Лекция 8 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ -ТЕОРИЯ ПОЛЯ Основные характеристики

  • Размер: 661 Кб
  • Количество слайдов: 23

Описание презентации Лекция 8 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ -ТЕОРИЯ ПОЛЯ Основные характеристики по слайдам

Лекция 8 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ -ТЕОРИЯ ПОЛЯ Основные характеристики скалярных полей  I.  Геометрические характеристики Лекция 8 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ -ТЕОРИЯ ПОЛЯ Основные характеристики скалярных полей I. Геометрические характеристики 2. Дифференциальные характеристики 3. Интегральные характеристики 4. Связь характеристик скалярного поля

Скалярное поле 1.  Определение. Если с каждой точкой     некоторой пространственной областиСкалярное поле 1. Определение. Если с каждой точкой некоторой пространственной области связана скалярная величина, то в области задано скалярное поле( , , )P x y z G ( , , )u f x y z G — функция поля , , f x y z Примеры: поле температур, поле давления, поле плотности, поле концентраций, поле электрического заряда.

 Геометрические характеристики скалярного поля  - поверхности и линии уровня.  Определение. Поверхностью уровня Геометрические характеристики скалярного поля — поверхности и линии уровня. Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению)(Puu : ( )u P const Поверхность уровня эквипотенциальная поверхность

), ( yx. P), (yxuu. Линия уровня - геометрическая характеристика плоского поля constyxu. L), (: При), ( yx. P), (yxuu. Линия уровня — геометрическая характеристика плоского поля constyxu. L), (: При помощи геометрических характеристик скалярные поля можно рисовать.

Пример 2.  2 2 2 e e e u r rx y z r -Пример 2. 2 2 2 e e e u r rx y z r — потенциал точечного заряда. : e const r : e c r , r const r — уравнение сферы 2 2 2 x y y const

 Дифференциальные характеристики скалярного поля -2. характеристики отдельной точки поля.    Рассмотрим скалярное поле Дифференциальные характеристики скалярного поля -2. характеристики отдельной точки поля. Рассмотрим скалярное поле где дифференцируемая функция. ( , , ), u u x y z ), , (zyxu 1. Производная по направлению — скалярная характеристика. Найдем, как изменяется поле в некотором направлении.

S S  1( , , )P x y z 2( , , )P x xS S 1( , , )P x y z 2( , , )P x x y y z z SS 1 2 S P P r 222 zyx. SS Производной скалярного поля по направлению вектора в точке называется число Pu S P S u S 0 lim где ), , ( zyxuzzyyxxuu Определение.

Из определения следует : Смысл производной по направлению   поле возрастает  в точке Из определения следует : Смысл производной по направлению поле возрастает в точке в направлении . 0 S u u S P скорость изменения поля в точке в направлении . S u u S P поле убывает в точке в направлении . u S 0 S u P

Формула для вычисления  u S  Рассмотрим 2 1 ( )u u P  (Формула для вычисления u S Рассмотрим 2 1 ( )u u P ( , , )u x x y y z z u x y z ( ); u u u x y z 2 2 2 x y z S

Устремим 0 S 2 1 P P Рассмотрим *) ( )u u x u y uУстремим 0 S 2 1 P P Рассмотрим *) ( )u u x u y u z S x S y S z S S 0 coscoscos

S x  cos S z  cos S y  cos-направляющие косинусы коллинеарных векторов (S x cos S z cos S y cos-направляющие косинусы коллинеарных векторов ( , , ) , S x y z S r r 0 cos , cos. S S S r r r. Координаты орта этих векторов: Таким образом, при правая часть равенства *) стремится к выражению 0 S SS z zu S y yu S x xu S u )( *) coscoscos zu yu xu

Следовательно, при существует предел левой части равенства *) ,  совпадающий с пределом правой части. 0Следовательно, при существует предел левой части равенства *) , совпадающий с пределом правой части. 0 S cos cos P P PPu u S x y z Формула для вычисления производной по направлению

 2.  Градиент скалярного поля - векторная характеристика. , , u u u grad u 2. Градиент скалярного поля — векторная характеристика. , , u u u grad u u x y z r. Определение. Градиентом скалярного поля в точке называется вектор Pu. P Смысл характеристики — позже. Формула для вычисления – в определении характеристики.

Обозначим, , x y z  r Формальный дифференциальный векторный оператор Гамильтона ( оператор “ наблаОбозначим, , x y z r Формальный дифференциальный векторный оператор Гамильтона ( оператор “ набла ” ) , , u u x y z r , , u u u x y z Действие оператора “ набла ” на — результат формального умножения “ набла ” на . u u

  Свойства оператора “ набла ” ; u v r r r 1.  ; Свойства оператора “ набла ” ; u v r r r 1. ; u u r r 2. ; uv v u u v r r r 3. ‘ ; f u u r r 4.

Интегральные характеристики скалярного поля-3. характеристики поля в целом ( Integer) Пример . Поле температур : Интегральные характеристики скалярного поля-3. характеристики поля в целом ( Integer) Пример . Поле температур : d d. Pt t )( — средняя температура в области поля Ф.

Связь характеристик скалярного поля 4.  1.  Градиент и производная по направлению. Другая запись формулыСвязь характеристик скалярного поля 4. 1. Градиент и производная по направлению. Другая запись формулы для вычисления S u coscoscos P PPP zu yu xu S u 0 P Pu u S S Ñ r r

 2.  Смысл градиента. Из формулы вычисления градиента следуетcos S P P u пр u 2. Смысл градиента. Из формулы вычисления градиента следуетcos S P P u пр u u S r r r Если направление совпадает с направлением в точке Р , S u r то значение будет наибольшим ! P u S u r S

S P Pu пр u S Ñ r r а)  - направлен в сторону наибыстрейшегоS P Pu пр u S Ñ r r а) — направлен в сторону наибыстрейшего возрастания поля u. u rб) max u u S Ñ r Длина градиента численно равна максимальной скорости возрастания скалярного поля u . S r uÑ r

 3.  Градиент и поверхности уровня. Рассмотрим : ( , , )u x y z 3. Градиент и поверхности уровня. Рассмотрим : ( , , )u x y z c — уравнение поверхности уровня , , u u u gradu u x y z r u n r r- вектор нормали к касательной плоскости или к поверхности уровня Через точку проведем касательную плоскость: ( , , )P x y z 0 u u u x x y y z z x y z , , u u u n x y z r

Выводы.  1.  Градиент направлен по нормали к поверхности уровня.  2.  Направление нормалиВыводы. 1. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня. 2. Направление нормали к поверхности уровня есть направление наибыстрейшего изменения скалярного поля. Понятие градиента может быть использовано для отыскания экстремума функции нескольких переменных численными методами.

Пример. 2 2 2 ; u x y z  (1, 1, 1); P(1, 1, 1);Пример. 2 2 2 ; u x y z (1, 1, 1); P(1, 1, 1); S r ? P u S Решение. 0, P Pu u S S Ñ r r 2 , 2 u x y zÑ r 2, 2, 2 P uÑ r 0 (1, 1, 1) ; 3 S S S r r r 6 0 3 В точке Р в направлении поле возрастает с максимальной скоростью . S r

Основные характеристики скалярных полей  I.  Геометрические характеристики  2.  Дифференциальные характеристики  3.Основные характеристики скалярных полей I. Геометрические характеристики 2. Дифференциальные характеристики 3. Интегральные характеристики 4. Связь характеристик скалярного поля Линии, поверхности уровня Скалярная Векторная. P u S P uÑ r u