2_Pryamaya_kor (1).ppt
- Количество слайдов: 31
Лекция 2 Проекции прямой
Проекции прямой Пространственная картина П 2 А 2 m В 2 A B x O А 1 П 1 B 1 Положение прямой m в пространстве определяют две произвольные точки А и В, лежащие на этой прямой. Это наиболее удобный способ задания прямой. Прямая линия m считается заданной, если на комплексном чертеже построить проекции двух ее точек А и В
Проекции прямой Пространственная картина П 2 А 2 m Комплексный чертеж В 2 m 2 A А 2 O П 1 m 2 B x А 1 B 2 B 1 m 1 x А 1 B 1 m 1 Проекции прямой m проходят через пары соответствующих проекций точек: горизонтальная проекция прямой m 1 – через А 1 и В 1 ; фронтальная проекция прямой m 2 – через А 2 и В 2
Безосный чертеж Безосным называется чертеж, на котором отсутствуют оси проекций B 2 45 А 3 y y А 1 z А 2 B 3 B 1 k 45 Для построения профильной проекции прямой на безосном чертеже проводят постоянную чертежа k под углом 45. С ее помощью по линиям связи получают профильную проекцию прямой А 3 В 3 , положение которой определяется разностями координат z и y
Положение прямой относительно плоскостей проекций z П 2 В 2 B А 2 x Метрические характеристики отрезка: . в Н. A B 1 н. в. – натуральная величина отрезка; В 3 – угол наклона П 3 отрезка к плоcкости П 1 ; А 3 – угол наклона А 1 П 1 y отрезка к плоcкости П 2 ; – угол наклона отрезка к плоcкости П 3
Прямая общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций B 2 А 2 B 3 А 1 B 1 k На чертеже проекции отрезка прямой общего положения имеют искаженные метрические характеристики, ни одна из ее проекций не параллельна осям координат и не перпендикулярна к ним
Прямые частного положения Прямая частного положения параллельна или перпендикулярна одной из плоскостей проекций Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня: Горизонтальная прямая уровня (горизонталь) h П 1 Фронтальная прямая уровня (фронталь) f П 2 Профильная прямая p П Прямая, перпендикулярная одной из плоскостей 3 проекций, называется проецирующей прямой: Горизонтально проецирующая прямая П 1 Фронтально проецирующая прямая П 2 У прямой частного положения на комплексном чертеже определяются Профильно проецирующая прямая натуральные величины каких-либо ее характеристик. Прямая уровня про. П 3 ецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой она параллельна. Одна из проекций проецирующей прямой вырождается в точку
x Прямые уровня: горизонталь (h П 1) Пространственная картина П 2 Комплексный чертеж А 2 h 2 В 2 A А 1 П 1 h B h 1 z=const B 1 z=const x А 1 h 1 н. в. B 1 Все точки прямой АВ равноудалены от горизонтальной плоскости проекций П 1 и имеют одинаковую аппликату z= const. Фронтальная проекция горизонтали А 2 В 2 параллельна оси х. Горизонтальная проекция горизон-тали А 1 В 1 , углы и изображаются в натуральную
Прямые уровня: фронталь (f П 2) Пространственная картина В 2 А 2 x f 2 y=const f B A П 1 А 2 f 2 f 1 А 1 В 2 н. в. x П 2 Комплексный чертеж B 1 А 1 f 1 y=const B 1 Все точки прямой АВ равноудалены от фронтальной плоскости проекций П 2 и имеют одинаковую координату y (y= const). Горизонтальная проекция фронтали А 1 В 1 параллельна оси х. Фронтальная проекция фронтали А 2 В 2 , углы и изображаются в натуральную величину на П 2
Прямые уровня: профильная прямая (р П 3) Пространственная картина z П 2 x В 2 В 3 р2 B р x=const 3 П А 2 3 р А 3 B 1 р1 A П 1 А 1 Комплексный чертеж z В 2 р2 А 2 x y В 3 B 1 р1 А 1 O н. в. р3 А 3 y 3 x=cons y 1 t Все точки прямой АВ равноудалены от профильной плоскости проекций П 3 и имеют одинаковую координату х (х= const). Горизонтальная А 1 В 1 и фронтальная А 2 В 2 проекции прямой перпендикулярны оси х. Профиль-ная проекция А 3 В 3 , углы и имеют натуральную величину
Горизонтально проецирующая прямая ( П 1) Пространственная картина П 2 Комплексный чертеж В 2 н. в. B А 2 A (А 1 ) B 1 П 1 x x (А 1 ) B 1 Прямая перпендикулярна П 1 , поэтому ее горизонтальная проекция А 1 В 1 вырождается в точку. Относительно П 2 и П 3 прямая параллельна и изображается на этих плоскостях проекций в натуральную величину. Проекция А 2 В 2 перпендикулярна оси координат х
Фронтально проецирующая прямая ( П 2) Пространственная картина Комплексный чертеж П 2 (В 2 ) А 2 B A B 1 П 1 x x А 1 н. в. B 1 А 1 Прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П 2 и параллельна П 1 и П 3. Фронтальная проекция А 2 В 2 вырождается в точку. На П 1 и П 3 прямая проецируется в натуральную величину. Проекция А 1 В 1 перпендикулярна оси координат х
Профильно проецирующая прямая ( П 3) Пространственная картина z Комплексный чертеж z П 2 В 2 B 2 А 2 (A 3) B 3 А 2 (А н. в. )В 3 3 B B 1 П 1 A А 1 x x П 3 н. в. B 1 А 1 O y 3 y 1 y Прямая перпендикулярна П 3 , ее профильная проекция А 3 В 3 вырождается в точку. Относительно П 1 и П 2 прямая параллельна, на этих плоскостях ее проекции имеют натуральную величину. Горизонтальная и фронталь-ная проекции прямой перпендикулярны
Преобразование чертежа прямой общего положения.
