Скачать презентацию Лекция 6 Криволинейный интеграл первого рода 1 Определение Скачать презентацию Лекция 6 Криволинейный интеграл первого рода 1 Определение

Лекция 3.6Криволин. интеграл.ppt

  • Количество слайдов: 22

Лекция 6 Криволинейный интеграл первого рода 1. Определение криволинейного интеграла первого рода 2. Вычисление Лекция 6 Криволинейный интеграл первого рода 1. Определение криволинейного интеграла первого рода 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода 1

1. Определение криволинейного интеграла первого рода Определение Кривая L называется гладкой, если непрерывны на 1. Определение криволинейного интеграла первого рода Определение Кривая L называется гладкой, если непрерывны на и имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в ноль (т. е. кривая в каждой точке имеет касательную, направление которой непрерывно зависит от точки касания) 2

Рассмотрим интеграл по фигуре в случае Пусть дуга AB кривой L – гладкая или Рассмотрим интеграл по фигуре в случае Пусть дуга AB кривой L – гладкая или кусочногладкая (составлена из конечного числа гладких кусков). - криволинейный интеграл первого рода 3

Приведем полученный интеграл к определенному. Введем параметр для кривой AB – длину дуги l, Приведем полученный интеграл к определенному. Введем параметр для кривой AB – длину дуги l, отсчитываемую от начальной точки. - параметрические уравнения кривой AB Поставим в соответствие 4

из равенства интегральных сумм 5 из равенства интегральных сумм 5

Замечания 1. - длина дуги Знак не зависит от того, какая точка кривой AB Замечания 1. - длина дуги Знак не зависит от того, какая точка кривой AB считается начальной, а какая конечной. Ориентация кривой AB (выбор направления) на величину криволинейного интеграла I рода 6 не влияет.

2. Если функция f(x, y) непрерывна вдоль гладкой кривой AB , то существует криволинейный 2. Если функция f(x, y) непрерывна вдоль гладкой кривой AB , то существует криволинейный интеграл Следует из (2), т. к. при данных условиях существует определенный интеграл справа, а оба интеграла либо существуют, либо не существуют одновременно. 7

2. Вычисление криволинейного интеграла I рода 1) L – плоская линия а) дифференцируемая функция 2. Вычисление криволинейного интеграла I рода 1) L – плоская линия а) дифференцируемая функция 8

Правило Для вычисления криволинейного интеграла первого рода по плоской кривой необходимо произвести следующие замены: Правило Для вычисления криволинейного интеграла первого рода по плоской кривой необходимо произвести следующие замены: и вычислить определенный интеграл по x. 9

б) - непрерывны на и Тогда 10 б) - непрерывны на и Тогда 10

Выберем направление отсчета для l так, чтобы возрастанию t соответствовало возрастание длины дуги l. Выберем направление отсчета для l так, чтобы возрастанию t соответствовало возрастание длины дуги l. Тогда 11

в) пространственная кривая 12 в) пространственная кривая 12

Полярная система координат 13 Полярная система координат 13

Пример Найти массу полуокружности, заданную уравнениями Решение 14 Пример Найти массу полуокружности, заданную уравнениями Решение 14

15 15

Геометрический смысл криволинейного интеграла I рода по плоской кривой - площадь i полоски - Геометрический смысл криволинейного интеграла I рода по плоской кривой - площадь i полоски - площадь фигуры 16

Вывод Если L – плоская кривая, то криволинейный интеграл первого рода численно равен площади Вывод Если L – плоская кривая, то криволинейный интеграл первого рода численно равен площади боковой поверхности цилиндра с основанием L, образующими, параллельными оси Oz, сверху срезанного графиком подынтегральной функции. 17

Примеры параметризации кривых 1. x - параметр 18 Примеры параметризации кривых 1. x - параметр 18

2. Линия пересечения поверхностей Уравнение окружности в параметрическом виде 19 2. Линия пересечения поверхностей Уравнение окружности в параметрическом виде 19

20 20

3. - гиперболоид - плоскость Линия пересечения поверхностей - гипербола Параметрические уравнения гиперболы 21 3. - гиперболоид - плоскость Линия пересечения поверхностей - гипербола Параметрические уравнения гиперболы 21

22 22