Скачать презентацию Лекция 4 Задачи линейного программирования Познакомить Цель занятия Скачать презентацию Лекция 4 Задачи линейного программирования Познакомить Цель занятия

Лекция 4 (Задачи линейного программирования).ppt

  • Количество слайдов: 44

Лекция 4. Задачи линейного программирования. Познакомить Цель занятия. с основными понятиями и методами решения Лекция 4. Задачи линейного программирования. Познакомить Цель занятия. с основными понятиями и методами решения задач линейного программирования средствами электронной таблицы Excel и математической системы Mathcad. 1

l l 2 Вопросы. 1. Постановка задач линейного программирования. 2. Математическая модель: целевая функция, l l 2 Вопросы. 1. Постановка задач линейного программирования. 2. Математическая модель: целевая функция, ограничения. 3. Средства для решения задач линейного программирования.

4. 1. Постановка задач линейного программирования. 3 4. 1. Постановка задач линейного программирования. 3

Уравнения линейные l l а 1 х1+ а 2 х2+…+аnxn=b, (4. 1) l 4 Уравнения линейные l l а 1 х1+ а 2 х2+…+аnxn=b, (4. 1) l 4 Уравнение относительно переменных х1, х2, …, хn называется линейным, если его можно записать в виде где а 1, a 2, …, an – произвольные вещественные числа, коэффициенты уравнения; b –

Решение уравнения l l 5 Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (a 1, a 2, Решение уравнения l l 5 Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (a 1, a 2, …, an) называется решением уравнения (4. 2), если в результате подстановки этих значений вместо соответствующих переменных уравнение обращается в арифметическое тождество. M уравнений вида (4. 2) образуют систему уравнений.

Нелинейные уравнения а 1, 1 х1+ а 1, 2 х2+…+а 1, nxn <=b 1, Нелинейные уравнения а 1, 1 х1+ а 1, 2 х2+…+а 1, nxn <=b 1, а 2, 1 х1+ а 2, 2 х2+…+а 2, nxn <=b 2, (4. 2) …………………. . . аm, 1 х1+ аm, 2 х2+…+аm, nxn<=bm, 6

Решение неравенства l 7 Решением неравенства (4, 2) называется множество значений переменных (a 1, Решение неравенства l 7 Решением неравенства (4, 2) называется множество значений переменных (a 1, a 2, …, an) при которых каждое неравенство системы становится верным числовым неравенством.

Математическое программирование l l 8 Математическое программирование – это раздел математики, занимающийся анализом многомерных Математическое программирование l l 8 Математическое программирование – это раздел математики, занимающийся анализом многомерных экстремальных задач управления и планирования и разработкой теории и численных методов их решения. Иными словами, математическое программирование занимается решением задач нахождения максимума или минимума функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Классификация задач математического программирования l l l l l 9 В зависимости от исходных Классификация задач математического программирования l l l l l 9 В зависимости от исходных данных: - детерминированные; - случайные (стохастические). 2. В зависимости от исходных переменных: - непрерывные; - дискретные. 3. По зависимости между переменными: - линейные; - нелинейные.

Таблица 6. 2. Классы задач оптимизации Исходные данные Искомые переменные Детерминиро ванные е Зависимост Таблица 6. 2. Классы задач оптимизации Исходные данные Искомые переменные Детерминиро ванные е Зависимост и между переменными Непрерывны Линейные Целочисленн ые Случайные 10 Линейные Непрерывны Нелинейны е, е целочисленны е Непрерывны Линейные е Классы задач Линейного программирова ния Целочисленно го программирова ния Нелинейного программирова ния Стохастическ ого программирова ния

Вклад советских ученых в разработку методов линейного программирования l l l 11 Советские математики Вклад советских ученых в разработку методов линейного программирования l l l 11 Советские математики А. Н. Толстой (1930). Л. В. Канторович (1939), М. К. Гавуриным (1949) В. С. Немчинова, В. В. Новожилова, А. Л. Лурье, А. Г. Аганбегяна, Д. Б. Юдина, Е. Г. Гольштейна

