поток_дивергенция1.ppt
- Количество слайдов: 54
Лекция Поток векторного поля Дивергенция поля 1
Векторные линии ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторная линия векторного поля ā(M) - линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением поля (т. е. с вектором ā(M) ). ПРИМЕРЫ: 1) В поле скоростей текущей жидкости векторные линии – линии тока жидкости. В электрическом (электромагнитном) поле векторные линии – силовые линии. В векторном поле ā= P(x; y; z)i+ Q(x; y; z)j+ R(x; y; z)k векторные линии – решение системы дифференциальных уравнений 2
Замечание Для графического изображения векторного поля применяют векторные или силовые линии физический смысл векторных линий – векторные линии определяют в каждой точке направление векторного поля 3
Основные характеристики векторных полей q Векторные линии q Поток вектора q Дивергенция q Циркуляция q Ротор 4
Поток векторного поля Рассмотрим векторное поле, определенное функцией , Векторные линии будут линиями тока жидкости. Возьмем некоторую поверхность , находящуюся в жидкости, и подсчитаем количество жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени. 5
6
7
8
9
Геометрическая интерпретация ПОТОКА ВЕКТОРА Пусть имеется текущая жидкость: ⊽(M) – поле скоростей текущей жидкости. (S) – незамкнутая двусторонняя поверхность, помещенная в жидкость Найдем K – количество жидкости, протекающей через (S) за единицу времени (в направлении нормали N ). 1) Пусть (S) – плоская область, ⊽ – const, ⊽ (S) . K = S | ⊽ |
2) Пусть (S) – плоская область, – угол между ⊽ и N . K = S cos | ⊽ | Пусть n (S) и | n | = 1. Тогда K K = S (n , ⊽)
3) Рассмотрим общий случай. Пусть (S) – произвольная поверхность, ⊽ = P(x; y; z)i+ Q(x; y; z)j+ R(x; y; z)k а) Разобьем (S) на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (ΔS 1), (ΔS 2), … , (ΔSn). б) На каждой части (ΔSi) выберем произвольную точку Mi Если (ΔSi) – мала, то (ΔSi) можно считать плоской, а скорость жидкости постоянной и равной ⊽(Mi) Ki ≈ ΔSi (n (Mi) , ⊽(Mi) ) где Ki – поток жидкости через (ΔSi). где di – диаметр (ΔSi) ,
Получили: Таким образом, если ⊽(M) – поле скоростей текущей жидкости, то K – количество жидкости, протекающей через поверхность (S) за единицу времени (в направлении нормали).
Если угол между нормалью к поверхности и вектором ⊽(M) тупой, то K<0 жидкость течет в сторону, противоположную нормали к поверхности. Если угол между нормалью к поверхности и вектором ⊽(M) равен 90°, то K = 0 жидкость через поверхность не течет (линии тока жидкости параллельны поверхности).
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОТОКА ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ЗАМКНУТУЮ ПОВЕРХНОСТЬ Пусть ⊽(M) – поле скоростей текущей жидкости, (S) – замкнутая поверхность (внешняя сторона), ограничивающая область (V) Тогда K=K 2–K 1 , где K 1 – количество жидкости втекающей в область (V), K 2 – количество жидкости вытекающей из (V) за единицу времени. 1) Если K>0, то из (V) вытекает жидкости больше чем втекает (внутри области (V) имеются источники, добавляющие жидкость) 2
Если K<0, то из (V) вытекает жидкости меньше чем втекает (внутри области (V) имеются стоки, удаляющие жидкость) ) 3) Если K=0, то из (V) вытекает жидкости столько же, сколько втекает (внутри области (V) либо нет источников и стоков, либо их суммарная мощность равна) 16
Физический смысл потока поля Если a(M)- скорость течения жидкости, то, поток поля через поверхность будет определять объем жидкости, протекающей через поверхность в единицу времени. Этим и объясняется выбор названия «поток» . ü Замечание: поток вектора - скаляр Поток вектора – характеристика интенсивности поля. 17
Поток вектора через замкнутую поверхность -разность между количествами жидкости, вытекающей из объема V и втекающей в него в единицу времени. Если поверхность S замкнутая и поток П>0, то источник поля П<0 то сток поля П=0 , то или внутри поверхности S нет ни источников, ни стоков, или внутри S имеются и источники, и стоки, но они компенсируют друга 18
Дивергенция векторного поля Дивергенция -численная характеристика плотности источника или стока поля в любой его точке. Определение Дивергенция -предел отношения потока П поля через некоторую замкнутую поверхность S к объему, ограниченному поверхностью, когда диаметр области стремится к нулю так, что при этом стягивается в точку М, или расходимость поля в точке М 19
ü Замечание Дивергенция векторного поля - скалярная величина. ü если div a(M)>0, то в точке М имеется источник плотности , ü если div a(M)<0, то в точке М имеется сток; ü если div a(M)=0, то в точке М нет ни источников, ни стоков Дивергенция поля - численная характеристика плотности источника или стока поля в любой его точке. 20
Дивергенция образует скалярное поле в данном векторном поле. 21
