Лекция № 6 Элементы математической логики. Логические функции

Лекция № 6 Элементы математической логики. Логические функции Excel.

• Логика — это наука, изучающая правильность суждений, рассуждений и доказательств. • Суждение истинно , если оно отражает действительное положение вещей. Примеры истинных суждений: «снег белый» , « 2´ 2 = 4» , «театр — это искусство» . • Суждение ложно , если оно противоречит истинному положению вещей. Примеры ложных утверждений — « 2´ 2 = 5» , «снег — черный» , «Земля плоская» . • Математическая логика — это дисциплина, изучающая технику математических доказательств.

• IV век Аристотель • XVIII век Эйлер • XVII век Лейбниц • XIX Дж. Буль «все a суть b» «некоторые a суть b» «все a не суть b» «не все a суть b»

Логика высказываний • высказывание – любое повествовательное предложение, про которое известно, является оно истинным или ложным. а) «сумма чисел 2 и 5 равна 7» (истинное высказывание), б) « 2 + 5 = 7» — предыдущее высказывание, записанное с помощью математических символов, в) «для всех значений x верно неравенство (ложное высказывание), г) «завтра будет солнечный день» (может быть истинным или ложным). Высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита – A, B и т. д.

• высказывательные формы (предикаты) – предложения, содержащие переменную. Например, выражение « »

• «У кошки 4 ноги» ; • «Сумма углов треугольника равна 180°» ; • «Температура кипения воды 180°» ; • «У квадрата есть прямой угол» ; • « 2 x = 3 y » ; • «Число 5 делится на 2 без остатка» ; • « x < 5 » ; • «У квадрата есть только один прямой угол» ; • « a + b = 10 » ; • «Дважды два – четыре» ; • «Пустое множество не имеет подмножеств» .

Простые и сложные высказывания • Высказывание имеет вид повествовательного предложения. Из двух таких предложений можно получить новые с помощью логических связок – союзов « и» , «или» , « если…, то» , «тогда и только тогда, когда » и частицы « не » . Такие предложения будем называть составными. • Предложения, не являющиеся составными, называются элементарными. • Соответственно, если можно судить об истинности или ложности таких предложений, то они будут называться простыми и составными высказываниями.

Логические операции над высказываниями • Высказывание « А и В » , истинное, если истинны оба высказывания А и В , и ложное, если хотя бы одно из них ложно, называется конъюнкцией этих высказываний и обозначается А ^ В. • Высказывание « А или В » , истинное, если истинно хотя бы одно из высказываний А или В , и ложное лишь в одном случае, когда оба высказывания А и В ложны, называется дизъюнкцией этих высказываний и обозначается А В.

А В А В И И Л Л ЛТаблица истинности для высказывания А ^ В А В А ^ В И И Л Л Л И Л Л Таблица истинности для высказывания А В

Отрицание • Логическая операция, соответствующая логической связке «не» , называется отрицанием. • Высказывание «не А » , истинное лишь в том случае, когда высказывание А ложно и ложное лишь в том случае, когда высказывание А истинно, называется отрицанием А и обозначается . А И Л Л И

Импликация и эквиваленция • Импликацией высказываний А и В называют высказывание (читается «если А , то В» ), ложное лишь в случае, когда А истинно, а В – ложно. А В И И Л Л И Л И И

• Эквиваленцией высказываний А и В называют высказывание (читается « А тогда и только тогда, когда В» ), истинное, в том и только в том случае, когда оба эти высказывания истинны, или оба ложны. А В И И Л Л И Л И Л Л И

Язык и формулы логики высказываний • Раздел математической логики, в котором изучают свойства выражений, составленных из высказываний с помощью логических операций, называется алгеброй высказываний. • Пусть X, Y, Z – переменные, обозначающие элементарные логические высказывания или их значения истинности. Такие переменные будем называть логическими переменными. • С помощью логических переменных и символов логических операций можно формализовать любое логическое высказывание. Таким образом, логическое высказывание заменяется формулой, отражающей логическую структуру этого высказывания. • Например, высказывание «Число а делится на 6 тогда и только тогда, когда а делится на 2, и а делится на 3» формализуется в виде .

Определим алфавит , то есть, набор символов, которые употребляются в логике высказываний: 1. ( i – индекс, значения которого – натуральные числа) – символы для обозначения логических переменных, 2. И, Л – символы, обозначающие логические константы «истина» , «ложь» , 3. — символы логических операций, 4. ( , ) – скобки, вспомогательные символы, служащие для указания порядка выполнения логических операций.

Определение формулы логики высказываний : 1. Всякая логическая переменная есть формула. 2. Символы И, Л есть формулы. 3. Если есть формула, то есть формула. 4. Если есть формулы, то , , есть формулы. 5. Никаких других формул в логике высказываний нет.

Алгоритм формализации высказываний. • Если высказывание – простое, то ему ставится в соответствие элементарная формула. • Если высказывание – составное, то для составления формулы требуется: а) выделить все элементарные высказывания и логические связки, образующие данное высказывание, в) заменить их соответствующими символами, с) расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.

Пример Формализовать высказывание: «Неверно, что число 500 делится на 3 или на 13» Пусть X – « число 500 делится на 3» , Y – «число 500 делится на 13» . Тогда данное сложное высказывание имеет вид

Составление таблиц истинности для формул логики высказываний

таблица истинности X Y И И И Л И Л Л И

Логические функции Excel Логическая функция ЕСЛИ имеет вид: ЕСЛИ( x 1; x 2; x 3), где x 1, x 2, x 3 – аргументы x 1 — логическое выражение, x 2, x 3 – любые выражения, разрешенные в Excel ; причем вычисляется x 2 , если x 1 имеет значение ИСТИНА , и x 3 , если x 1 имеет значение ЛОЖЬ. Если третий аргумент функции не определен, то ошибки в записи функции нет – в этом случае ей присваивается значение ЛОЖЬ , если условие не выполнено. Если ничего не нужно вычислять при невыполнении условия, следует в качестве третьего аргумента задать пробел как текст. Примеры: ЕСЛИ( A 5>0; LN ( A 5); -1); ЕСЛИ( B 20; 1/ B 2; ” ”)

Логическая функция И имеет вид: — И ( x 1; x 2; ; …; xn ), где x 1; x 2; ; …; xn – аргументы, являющиеся логическими выражениями. Функция может содержать до 30 аргументов. Функция И принимает значение ИСТИНА , если все ее аргументы истинны, в противном случае она принимает значение ЛОЖЬ. Функция может применяться для задания сложного условия, определяемого системой равенств и неравенств: . . . 2 1 xn x x или, в форме логических высказываний, где xi – равенство или неравенство, которое может быть истинным или ложным. истинно? , — истинно? — 2 истинно? — 1 xn. . . x x

• Логическая функция НЕ имеет вид — НЕ( x ), где x – логическое выражение. Ее значение ИСТИНА , если x имеет значение ЛОЖЬ , и наоборот.

• Логическая функция ИЛИ имеет вид: ИЛИ( x 1; x 2, …; xn ), где x 1; x 2; ; …; x n –аргументы, являющиеся логическими выражениями. • Функция может содержать до 30 аргументов. • Функция ИЛИ принимает значение ИСТИНА , если хотя бы один из ее аргументов есть ИСТИНА , в противном случае она принимает значение ЛОЖЬ. • Функция применяется для задания сложного условия определяемого совокупностью неравенств xn x x. . . 2 1 или где xi – равенство или неравенство, которое может быть истинным или ложным. истинно? — 2 истинно? — 1 xn. . . x x