Вклад зарубежных специалистов l l 12 В 1931 г. венгерский математик Б. Эгервари рассмотрел Вклад зарубежных специалистов l l 12 В 1931 г. венгерский математик Б. Эгервари рассмотрел математическую постановку и решил задачу, имеющую название «проблема выбора» , метод решения которой получил название венгерский метод. В 1949 г. американским математиком Дж. Данцигом (G. B. Dantzig) был опубликован основной метод решения задач линейного программирования симплекс-метод. Термин «линейное программирование» впервые появился в 1951 г. в работах Дж. Данцига и Т. Купманса

Этапы решения задачи линейного программирования l l 13 l Постановка задачи. Построение (составление) математической Этапы решения задачи линейного программирования l l 13 l Постановка задачи. Построение (составление) математической модели. Выбор метода решения и решение задачи. Проверка полученного решения на его адекватность изучаемому явлению и корректировка модели в случае необходимости. Реализация найденного решения на практике.

Общая задача линейного программирования l Общая задача линейного программирования (ЗЛП) состоит в нахождении экстремального Общая задача линейного программирования l Общая задача линейного программирования (ЗЛП) состоит в нахождении экстремального значения (максимума или минимума) линейной функции от n переменных (x 1, x 2, . . . , xn) при наложенных ограничениях 14

Функциональные ограничения l l l 15 l a 11 x 1 + a 12 Функциональные ограничения l l l 15 l a 11 x 1 + a 12 x 2 +…+ a 1 jx 2 +…+ a 1 n xn <=(=, >=)b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … a 2 jx 2 +…+ a 2 nxn <=(=, >=)b 2. . . . . ai 1 x 1 + ai 2 x 2 + … a ijx 2 +… + ainxn <=(=, >=)bi (4. 4). . . . . qm 1 x 1 + qm 2 x 2 +… a mjx 2 +… +qmnxn <=(=, >=)bm ограничения на значения параметра

Виды ограничения l l l 16 Ограничения – устанавливают зависимость между переменными. Они могут Виды ограничения l l l 16 Ограничения – устанавливают зависимость между переменными. Они могут быть как односторонними, так и многосторонними: qi(xj)<=bi - одностороннее ограничение, сi<=qi(xj)<=bi - двухсторонние ограничения.

Векторная форма записи ЗЛП При ограничениях l 17 Векторная форма записи ЗЛП При ограничениях l 17

Матричная форма записи ЗЛП При ограничениях: Где - матрица-строка; 18 Матричная форма записи ЗЛП При ограничениях: Где - матрица-строка; 18

План или допустимое решение l l 19 Вектор Х=(х1, х2, . . . , План или допустимое решение l l 19 Вектор Х=(х1, х2, . . . , xn), компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, называют планом (или допустимым решением) ЗЛП. Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования, или область допустимых решений.

Оптимальный план l 20 Допустимое решение, которое доставляет экстремум целевой функции f(X), называется оптимальным Оптимальный план l 20 Допустимое решение, которое доставляет экстремум целевой функции f(X), называется оптимальным планом задачи и обозначается f(X`), где Х=(x 1, x 2, . . . , xn).

К задачам линейного программирования сводятся следующие задачи: l l l 21 1) задача оптимального К задачам линейного программирования сводятся следующие задачи: l l l 21 1) задача оптимального распределения ресурсов при планировании выпуска продукции на предприятии (задача об ассортименте); 2) задача на максимум выпуска продукции при заданном ассортименте; 3) задача о смесях(рационе, диете); 4) транспортные задачи; 5) задача о рациональном использовании имеющихся мощностей; 6) задача о назначениях и др.

