Скачать презентацию Лекция 7 Транспортная задача Введение Транспортная Скачать презентацию Лекция 7 Транспортная задача Введение Транспортная

МОР_08.ppt

  • Количество слайдов: 21

Лекция № 7 Транспортная задача Лекция № 7 Транспортная задача

Введение Транспортная задача является задачей линейного программирования, в которой требуется найти оптимальный план перевозки Введение Транспортная задача является задачей линейного программирования, в которой требуется найти оптимальный план перевозки некоторого груза от конечного числа поставщиков (с заданными запасами) к конечному числу потребителей (с заданными потребностями), при этом стоимость перевозки единицы груза для каждой пары «поставщик-потребитель» известна. Таким образом, оптимальный план должен определять минимальную общую стоимость перевозок, не превышая запасы каждого из поставщиков и покрывая потребности каждого из потребителей. .

Постановка задачи Имеется m поставщиков: и n потребителей некоторого груза. Для каждого поставщика и Постановка задачи Имеется m поставщиков: и n потребителей некоторого груза. Для каждого поставщика и потребителя заданы запасы и соответственно объем потребления. Также известна стоимость перевозки единицы груза от го поставщика к му потре- бителю. Требуется найти объемы всех перевозок , от го поставщика к му потребителю, при которых общая стоимость перевозок минимальна. Таким образом, необходимо найти минимум функции при условиях:

Постановка задачи Первое условие означает, что все потребности удовлетворены, второе – то, что от Постановка задачи Первое условие означает, что все потребности удовлетворены, второе – то, что от поставщиков вывезен весь груз. Любой набор решений данной системы образует (m х n) - матрицу Х, которую в дальнейшем мы будем называть матрицей перевозок. Теорема транспортной задачи: транспортная задача разрешима тогда и только тогда, когда суммарные запасы общим потребностям:

Исходные данные транспортной задачи Условие задачи. Имеются два поставщика кирпича и , с запасами Исходные данные транспортной задачи Условие задачи. Имеются два поставщика кирпича и , с запасами = 40 и = 60 контейнеров, соответственно. Этот кирпич необходимо перевезти на три стройки в следующих объемах: = 20, = 30 и = 50 контейнеров. Стоимость доставки одного контейнера от первого поставщика: = 2, = 4, = 5, от второго = 3, = 5, = 8. Построить математическую модель данной задачи. Решение. Очевидно, что Таким образом, мы имеем задачу с правильным балансом, то есть она разрешима. Исходные данные транспортной задачи удобно представлять в виде таблицы.

Исходные данные транспортной задачи В левом нижнем углу каждой ячейки представлен объем перевозок от Исходные данные транспортной задачи В левом нижнем углу каждой ячейки представлен объем перевозок от - го поставщика, в правом верхнем – стоимость перевозки одного контейнера. На основании этой таблицы мы можем записать целевую функцию данной задачи:

Исходные данные транспортной задачи и систему линейных уравнений: В основе решения транспортной задачи лежит Исходные данные транспортной задачи и систему линейных уравнений: В основе решения транспортной задачи лежит модифицированный симплекс-метод, состоящий из трех основных этапов: 1) построение начального опорного решения; 2) оценка решения; 3) улучшения решения (в случае необходимости).

Построение начального опорного решения Одним из самых эффективных методов построения начального опорного решения является Построение начального опорного решения Одним из самых эффективных методов построения начального опорного решения является метод Фогеля. Суть этого метода заключается в том, что на каждой итерации по всем строкам и по всем столбцам находят разность между двумя минимальными имеющимися в них тарифами. Эти разности записывают в специальном столбце (для строк) и строке (для столбцов).

Построение начального опорного решения Среди указанных разностей выбирают максимальную. В строке (или в столбце), Построение начального опорного решения Среди указанных разностей выбирают максимальную. В строке (или в столбце), в которой записана данная разность, определяют минимальный тариф. В нашем случае это столбец , минимальный тариф в котором равен 5. Заполняем клетку с минимальным тарифом. Потребность потребителя - 50 контейнеров, но поставщик располагает только 40 контейнерами, поэтому ставим 40. Понятно, что в этой строке все остальные позиции должны быть нулевыми.

