомой функции на соответствующие степени , а самой функции – на 0 =1. уравнение n -й степени оно имеет n корней, но 1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2)корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены).

 ТЕОРЕМА Пусть – характеристический корень уравнения ( 1 ).  Тогда 1) если – простой ТЕОРЕМА Пусть – характеристический корень уравнения ( 1 ). Тогда 1) если – простой корень уравнения , то решением является функция e x ; 2) если – корень кратности k уравнения ( 1 ) , то решениями уравнения ( 1 ) являются функции e x , x 2 e x , …, x k– 1 e x ; 3) если = + i ℂ и – простой комплексный корень уравнения ( 1 ), то = – i тоже является простым корнем уравнения ( 1 ) , а решениями уравнения ( 1 ) являются функции e x cos x , e x sin x ; 4) если = + i и – комплексный корень кратности k уравнения ( 1 ), то = – i тоже является корнем кратности k уравнения ( 1 ) , а решениями являются функции e x cos x , xe x cos x , x 2 e x cos x , …, x k – 1 e x cos x e x sin x , xe x sin x , x 2 e x sin x , …, x k – 1 e x sin x .

 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ N -ГО ПОРЯДКА Рассмотрим линейное неоднородное уравнение y ( n ) + ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ N -ГО ПОРЯДКА Рассмотрим линейное неоднородное уравнение y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n– 1) +…+ a n – 1 ( x ) y + a n ( x ) y = f ( x ). Если известно общее решение соответствующего ЛОДУ y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n– 1) +…+ a n – 1 ( x ) y + a n ( x ) y =0, Тогда его общее решение будет иметь вид y = C 1 y 1 + C 2 y 2 +… + C n y n , где C 1 , C 2 , … , C n – произвольные постоянные. Полагаем, что РЕШЕНИЕ ЛНДУ ПО СТРУКТУРЕ совпадает с решением соответствующего ЛОДУ , т. е. имеет вид y = C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 +…+ C n ( x ) y n , где C 1 ( x ) , C 2 ( x ) , … , C n ( x ) – некоторые функции.

ТЕОРЕМА (О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛНДУ)  Общее решение ЛНДУ n –го порядка равно сумме общегоТЕОРЕМА (О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛНДУ) Общее решение ЛНДУ n –го порядка равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и любого частного решения y ( x ) неоднородного уравнения, т. е. имеет вид y ( x )= C 1 y 1 + C 2 y 2 +…+ C n y n + y ( x ) , где y 1 , y 2 , … , y n –решения, соответствующего ЛОДУ

ПРИМЕР  ПРИМЕР

ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА характеристическое уравнение 021 yayay 021 2 aaЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА характеристическое уравнение 021 yayay 021 2 aa Два различных действительных корня xx e. Cy 21 21 один корень x ex. CCy 0)(21 комплексно сопряженные корни ). cossin(21 x. Cey x

ВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Если корни характеристического уравнения - вещественные и различныеk x kВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Если корни характеристического уравнения — вещественные и различныеk x k ke. C общее решение однородного уравнения iba k o 2. Если корни характеристического уравнения корни комплексные bx. Ce ax sincos 21 общее решение однородного уравнения

ВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 3. Если корни характеристического уравнения - вещественные и кратныеk общее решениеВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 3. Если корни характеристического уравнения — вещественные и кратныеk общее решение однородного уравнения iba k o 4. Если корни характеристического уравнения корни комплексные общее решение однородного уравнения k кратный корень x kex. P 1)(1 k кратный корень bxx. Qbxx. Pekk axsin)(cos)(

ПРИМЕР Решен ие одн ородн ог о уравн ен ия  частное решен ие ищем вПРИМЕР Решен ие одн ородн ог о уравн ен ия частное решен ие ищем в виде 210665 2 xxyyyxx e. Cz 3 2 2 1 CBx. Axy 2 23 2 2 1 xe. Cy xx общее решение неоднородного уравнения

НЕОДНОРОДНЫЕ  ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ Правая частьx mex. Pxf)()(  - не являетсяНЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ Правая частьx mex. Pxf)()( — не является корнем характеристического уравнения x mex. Qy)( вид общего решения неоднородного уравнения k корень кратности x m kex. Qxy)( вид общего решения неоднородного уравнения bxx. Pexfmm xsin)(cos)()(1 Правая часть iba — не является корнем характеристического уравнения bxx. Qeymm xsin)(cos)(21 вид общего решения неоднородного уравнения

 Правая частьbxx. Pexfmm xsin)(cos)()(1 iba  - является корнем характеристического уравнения  кратности k bxx. Правая частьbxx. Pexfmm xsin)(cos)()(1 iba — является корнем характеристического уравнения кратности k bxx. Qexymm xksin)(cos)(21 вид общего решения неоднородного уравнения