Надстройка Поиск решения l 22 Электронная таблица Excel имеет мощные средства для решения задач Надстройка Поиск решения l 22 Электронная таблица Excel имеет мощные средства для решения задач оптимизации. Для этой цели, как уже отмечалось ранее, имеется надстройка Поиск решения, которая вызывается одноименной командой из группы Анализ вкладки Данные.

Окно диалога Поиск решения 23 Окно диалога Поиск решения 23

2. Установить, какие прямые ограничения на неизвестные параметры (условия неотрицательности, целочисленности, минимальные и максимальные 2. Установить, какие прямые ограничения на неизвестные параметры (условия неотрицательности, целочисленности, минимальные и максимальные значения). l 3. Установить, какие функциональные ограничения имеются в данной задаче. 24 l 4. Установить нормы расхода l

Алгоритм решения задачи линейного программирования l l 25 1. Исследовать задачу, то есть установить: Алгоритм решения задачи линейного программирования l l 25 1. Исследовать задачу, то есть установить: что является неизвестными параметрами, подлежащими определению; какие имеются ресурсы (сырьевые, материальные, трудовые, финансовые); что является критерием оптимальности решения – целевая функция и ее значение (максимум,

Алгоритм решения задачи линейного программирования 2. Установить, какие прямые ограничения на неизвестные параметры (условия Алгоритм решения задачи линейного программирования 2. Установить, какие прямые ограничения на неизвестные параметры (условия неотрицательности, целочисленности, минимальные и максимальные значения). l 3. Установить, какие функциональные ограничения имеются в данной задаче. l 26

Алгоритм решения задачи линейного программирования l l 27 4. Установить нормы расхода сырья, материалов, Алгоритм решения задачи линейного программирования l l 27 4. Установить нормы расхода сырья, материалов, трудовых и финансовых ресурсов на выпуск единицы продукции или на приготовление единицы смеси и т. п. 5. Свести полученные данные в таблицу

Таблица для подготовки исходных данных Ресурсы Продукция X 2. . . Т 2 Тi Таблица для подготовки исходных данных Ресурсы Продукция X 2. . . Т 2 Тi С 2 Сi М 2 Мi Xn Тn Cn Mn Запас ы Т С М Трудовые Сырьевые Материальные x 1 Т 1 С 1 М 1 Финансовые Ф 1 Ф 2 Фi Фn Ф Другое 28

Разработка математической модели Целевая функция F(Х)= а 1 x 1 + а 2 x Разработка математической модели Целевая функция F(Х)= а 1 x 1 + а 2 x 2 + …аnxn >=(=, <=)(мах, мин, константа) l Ограничения функциональные l q 11 x 1 + q 21 x 2 +…+ q 31 xn <=b 1 l q 21 x 1 + q 22 x 2 + … + q 2 nxn <=b 2 l … l qm 1 x 1 + qm 2 x 2 +… +qmnxn <=bm l Ограничения на значения параметров (граничные условия) l xi >= 0 ; i=1, 2, . . , n l 29

Задача 1. Оптимизация плана выпуска продукции l 30 Для изготовления штучной продукции 4 -х Задача 1. Оптимизация плана выпуска продукции l 30 Для изготовления штучной продукции 4 -х видов требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырьевые, финансовые. Известны нормы расхода трудовых и сырьевых ресурсов для выпуска продукции каждого вида, а также прибыль, получаемая от реализации продукции каждого вида, представленные в таблице.

