Лекция 14 Знакопеременные ряды 1 Знакочередующиеся ряды Теорема

Лекция 14 Знакопеременные ряды 1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница 2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов 1

Выдающийся немецкий мыслитель Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 -1716 гг. ) Механический калькулятор Лейбница В 1880 г. В. Т. Однер создает в России арифмометр с зубчаткой с переменным количеством зубцов, а в 1890 году налаживает массовый выпуск усовершенствованных арифмометров, которые в первой четверти 19 -ого века были основными математическими машинами, нашедшими применение во всем мире. Их модернизация 2 "Феликс" выпускалась в СССР до 50 -х годов.

1 Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Определение. Ряд вида называется знакочередующимся. 3

Теорема Лейбница Т Если 1) знакочередующийся ряд; 2) 3) то 1) Знакочередующийся ряд сходится; (сумма ряда); 2) 3) 4

Доказательство 5

- Последовательность возрастающая , ограниченная сверху Следовательно 6

Замечания. 1. Теорема справедлива и в случае, когда условие (2) выполняется, начиная с некоторого N. 2*. Утверждение 3) используется для оценки остатка знакочередующегося ряда зн. ч. ряд -сумма этого ряда 7

зн. ч. сходящийся ряд (удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница) -сумма этого ряда: -погрешность приближенного равенства 8

Пример. зн. ч. сходящийся ряд (удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница) 9

2 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные (знакочередующийся – частный случай знакопеременного ряда) 10

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда Т Если -ряд из модулей сходится, то -данный знакопеременный ряд сходится. 11

Доказательство. По условию Следовательно 12

Определение 1. Если сходится ряд из модулей данный знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся. 13

Определение 2. Если расходится ряд из модулей а данный знакопеременный ряд сходится, такая сходимость знакопеременного ряда называется условной. 14

Исследование на сходимость знакопеременных рядов (примеры) Исследовать на сходимость. Решение. 1) Ряд знакочередующийся, 2) сходится по признаку Лейбница. 2) Рассмотрим модульный ряд - сходится (ИП). Ответ: Данный ряд сходится абсолютно. 15

Исследовать на сходимость. Решение. 1) Ряд знакочередующийся, сходится по признаку Лейбница. 2) Рассмотрим модульный ряд - расходится (ИП) (гармонический ряд) Ответ: Данный ряд сходится условно. 16

Стучат часы, уходит старый год, Шуршат его последние страницы. И все хорошее пусть не уйдет, А нехорошее - не повторится! 17

18