Лекция 5 Поверхност и Следует рассматривать

Лекция 5 Поверхност и

Следует рассматривать поверхность как совокупность последовательных положений линии a , перемещающейся в пространстве по определенному закону. Закон перемещения линии а целесообразно задать в виде семейства линий m , n. Подвижная линия а называется образующей, неподвижные линии m , n – направляющими. m na » aa ‘

Каркас поверхности – множество линий, определяющих поверхность. Определителем поверхности называют совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность. Очерком поверхности называют проекцию проецирующей цилиндрической поверхности, которая огибает заданную поверхность. П 1 Очерк поверхности. Поверхность. Линия касания

Основой классификации поверхностей могут служить их определители или геометрические особенности, связанные с кинематическим способом образования. Важными признаками формообразования поверхностей являются: • Вид образующей; • Постоянство образующей; • Закон перемещения образующей; • Развёртываемость куска поверхности.

Классификация поверхностей По виду образующей: • Линейчатые • Нелинейчатые По постоянству образующей: • С постоянной образующей • С переменной образующей По закону движения образующей: • Кинематические поверхности • Поверхности вращения • Винтовые поверхности По развёртываемости: • Развёртываемые • Не развёртываемые

Линейчатые развёртываемые поверхности Цилиндрические поверхности Ф( a, m, s ) [a ∩ m, a II s] , m -кривая направляющая s — направляющий вектор Если m — окружность и m ⊥ a , то поверхностью будет прямой круговой цилиндр. m a s a »»a ma ‘ a »

Призматические поверхности Ф( a, m, s ) [a ∩ m, a II s] m -ломаная линия s — направляющий вектор a s ma ‘ a »

Проецирующие поверхности Все образующие перпендикулярны плоскости проекций. ( S 2 ) S 1 Ф П

На эпюре Монжа коническая поверхность однозначно задается проекциями ее образующей a ( a 1 , a 2 ), направляющей n ( n 1 , n 2 ) и вершины S ( S 1 , S 2 ) S ma Конические поверхности Ф( a, m, S ) [a ∩ m, S ∈ a]S 2 S 1 À 2 À 1 S 2 S 1 l 2 l

Пирамидальные поверхности S a ma ‘ a »’Ф( a, m, S ) [a ∩ m, S ∈ a]

Поверхности вращения общего вида Ф(а, i) F 1 Θ 1 K 1 K 2 i 2 Ось ( i ) Произвольная точка образующей при вращении вокруг оси описывает окружность – параллель. Радиус параллели – расстояние от точки до оси. Наиб. – экватор , наим. – горловина – очерковые линии поверхности i 1 A 2 B 2 C 2 D 2 E 1 C 1 D 1 B 1 A 1 A C D E B K Параллель. F Горло Главный меридиан (а) Экватор (е) Меридиан B’ C’ D’ E’ΘA’

F 1 Θ 1 Меридиональные плоскости – через ось вращения. ( Главная – параллельная плоскости проекции) Меридианы – линии пересечения м. плоскостями поверхности. ( Главный – главной м. п. (очерк на П 2)) K 1 K 2 A 2 B 2 C 2 D 2 E 1 C 1 D 1 B 1 A 1 i 2 Ф(а, i) Ось ( i ) A C D E K Параллель. F Горло B’ C’ D’ E’ΘA’ Горло Главный меридиан (а) Экватор (е) Меридиан Поверхности вращения общего вида

П В, образованные вращением линии Прямой круговой конус Гиперболоид однополостной Параболоид вращения Гиперболоид двухполостной. Прямой круговой цилиндр a ∩ i = sa ││ i a i

i. Ф(а, i) a ││ i. Прямой круговой цилиндр x 2 + y 2 = r 2 а – прямая K’ 1 i 2 K 2 ≡(K’ 2 ) a 2 (A 2 ) K 1 i 1 A 1 ≡П В, образованные вращением линии a 1 K’ K

Ф(а, i) a ∩ i = s. Прямой круговой конус z 2 = k 2 (x 2 + y 2 )а – прямая K 1 K’ 1 i 2 K 2 ≡(K’ 2 ) a 1 a 2 i 1 ≡S 2 S 2 i. П В, образованные вращением линии K’ K

П В, образованные вращением окружности Сфера Тор закрытый Тор открытыйt = 0 t R˂ t > R

Сфера x 2 + y 2 + z 2 = r 2 П В, образованные вращением окружности Ф(а, i) а – окружность t = 0 i i 2 i 1 (K 1 )(K’ 1 )K 2 ≡(K’ 2 ) a 1 i 3 a 3 a 2 (K’ 3 ) (K 3 ) 0 R

Тор закрытый (x 2 + y 2 + z 2 + a 2 – b 2 ) 2 = 4 a 2 (x 2 + y 2 ), a < bt < RФ(а, i) а – окружность П В, образованные вращением окружности i t 0 R

Тор открытый (x 2 + y 2 + z 2 + a 2 – b 2 ) 2 = 4 a 2 (x 2 + y 2 ), a > b. Ф(а, i) t > R tа – окружность K’ 1 i 2 K 1 i 1 K’’ 1 K’’’ 1 1 1 2 11 2 (2 2 ) K 2 П В, образованные вращением окружности 0 i R

Эллипсоид вращения a 2 (x 2 + y 2 ) + b 2 z 2 = a 2 b 2 сжатый вытянутый b 2 (x 2 + y 2 ) + b 2 z 2 = a 2 b 2 Закономерные поверхности вращения Ф(а, i) а – эллипс i i

Ф(а, i)Гиперболоид вращения b 2 z 2 – a 2 (x 2 + y 2 ) = a 2 b 2 (x 2 + y 2 ) – a 2 z 2 = a 2 b 2 двухполостнойiа – гипербола a i i однополостной

i. Параболоид вращения x 2 + y 2 = 2 pz. Ф(а, i) а – парабола