Лекція 2. Синтаксис логіки висловлювань 1. Логічні оператори.

Лекція 2. Синтаксис логіки висловлювань 1. Логічні оператори. 2. Формули логіки висловлювань 3. Символізація висловлювань.

1. Логічні оператори Алфавіт ЛВ Змінні для простих висловлювань: А, В, С..... Логічні оператори (зв’язки, сполучники): негація, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація та еквіваленція. Вони застосовуються для формулювання складних висловлювань. Логічний оператор є істиннісно-функціональним: істиннісне значення складного речення, що побудоване за допомогою відповідного оператора, залежить тільки від істиннісних значень простих речень, з яких воно побудоване. 3. Дужки.

Негація () Цей символ замінює слова “ні”, “не вірно, що”. У напівформальний спосіб інформація про те, що Іван не думає, записується у вигляді  Іван думає , а у формальний А.

Кон’юнкція () Цей символ замінює слова природної мови “і”, “але”, кому, крапку тощо. Наведені слова природної мови можуть з’єднувати речення, імена, дієслова та інші частини мови. У мові логіки висловлювань символ  стоїть тільки між двома реченнями. Тобто речення “Іван і Марія посміхаються” та “Іван посміхається і Марія посміхається” мають однаковий символічний переклад Іван посміхається  Марія посміхається (А  В).

Зауваження щодо  Деякі вживання сполучника “і” не передаються достатньо акуратно символом . Наприклад, припустимо, що ми повідомляємо дещо про Івана і Марію. Якщо ми сказали : “Іван прийшов додому і Марія пішла спати”, тоді наше речення несе таку інформацію про послідовність подій: спочатку Іван прийшов, потім Марія пішла спати. Якщо ми змінюємо порядок, то отримуємо зовсім іншу ситуацію. А в мові логіки висловлювань речення Іван прийшов додому  Марія пішла спати істинне в тих самих обставинах, що і речення Марія пішла спати  Іван прийшов додому. Цей недолік мови логіки висловлювань переборюється у більш розвинених логічних системах.

Диз’юнкція () Цей символ замінює слова “або” , “чи”. Речення “Іван або Марія посміхаються” і “Іван посміхається або Марія посміхається” мають той же самий символічний переклад Іван посміхається  Марія посміхається (А  В). Слово “або”(“чи”) має два смисли: воно може з’єднувати, а може розділяти (виключати). У нашому прикладі  означає, що принаймні одне, а можливо обидва речення, які сполучені диз’юнкцією, істинні. Якщо ми хочемо виразити той смисл слова “або”, що виключає спільний стан Івана і Марії, тоді пишемо (Іван посміхається  Марія посміхається)   (Іван посміхається  Марія посміхається).

“чи…, чи…”, “ані…, ані” Якщо Іван говорить, що захистить дисертацію чи у цьому році, чи у наступному, тоді зрозуміло, що сполучник “чи.., чи…” використаний у тому сенсі, що виключає. Але в реченні “Іван б’є Марію, чи Марія б’є Івана” (Іван б’є Марію  Марія б’є Івана) сполучник  використаний у тому смислі, що поєднує інформацію двох атомарних речень. У природній мові зустрічається ткож сполучник “ані…, ані…”. Інформація про те, що ані Іван, ані Марія не посміхаються записується у вигляді  (Іван посміхається  Марія посміхається).

Матеріальна імплікація () Цей символ замінює слова “якщо ..., то ...”, які у природній мові виражають умову. Наприклад, “Якщо Іван посміхається, то Марія спокійна”. У мові логіки висловлювань ця умова виражається формулою Іван посміхається  Марія спокійна (А  В). Тут А – антецедент, а В – консеквент імплікації. Інші умовні висловлювання, які можуть бути перекладені на мову логіки висловлювань: “А, тільки якщо В”, “ В, при умові, що А”, “ В, коли А”( А  В). Висловлювання “Доки не А, то В”, “ В до тих пір, доки не А” записуються формулою (А  В).

Еквіваленція () Цей символ має наступне читання: “якщо і тільки якщо”. Наприклад, та обставина, що Іван щасливий, якщо і тільки якщо Марія щаслива, у напівформальний спосіб передається так: “Іван щасливий  Марія щаслива”. Відповідна формула - (А  В).

( ) До символів мови логіки висловлювань, як ми бачимо, належать також дужки. Вони мають особливе значення при визначенні істинності речень. Наприклад, речення “Іван спить чи Марія спить і Петро спокійний” можна зрозуміти у два способи: Іван спить  (Марія спить  Петро спокійний ) і (Іван спить  Марія спить)  Петро спокійний. У першому випадку можна припустити, що Петро спокійний тому, що Марія спить. У другому випадку для спокою Петра не так важливо Іван спить чи Марія спить, точніше кажучи, він спокійний, якщо хоча б хто-небудь з них спить.

2. Формули ЛВ Певну частину формальних виразів логіки висловлювань складає множина П.П.Ф. (правильно побудовані формули) Правила утворення П.П.Ф.: 1. Будь-яка пропопозиційна змінна є п.п.ф. 2. Якщо А – п.п.ф., то А – п.п.ф. 3. Якщо А і В п.п.ф., то А  В, А  В, А  В, А  В – п.п.ф. 4. Інших п.п.ф. немає. Не є п.п.ф., наприклад, формули А, АВ, А .

Приклади П.П.Ф. (А (В С)) За правилом 1 А, В, С – п.п.ф. За правилом 2 В – п.п.ф. За правилом 3 В С – п.п.ф. За правилом 3 (А (В С) – п.п.ф. ((А В) ((В  А)   (В  А))) – п.п.ф, у якій задіяні усі типи сполучників алфавіту ЛВ

3. Символізація висловлювань If he comes we will have the party at his house, and if he doesn't come then we will have the party at Jones’ house. ((А В)  (А  С))

Другий приклад символізації If Jones needs money, then either he will reduce prices or he will apply to the bank for a loan. (А (В  С))

“Якщо…, то…” Цей сполучник природної мови має багато застосувань, наприклад, розрізняють два види умовних тверджень. Іndicative conditionals мають форму “Якщо істинно, що P, тоді істинно, що Q”. Subjunctive conditionals мають форму “Якщо було б істинно, що P, тоді було б істинно, що Q”. Вони мають різне значення: “If Oswald didn’t shoot Kennedy, someone else did.” “If Oswald hadn’t shot Kennedy, someone else would have.”

Використання матеріальної імплікації Матеріальна імплікація застосовується для формалізації індикативних умовних тверджень. Навіть якщо матеріальна імплікація не є застосовною до усіх умовних тверджень (наприклад, не може виразити subjunctive conditionals) вона є корисною, тому що часто виражає те, що ми хочемо виразити. Але це означає тільки те, що ЛВ є експресивно неповною, а не те, що вона є useless.

Paraphrasing If either Kennedy or Khrushchev had been weaker willed concerning either Berlin or Cuba, the cold war would have turned into a hot war. Воно може бути перебудоване: If either Kennedy had been weaker willed concerning Berlin or Kennedy had been weaker willed concerning Cuba, or Khrushchev had been weaker willed concerning Berlin or Khrushchev had been weaker willed concerning Cuba, then the cold war would have turned into a hot war. Зрештою, у символічний спосіб: ((A  B)  (C  D)) → E.