Исходные данные Ресурсы Прибыль от реализации единицы продукции Трудовые Продукция Знак Запас ы Про Исходные данные Ресурсы Прибыль от реализации единицы продукции Трудовые Продукция Знак Запас ы Про Прод дукт1 укт2 дукт3 укт4 70 120 130 max 1 1 <= 16 Сырье 6 5 4 3 <= 110 Финансы 31 60 4 6 10 13 <= 100

Математическая модель l l 32 F= 60 x 1 + 70 x 2 + Математическая модель l l 32 F= 60 x 1 + 70 x 2 + 120 x 3 + 130 x 4 => MAX Ограничения функциональные x 1 + x 2 + x 3 + x 4 <=16 6 x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 <=110 4 x 1 + 6 x 2 + 10 x 3 + 13 x 4 <=100 Ограничения на значения параметров Так как продукция штучная, то, во-первых, она должна быть неотрицательной, а вовторых - целочисленной: хi >= 0 ; i=1, 2, 3, 4

Шаблон для решения задачи линейного программирования. 1 2 3 4 5 Имя Знач. Н. Шаблон для решения задачи линейного программирования. 1 2 3 4 5 Имя Знач. Н. гр. В. гр. П 1 1 0 C D Переменные П 2 П 3 1 1 0 0 6 7 8 9 33 A B К. ЦФ 60 70 120 E F G П 4 1 0 Фор-ла 130 MA X 1320 H Ограничения Вид Продукт Форму Зна Запасы т1 т2 т3 4 ла к 10 Трудов 1 1 4 <= 16 ые 11 Сырье 6 5 4 3 18 <= 110 12 Финанс 4 6 10 13 33 <= 100

Используемые функции l 34 Для ввода формулы воспользуемся встроенной функцией СУММПРОИЗВ: =СУММПРОИЗВ(B 3: E Используемые функции l 34 Для ввода формулы воспользуемся встроенной функцией СУММПРОИЗВ: =СУММПРОИЗВ(B 3: E 3; B 6: E 6).

Поиск решения 35 Поиск решения 35

Добавление или изменение ограничений 36 Добавление или изменение ограничений 36

Результат оптимизации задачи П 1=10; П 2=0; П 3=6; П 4=0; ЦФ=1320 37 Результат оптимизации задачи П 1=10; П 2=0; П 3=6; П 4=0; ЦФ=1320 37

Отчет по результатам 38 Отчет по результатам 38

Отчет по устойчивости 39 Отчет по устойчивости 39

Отчет по пределам 40 Отчет по пределам 40

Задача 2. Задача о рационе (диете) 41 На ферме в качестве корма для животных Задача 2. Задача о рационе (диете) 41 На ферме в качестве корма для животных используются два продукта - M и Н. Сбалансированное питание предполагает, что каждое животное должно получать в день не менее 200 килокалорий, причем потребляемое при этом количество жира не должно превышать 14 единиц. Подсчитано, что в 1 кг каждого продукта содержится: в продукте M - 150 килокалорий и 14 единиц жира; в продукте N - 200 килокалорий и 4 единицы жира. Разработать максимально дешевый рацион

Решение Составим таблицу исходных данных по форме таблицы 4. 2: Ресурсы Стоимость 1 кг Решение Составим таблицу исходных данных по форме таблицы 4. 2: Ресурсы Стоимость 1 кг 42 Продукци Знак Норм я а М Н 1, 5 2, 3 min Содержание 14 жира Биологическая 150 ценность, ккал 4 <= 18 200 <= 250

Подготовим данные Имя Значение нижняя гр. Переменные Прод. М Прод. Н 1 1 0 Подготовим данные Имя Значение нижняя гр. Переменные Прод. М Прод. Н 1 1 0 0 Верхняя гр. Коэфф. ЦФ 1, 5 2, 3 Ограничения Формула 3, 8 MIN Вид Прод. 1 Прод. 2 Норма Биологич. ценность Жир 150 200 Форму Знак ла 350 = 14 4 18 18 43 = 250

Результаты l l 44 После оптимизации получим следующий результат: Для получения сбалансированного рациона необходимо Результаты l l 44 После оптимизации получим следующий результат: Для получения сбалансированного рациона необходимо включить в состав кормовой смеси 1, 181818 единиц продукта М и 0, 363636 единицы продукта Н. Цена кормовой смеси при этом будет равна 2, 609091 руб. за единицу килограмма кормовой смеси.