Лекция N12 Лектор: доц. Лаптева Надежда Александровна Тема:

Лекция N12 Лектор: доц. Лаптева Надежда Александровна Тема: Дифференциал функции. Исследование функции с помощью производной

Рассмотрим функцию Найдем Дифференциал функции

Приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых: - линейное относительно - нелинейное относительно

При оба слагаемых стремятся к нулю, но второе слагаемое быстрее стремится к нулю. Поэтому при малых считают, что (т.е. считают, что приближенно равно линейной части). Эту часть называют главной частью приращения функции или дифференциалом. Дифференциал функции обозначают

Теорема. Если функция имеет в точке дифференциал, то она имеет в этой точке производную и наоборот, если функция имеет в точке производную, то она имеет в этой точке дифференциал. Выражение для дифференциала записывается в форме

Примеры. Найти дифференциалы функций 1) 2)

Теорема. Если функция дифференцируема в точке то она в этой точке непрерывна. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми.

Пример. В точке функция непрерывна, так как

Справа от нуля поэтому Слева от нуля поэтому

Таким образом, отношение при справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что при это отношение предела не имеет, т.е. производная в точке не существует.

Схема исследования функции 1) Найти область определения функции 2) Исследовать функцию на четность и нечетность 3) Найти точки пересечения с осями координат

4) Найти асимптоты кривой 5) Исследовать функцию по знаку первой производной , т.е. найти интервалы возрастания, убывания, точки экстремума

6) Исследовать функцию по знаку второй производной , т.е. найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба 7) Построить график. Для построения графика можно все результаты исследования свести в таблицу.

Пример. Исследовать функцию и построить график: 1) Область определения:

2) Чётность, нечётность. четная, если нечетная, если функция нечетная, следовательно график функции симметричен относительно начала координат.

3) Точки пересечения с осями координат 4) Асимптоты – это прямые, к которым стремится график функции при неограниченном удалении от начала координат.

Асимптоты бывают: a) вертикальные. Они параллельны оси Уравнение вертикальной асимптоты b) наклонные. Уравнение где

c) если то и наклонная асимптота становится горизонтальной, т.е. параллельной оси Найдем асимптоты кривой Т.к. то - вертикальная асимптота.

Аналогично, - вертикальная асимптота. Заметим, что кривая может иметь сколько угодно вертикальных асимптот. Пример. Вертикальные асимптоты где

Найдем наклонную асимптоту

- наклонная асимптота.

Найдем

- точка максимума. - точка минимума. + - + -

Можно было не рассматривать т.е. функция нечетная и достаточно построить график только для а затем отобразить график симметрично относительно начала координат.

Найдем

не существует (разрыв) при + - + -

Если то функция вогнута. Если то функция выпукла. + + -

Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба. 7) Для построения графика сделаем сводную таблицу. Т.к. функция нечетная, то будем рассматривать только - точка перегиба.

+ - - - - + + Точка перегиба Вертикальная асимптота min

Строим график Отмечаем асимптоты, точки max, min, точки пересечения с осями, точки перегиба

Для строим график, используя нечетность функции.