Лекция 4-5 Динамические игры с полной информацией Динамическая

Лекция 4-5 Динамические игры с полной информацией

Динамическая игра более сложный объект, чем статическая игра. Для описания динамической игры нескольких субъектов, необходимо знать: последовательность действий игроков при возможных сценариях развития событий в игре, а также выигрыши, получаемые игроками в зависимости от произошедших в игре событий. что каждому игроку может быть известно 2

3 Полная и совершенная информация ( ПиСИ). В динамических играх различают полную и совершенную информацию. Информацию считают полной, если все игроки имеют общую информацию о правилах игры и функциях выигрыша. Это понятие относится как к статическим так и динамическим играм. Понятие совершенной информации относится только к динамическим играм, в которых игроки делают ходы последовательно в разные моменты времени

4 Полная и совершенная информация ( ПиСИ). Если все сделанные ходы сразу становятся известны всем игрокам, динамическая игра обладает совершенной информацией.

Динамические игры с полной информацией Динамической будем называть такую игру, в которой каждый игрок может сделать несколько ходов и по крайней мере один из игроков, делая ход, знает, какой ход сделал другой игрок (возможно, он сам). В этой ситуации он стоит перед свершившимися фактами (уже сделанными ранее и известными ему ходами) и должен учитывать их при выборе своих действий. 5

Динамические игры с полной информацией Описание динамической игры (с совершенной информацией) в развернутой форме должно включать : множество вершин дерева игры, в том числе одну начальную вершину; для каждой вершины, кроме начальной,— единственную вершину, которая непосредственно ей предшествует; при этом цепь предшествующих вершин, построенная из любой вершины, должна заканчиваться в начальной вершине (что предполагает, в том числе, отсутствие циклов); множество игроков; для каждой вершины, кроме конечных,— единственного игрока, которому принадлежит ход в данной вершине; для каждой конечной вершины, т. е. такой, которая не предшествует ни одной другой вершине,— вектор выигрышей всех игроков. 6

Динамические игры с полной информацией Пример: Игра «Террорист». В самолет сел террорист, который требует лететь из Майами в Гавану вместо Нью-Йорка. В предположении, что террорист не может определить маршрут полета, летчик выбирает, куда лететь. Если он летит в Гавану, игра заканчивается, а если в Нью-Йорк, то ход делает террорист, который решает, взрывать самолет или нет. На конечных вершинах дерева проставлены выигрыши игроков (первый игрок – пилот)

8 Двухходовая игра Игру удобно представить в виде диаграммы, изображающей дерево игры . Решение игры можно найти в предположении, что игроки рациональны и что рациональность и структура игры являются общеизвестными фактами. При этом естественно воспользоваться методом обратной индукции. В соответствии с этим методом игру разматывают с конца.

9 Игра «Террорист»

10

В этой игре действия пилота несложно предсказать—он полетит в Нью-Йорк, поскольку предпочитает выигрыш 1 выигрышу −1. Таким образом, исход игры однозначен: пилот посадит самолет в Нью-Йорке, а террорист не станет взрывать бомбу. Изобразим полученное решение на дереве. Те действия, которые были игроком в каждой из вершин, изобразим жирными пунктирными линиями. Исход игры определяется траекторией, состоящей из выбранных действий, и идущей из начальной вершины в одну из конечных вершин 11

12

Обратная индукция Рассмотрим предфинальную позицию m. Пусть право хода в этой позиции имеет игрок i(m). В этой позиции все зависит только от игрока i, и он может выбрать наилучшую для себя следующую вершину m: из всего множества. Сократим дерево игры, объявив позицию m финальной, приписав ей выигрыши u(m:) . Такой процесс сокращения дерева игры можно проводить до начальной позиции. В этом и заключается суть метода обратной индукции. 13

В случае, когда в динамической игре участвуют два игрока и игра происходит в два этапа, обратную индукцию удобно провести на основе функции отклика второго игрока на действия первого. 14

15

16 Игра «Рэкет»

17

18

19

В этой игре обратная индукция дает два решения: (L1,R2) и (L2,R1). Если выигрыши всех игроков во всех конечных вершинах различны, то неоднозначность при использовании обратной индукции не возникает, поэтому решение должно быть единственным. В конечной игре с совершенной информацией алгоритм обратной индукции дает хотя бы одно решение. 20

21 Теорема. В конечной игре с совершенной информацией алгоритм обратной индукции даёт хотя бы одно решение

Концепция равновесия Нэша Мы рассмотрели, как находить решение динамической игры с совершенной информацией с помощью обратной индукции. Другой подход состоит в том, чтобы применить к динамической игре концепцию равновесия Нэша, так же как мы применяли ее к статическим играм. 22

Концепция равновесия Нэша Для того чтобы это сделать, следует записать динамическую игру в нормальной форме. Как мы помним, описание игры в нормальной форме состоит из: задания множества игроков, множества стратегий каждого игрока, функции выигрыша каждого игрока на множестве исходов. 23