ТЕОРЕМА. Пусть в области G задано векторное поле: ā(M) = P(x; y; z)i+ Q(x; y; z)j+ R(x; y; z)k , причем функции P, Q, R и их частные производные непрерывны в G. Тогда M G существует divā(M) и справедлива формула ОБОЗНАЧИМ: символический вектор называют набла-вектором или оператором Гамильтона. divā(M) = (∇ , ā)
Дивергенция — скалярная величина. В терминах символического вектора дивергенция может быть записана как «скалярное произведение» : 23
Свойства дивергенции 24
СВОЙСТВА ДИВЕРГЕНЦИИ 1) Если ā(M) = const, то divā(M) = 0; 2) Если C 1, C 2 – const, то div(С 1ā1 + С 2ā2) = С 1 divā1+ С 2 divā2 ; 3) Если u = u(x, y, z) = u(M) , то div[u(M) · ā(M)]= u(M) · divā(M) +(grad u(M) , ā(M)) 25
Теорема Гаусса. Остроградского Она устанавливает связь между потоком и дивергенцией векторного поля. 26
Теорема Остроградского -Гаусса 27
Доказательство. Пусть S – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, во всех точках которого определено поле вектора и частные производные непрерывны. 28
. Разобьем объем V на n элементарных объемов: Пусть В каждом объеме возьмем по точке – замкнутая поверхность, ограничивающая объем и определим в ней дивергенцию 29
Этот предел согласно теореме о дивергенции поля существует. По определению предела переменной известно, что абсолютная величина разности между пределом и значением переменной становится, начиная с некоторого значения переменной меньше любого положительного числа Выберем настолько малым, чтобы выполнялись неравенства 30
Умножив на получим: Просуммировав эти неравенств, получим неравенство 31
Заметим, что . будем иметь: Поэтому, по определению предела переменной 32
: Но предел интегральной суммы является, по определению, тройным . интегралом от дивергенции вектора по объему Поэтому , то есть теорема доказана. 33
В ряде случаев бывает удобным записывать теорему Гаусса-Остроградского в координатной форме 34
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕОРЕМЫ Остроградского – Гаусса: В поле скоростей текущей жидкости поток жидкости через замкнутую поверхность равен суммарной мощности всех источников и стоков ограниченных этой поверхность. 35
Пример Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл где S − поверхность тела, образованного цилиндром и плоскостями Решение. В соответствии с формулой Остроградского-Гаусса 36
Пример Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля Где S поверхностью тетраэдра с вершинами Решение. По формуле Остроградского-Гаусса, 37
Вычислим полученный тройной интеграл. Уравнение прямой AB имеет вид А уравнение плоскости ABC равно 38
ü Замечание Дивергенция векторного поля характеризуют свойства поля «в малом» , то есть в достаточно малой области (точке) поля. ü Теорем Гаусса-Остроградского характеризуют векторное поле «в целом» , то есть в любых, не обязательно малых, областях 39
Соленоидальное поле Определение. Поле вектора называется соленоидальным, если дивергенция вектора в каждой точке поля равна нулю: 40
ü Замечание Из физического смысла дивергенции следует, что в соленоидальном поле нет ни источников, ни стоков. ü В соленоидальном поле векторные линии не могут нигде ни начинаться, ни кончаться; они могут уходить в бесконечность или быть замкнутыми. 41
Поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение: Векторная трубка – часть поля, ограниченная векторными линиями гидродинамическая интерпретация в случае несжимаемой жидкости и отсутствии источников поля расход жидкости через любое поперечное сечение имеет одно и то же значение. 42
Замечание поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одно и то же значение, то есть через любое поперечное сечение трубки проходит одно и то же число векторных линий, а поэтому векторные линии не возникают и не пропадают. 43
Вихрь (ротор) поля ( сокращение латинского слова rotor — «вихрь» «вращатель» ). 44
Ротор поля Определение Вихрь, или ротор поля в т. M -вектор, проекция которого на нормаль к площадке равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L, окружающему точку М, к площади S площадки, ограниченной контуром L, когда контур L стягивается к точке М: 45
46
Вычисление ротора 47
Свойства вихря вектора rot(grad u) = 0 ; div(rotā) = 0. 48
СВОЙСТВА РОТОРА 1) Если ā(M) = const, то rotā(M) = 0; 2) Если C 1, C 2 – const, то rot(С 1ā1 + С 2ā2) = С 1 rotā1+ С 2 rotā2 ; 3) Если u = u(x, y, z) = u(M) , то rot[u(M) · ā(M)]= u(M) · rotā(M) +[grad u(M) , ā(M)] ; 4) rot(grad u) = 0 ; 5) div(rotā) = 0.
Физический смысл ротора вектор rot a(M) направлен по нормали к плоскости, в которой вращательная способность поля наибольшая; Модуль вектора rot a(M) характеризует вращательную способность поля в точке М плоскости Р/ 50
Теорема Стокса устанавливает связь между циркуляцией поля по любому контуру L и потоком вихря поля через любую поверхность, ограниченную контуром L. 51
Потенциальное поле 52
53
Свойства потенциального поля 54