Построение начального опорного решения Следующее максимальное значение разности равно 2, но поскольку первая строка Построение начального опорного решения Следующее максимальное значение разности равно 2, но поскольку первая строка таблицы заполнена, выбираем вторую. Очевидно, запасы поставщика распределяются всем трем потребителям согласно их потребностям. Итак, мы построили начальное опорное решение. Использование метода Фогеля позволяет получить или оптимальный план перевозок (с наименьшими затратами), или близкий к оптимальному. Проверим оптимальность нашего плана.

Проверка планов транспортной задачи на оптимальность Вторым этапом решения транспортной задачи является проверка построенного Проверка планов транспортной задачи на оптимальность Вторым этапом решения транспортной задачи является проверка построенного плана на оптимальность. Эту задачу можно решить методом потенциалов, который основан на теореме: Если план транспортной задачи является оптимальным, то существуют потенциалы поставщиков и потребителей , удовлетворяющие условиям: при Последнее неравенство, применяемое для свободных клеток, используется для проверки оптимальности построенного плана. Вводятся числа , которые называются оценками свободных клеток. Согласно теореме, построенный план оптимален, если оценки всех свободных клеток таблицы не положительны, то есть

Проверка построенного плана на оптимальность Добавим к таблице строку и столбец для записи потенциалов Проверка построенного плана на оптимальность Добавим к таблице строку и столбец для записи потенциалов поставщиков и потребителей. Так как один из потенциалов можно задать произвольно, то положим, например, что. Теперь найдем потенциалы занятых клеток этой строки по формуле В первой строке всего одна занятая клетка поэтому В столбце есть еще одна занятая клетка следовательно, можно найти потенциал : Полученные данные занесем в таблицу.

Проверка построенного плана на оптимальность Аналогично находим потенциалы и : Все потенциалы найдены. Теперь Проверка построенного плана на оптимальность Аналогично находим потенциалы и : Все потенциалы найдены. Теперь находим оценки свободных клеток:

Проверка построенного плана на оптимальность Все оценки свободных клеток отрицательны, следовательно, построенный нами план Проверка построенного плана на оптимальность Все оценки свободных клеток отрицательны, следовательно, построенный нами план является оптимальным и в его улучшении необходимости нет. Остается только подсчитать расходы на перевозки Таким образом, минимально возможные затраты на перевозки составят 490 ед.

Исходные данные транспортной задачи Задача 2. В городе имеются три продовольственных склада и четыре Исходные данные транспортной задачи Задача 2. В городе имеются три продовольственных склада и четыре хлебозавода. Объемы недельной потребности хлебозаводов в муке, запасы муки на складах и стоимость доставки тонны муки с определенного склада на определенный хлебозавод представлены в таблице Построить оптимальный план перевозок.

Построение начального опорного решения Добавляем строку и столбец для записи разностей, находим значения и Построение начального опорного решения Добавляем строку и столбец для записи разностей, находим значения и , затем в соответствии с методом Фогеля, заполняем клетки таблицы

Нахождение потенциалов строк и столбцов Задаем потенциал. Находим потенциалы занятых клеток по формуле Например, Нахождение потенциалов строк и столбцов Задаем потенциал. Находим потенциалы занятых клеток по формуле Например, далее

Проверка построенного плана на оптимальность Все потенциалы найдены. Теперь находим оценки свободных клеток: Проверка построенного плана на оптимальность Все потенциалы найдены. Теперь находим оценки свободных клеток:

Нахождение потенциалов строк и столбцов Задаем потенциал. Находим потенциалы занятых клеток по формуле Например, Нахождение потенциалов строк и столбцов Задаем потенциал. Находим потенциалы занятых клеток по формуле Например, далее

Проверка построенного плана на оптимальность Все оценки свободных клеток отрицательны или равны нулю, следовательно, Проверка построенного плана на оптимальность Все оценки свободных клеток отрицательны или равны нулю, следовательно, построенный нами план является оптимальным. Минимальные расходы на перевозку муки

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!