Лекція 2. Тема. Обернена матриця. Ранг матриці. 1. Поняття оберненої матриці. Нехай А –квадратна матриця n-го порядку Означення 1. Квадратна матриця А називається неособливою, якщо визначник цієї матриці не дорівнює нулю:
Означення 2. Транспоновану матрицю, складену з алгебраїчних доповнень до її елементів, називають приєднаною до матриці А. Означення 3. Оберненою для заданої квадратної матриці А називається така матриця А-1, добуток якої на матрицю А як зліва, так і справа, дорівнює одиничній матриці, тобто де Е – одинична матриця такого порядку, що і матриця А. Матриця А-1 має той же розмір що й матриця А.
2. Знаходження оберненої матриці. Властивості оберненої матриці. 1. 2. 3. Алгоритм знаходження оберненої матриці. 1. Знайти визначник даної матриці А, . Якщо , то матриця особлива, і до неї оберненої не існує. 2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів aij матриці А. 3. Скласти приєднану матрицю А*. 4. Знайти обернену матрицю А-1 за формулою:
5. Якщо потрібно, то зробити перевірку, використовуючи означення Приклад 1. Знайти А 1, якщо
Розв’язання. 1. Знаходимо det A: 2. Знаходимо Aij до кожного елемента даної матриці А:
3. Складаємо А* (приєднану до А): 4. Обернена матриця 5. Перевіряємо:
3. Ранг матриці. Розглянемо прямокутну матрицю А розміром : Виділяємо в ній k рядків і k стовпців . Із елементів, які стоять на перетині взятих рядків і стовпців, складаємо визначник k-го порядку підматриці k-го порядку. Всі такі визначники називаються мінорами цієї матриці. В матриці А виділили мінор 2 -го порядку. Означення 4. Рангом матриці називається найвищий порядок мінора цієї матриці, що не дорівнює нулю. Позначають r, r(A) або rang A.
Означення 5. Мінор, порядок якого визначає ранг матриці, називається базисним. У матриці може бути декілька базисних мінорів. Властивості рангу матриці. 1. Ранг матриці дорівнює нулю тільки тоді, коли матриця нульова. В інших випадках ранг матриці дорівнює деякому додатному числу. 2. Ранг прямокутної матриці не перевищує меншого із її розмірів m чи n, тобто 0≤r≤min(m, n). 3. Для квадратної матриці n-го порядку r=n тільки тоді, коли матриця неособлива. 4. Якщо r<n, то визначник даної квадратичної матриці дорівнює нулю.
Метод обвідних мінорів. 1. Метод обвідних мінорів полягає в тому, що обчислюють поступово мінори, переходячи від мінорів менших порядків до мінорів більших порядків. Якщо при цьому знайдено відмінний від нуля мінор к-го порядку, то потребують обчислення тільки мінори порядку (к+1) – обвідні. У випадку коли всі обвідні мінори (к+1)-го порядку дорівнюють нулю, ранг матриці дорівнює к. Це – громіздка робота для матриць, порядок яких досить великий. Приклад 3. Знайти ранг матриці
Розв’язання: Оскільки в матриці А є мінори 1 – го порядку, які не дорівнюють нулю, то ранг її може дорівнювати одиниці. Мінор 2 – го порядку перевіряємо інші мінори 2 – го порядку: Переставимо цей мінор у лівий верхній кут, переставивши 2 -й і 3 -й стовпчики: Обводимо цей мінор 2 – го порядку третім рядком і третім стовпцем:
Далі обводимо третім рядком і четвертим стовпчиком: Нарешті, обводимо третім рядком і п’ятим стовпчиком Отже, є відмінний від нуля мінор 2 – го порядку, а всі мінори 3 – го порядку дорівнюють нулю. Відповідь r(A)=2.
4. Знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень. Метод елементарних перетворень полягає в застосуванні елементарних перетворень матриці при зведені її до діагонального вигляду. Елементарні перетворення матриці. 1. При таких елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється. 2. Перестановка місцями довільних двох рядків (або стовпців). 3. Транспонування матриць. 4. Множення кожного елемента довільного рядка (або стовпця) на число, яке не дорівнює нулю.
5. Викреслювання рядка (або стовпця), який містить всі нульові елементи. 6. Додавання до елементів довільного рядка (або стовпця) відповідних елементів іншого рядка (або стовпця), помножених на одне і те ж число, яке не дорівнює нулю. Означення 5. Дві матриці називаються еквівалентними, якщо їх ранги рівні. Це записують так А~B, тобто r(A)=r(B). За допомогою елементарних перетворень матрицю зводять до діагонального вигляду. Ранг матриці буде дорівнювати кількості діагональних елементів, які не дорівнюють нулю. Приклад 4. Знайти ранг матриці
Розв’язання. Зробимо такі перетворення, щоб нижче головної діагоналі були нулі: Спочатку поміняємо місцями перший та другий рядки. r(A)=2.
Скачать презентацию Лекція 2 Тема Обернена матриця Ранг матриці 1
Вищ. мат тема (2).ppt