Способ перемены плоскостей проекций П В 2 2 В z. А x В 4 н. в. А 2 В 1 П 2 П 4 П 1=x 1 z П 4= z П 2 А А 1 А 4 П z. А x 1 1 А 2 П 2 x П 1 А 1 Схема: z. А x 1 П 4 z. А А 4 Заменим исходную фронтальную плоскость проекций П 2 на новую плоскость проекций П 4 , которой прямая АВ будет параллельна. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П 1 (координата z) остается неизменным
Способ перемены плоскостей проекций П x 2 2 А 5 y. А н. в. А 2 А В В 2 В 1 x y. А А 1 П В 5 5 П 1 П 5 П 2=x 2 y П 5= y П 1 Схема: П А 2 1 x А 5 y. А П 2 П 1 А 1 П 5 П 2 x 2 y. А Заменим исходную горизонтальную плоскость проекций П 1 на новую плоскость проекций П 5 , которой прямая АВ будет параллельна. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П 2 (координата у) остается неизменным
Определение н. в. отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций (способ замены плоскостей проекций) B 2 Схема: А 2 П 2 x П 1 А 1 x А 2 П 1 z. А x 1 П 4 z. А А 4 B 1 А 1 П 1 x 1 П 4 А 4 н. в. В 4 Ось х1 новой плоскости проекций П 4 проведем параллельно горизон-тальной проекции отрезка А 1 В 1. В этом преобразовании сохраняются z-координаты точек. На П 4 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона к плоскости проекций П 1
Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций н. в. В 5 А 5 Схема: П 5 П 2 x 2 B 2 А 2 П 2 x П 1 z. А А 1 x А 2 П 2 А 5 y. А П 1 B 1 А 2 А 1 x П 1 x 1 П 4 А 4 н. в. В 4 П 2 П 1 А 1 x 1 П 4 z. А А 4 П 5 П 2 x 2 y. А Ось х2 новой плоскости проекций П 5 проведем параллельно фронталь-ной проекции отрезка А 2 В 2. В этом преобразовании сохраняются y - координаты точек. На П 5 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона к плоскости проекций П 2
Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: i 2 В 2 А 2 l 2 н. в. 2 A x А 1 B 1 l 1 А 2 П 2 x П 1 А 2 А 1 i 1 1 A Для упрощения горизонтально-проецирующую ось вращения l проводят через точку В, которая остается неподвижной. Точка А 1 описывает дугу окружности с центром в точке l 1 так, чтобы В 1 А 1 оси х. Тогда прямая АВ займет положение фронтали. На П 2 угол и отрезок АВ не искажаются
Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: i 2 В 2 2 B i 2 А 2 l 2 н. в. 2 A x н. в. 1 B А 1 B 1 l 1 i 1 1 A А 2 П 2 x П 1 А 1 А 2 П 2 x П 1 А 2 i 2 i 1 А 1 Для определения угла прямую АВ нужно вращать вокруг оси i П 2 до положения горизонтали. Ось проходит через точку А, которая неподвижна. Точка В 2 вращается по дуге окружности с центром в точке i 2 до положения В 2 А 2 оси х. На П 1 угол и отрезок АВ не искажаются
Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: В 2 А 2 П 2 x П 1 А 1 B 1 x Данный отрезок АВ занимает общее положение, преобразуем его во фронтальную прямую уровня путем перемещения концов отрезка по горизонтальным плоскостям уровня согласно схемы А 2 Г 2 А 1
Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: В 2 2 B А 2 Г 2 н. в. Г 2 2 A А 2 П 2 x П 1 А 1 B 1 В 1 А 2 Г 2 А 1 1 A x Горизонтальную проекцию прямой (А 1 В 1 ) располагают параллель-но оси х. Фронтальную проекцию (определяющую н. в. отрезка и угла ) задают новые проекции точек А 2 и В 2 , расположенные на соответствую-щих следах горизонтальных плоскостей уровня Г(Г 2 ) и Г(Г 2 )
Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: 2 А 2 B В 2 2 B А 2 Г 2 н. в. Г 2 2 A А 2 П 2 x П 1 А 1 x н. в. Ф 1 1 B Ф 1 1 А А 1 B 1 В 1 1 A А 2 П 2 x П 1 Ф 1 А 2 Г 2 А 1 А 2 А 1 Для перевода прямой в положение горизонтали фронтальную проекцию прямой (А 2 2 А 2 В 2 ) располагают параллельно оси х. Новые проекции точек В А 1 и В 1 расположены на соответствующих следах фронтальных плоскостей уровня Ф(Ф 1 ) и Ф (Ф 1 ). На П 1 имеем н. в. отрезка и угла
Взаимное положение двух прямых Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку x x АВ СD = K(К 1 , К 2) D 2 П 2 А 1 В 1 С 1 D 1 = D 2 В 2 K 1 А 2 В 2 С 2 D 2 = K 2 K 2 C 2 А 2 B А 2 C 2 K C C 1 D AC 1 B 1 А 1 K 1 D 1 П 1 D 1 Точка пересечения К прямых АВ и СD проецируется в точки пересечения соответствующих проекций прямых: на П 1 - это точка К 1 ; на П 2 точка К 2. Точки пересечения К 1 и К 2 одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи
Взаимное положение двух прямых Параллельные прямые не имеют общих точек x m 2 n m m n m 1 n 1 m 2 n 2 n 1 m 2 n 2 x П 2 n 1 m 1 Проекции параллельных прямых не пересекаются. Одноименные проекции прямых параллельны или совпадают, если параллельные прямые лежат в проецирующей плоскости
Взаимное положение двух прямых Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой 1 m m 1 n 1 m 2 x m n 2 n n 2 m 2 (12 ) 22 n 2 x n 2 П 2 (12 ) 22 m 1 11 m 11 1 21 n 1 Проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны, т. к. прямые m и n лежат в параллельных плоскостях. Проекции скрещивающихся прямых могут иметь пересечение, т. к. прямые m и n не параллельны меж-ду собой. 1 и 2 – конкурирующие точки,
Теорема о проецировании прямого угла Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения B A x М 1 B 1 А 1 N 1 П 1 1 Дано: C C 1 y =90 АВ П 1 ; BC П 1 1 = =90 Доказать: Для доказательства продолжим сторону угла АВ до пересечения с ее проекцией А 1 В 1 в точке М 1. Через точку М 1 проведем прямую М 1 N 1 В 1 C 1. Т. к. BC П 1 , то BC В 1 С 1. Значит, М 1 N 1 ВС и BM 1 N 1 =90 . По
Теорема о проецировании прямого угла Дано: b h = 90 b 2 Если на чертеже есть изображение прямого угла, то одна из его сторон обязательно натуральная величина h 2 x h 1 н. в. b 1
Теорема о проецировании прямого угла Задача: C 2 н. в. D 2 f 2 x С 1 f 1 D 1 Построить проекции перпендикуляра, проведенного из точки С к прямой f C 2 D 2 f 2 D 2 D 1 C 1 Прямая f является фронталью и проецируется на П 2 в натуральную величину. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра С 2 D 2 перпендикулярна фронтальной проекции прямой f. Определяем основание перпендикуляра – точку D. Строим горизонтальную проекцию С 1 D 1
Метрические задачи Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций Задача 1. l 2 П 2 x П 1 1. П 4 П 1 П 4 l А 2 А 1 П x 1 П 4 1 l 1 А 4 l 4 н. в. К 4 Искомое расстояние есть перпендикуляр. Введем новую плоскость проекций П 4 параллельно прямой l так, чтобы прямая заняла частное положение уровня. По теореме о проецировании прямого угла проекция искомого расстояния А 4 К 4 l 4 определяется на плоскости проекций П 4
Метрические задачи Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций Задача 1. К 2 l 2 П 2 x П 1 А 5 А 2 н. в. А 1 П x 1 П 4 1 l 5 К 5 l 1 К 1 А 4 l 4 П 5 П 4 x н. в. К 4 2 1. П 4 П 1 П 4 l 2. П 5 П 4 П АК- 5 l искомое расстоян ие При втором преобразовании введем новую плоскость проекций П 5 перпендикулярно прямой l так, чтобы прямая заняла проецирующее положение. На П 5 определяем натуральную величину А 5 К 5 перпендикуляра АК