Лекция 14 Степенные ряды Радиус сходимости ряда Разложение

Лекция 14 Степенные ряды. Радиус сходимости ряда. Разложение функций в ряд Тейлора, ряд Маклорена. Применение степенных рядов для приближенного вычисления значений функций и интегралов.

Определение Степенным рядом называется функциональный ряд элементы которого произведения постоянных на степенные функции с целыми показателями степеней от разности - коэффициенты степенного ряда (обычно действительные функции). В частности, если , то мы будем иметь степенной ряд, расположенный по степеням x В дальнейшем рассматриваем именно такие ряды (замена ) Для удобства n-м элементом степенного ряда называют элемент (хотя он стоит на n+1 месте). Свободный элемент считается нулевым элементом ряда. Рассмотрим ряд (*) и докажем очень важную теорему, на которой будет основано изучение таких рядов.

Теорема Абеля Если степенной ряд (*) сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно, в интервале , т. е. при всяком x , удовлетворяющем условию. Доказательство: Заметим, что вследствие сходимости ряда его общий элемент. Поэтому все элементы этого ряда ограничены в совокупности, т. е. существует М>0, такое, что при всяком n. Запишем ряд (*) так их абсолютных величин элементов этого ряда: и составим ряд В силу установленного неравенства каждый элемент здесь меньше соответствующего элемента геометрической прогрессии со знаменателем :

Если , то и прогрессия сходится, поэтому сходится ряд из абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема доказана. Несмотря на то, что нельзя сразу воспользоваться признаком сравнения, поскольку в условиях теоремы не сказано, что ряд в самой точке сходится абсолютно. Следствие Если степенной ряд (*) расходится при , то он расходится и при всяком х, большем по абсолютной величине , то есть при Область сходимости степенного ряда Здесь возможны три случая: 1) Область сходимости состоит только из одной точки х=0, то есть ряд расходится для всех значений х, кроме х=0. Пример Если х фиксировано и х не равно 0, то, начиная с достаточно большого n, будет , откуда вытекает неравенство , означающее, что общий элемент ряда не стремится к нулю.

2) Область сходимости состоит из всех точек оси ОХ, то есть ряд сходится при всех значениях х. Пример Для любого х, начиная с достаточно большого n, будет , так как и т. д. Начиная с номера n, элементы ряда по абсолютной величине будут меньше элементов сходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, при любом х ряд сходится. 3) Область сходимости состоит более чем из одной точки оси ОХ, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимости. Пример Это геометрическая прогрессия со знаменателем х. Ряд сходится при |x|<1 и расходится при. В этом случае на числовой оси наряду с точками сходимости ряда имеются и точки его расходимости.

В этом случае на числовой оси наряду с точками сходимости ряда имеются и точки его расходимости. Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат. Таким образом Для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости , так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для всех х по модулю меньшим R ( ), ряд абсолютно сходится, а для всех |x|>R ряд расходится. При x=R и x=-R различные варианты: А) ряд сходится в обеих точках. Б) ряд сходится в одной из точек. В) ряд расходится в обеих точках. Определение Радиусом сходимости степенного ряда (*) называется такое число R, что для любых х, |x|R, расходится. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Считаем, что если ряд расходится для любого х, кроме х=0, R=0. Если ряд сходится при всех х, то считаем или. Для ряда центр интервала сходимости в точке ( а не х=0) и интервал сходимости. Способ отыскания радиуса сходимости степенного ряда Отметим, что для нахождения радиуса сходимости можно исследовать ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, то есть (**) так как интервалы сходимости ряда (*) и ряда (**) совпадают. К ряду (**) применим признак Даламбера. будет содержать |x| или степень |x|. Для тех значений х, при которых получаемый предел меньше 1, ряд сходится, а для тех, при которых x>1, ряд расходится. Отсюда следует, что значения |x|, при которых этот предел равен 1, и будет являться радиусом сходимости ряда. Может случиться, что найденный предел при всех х будет равен 0. Это означает, что ряд (*) сходится при всех х и. Наоборот, если для любых х кроме х=0 предел равен бесконечности, то ряд будет везде расходиться, кроме х=0, то есть R=0.

Примеры 1) Найти радиус сходимости ряда. 2) Найти радиус сходимости ряда , то есть для всякого х ряд сходится Если |x|<1 - ряд сходится Если |x|>1 – ряд расходится При х=1 получаем гармонический ряд, который расходится. При х=-1 ряд сходится условно. 3) Найти радиус сходимости ряда , то есть R=1 При |x|<1 – ряд сходится При |x|>1 – ряд расходится При |x|=1 – ряд сходится абсолютно.

4) Найти радиус сходимости ряда Если ряд сходится, то есть при -2

Доказательство Выберем точку , так чтобы было _____(____[_______]______)_______ X -R -b b R Она лежит в интервале сходимости и по теореме Абеля числовой ряд сходится. Для всех точек имеем , и следовательно. Последнее неравенство и означает, что ряд (*) правильно сходится в отрезке [-b, b]. Лемма 2 Степенной ряд, составленный из производных элементов ряда (*) имеет тот же радиус сходимости, что и данный ряд. Доказательство Ряд из производных имеет вид (**) Предположим, что предел отношения существует, и применим для отыскания радиусов сходимости признак Даламбера: для (*)

Равенство пределов отношения последующего элемента к предыдущему для обоих рядов, показывает, что их радиусы сходимости равны. Следует отметить, что на конце интервала сходимости ряд (**) может расходиться и тогда, когда ряд (*) сходится. Например Ряд при ряд сходится. Ряд производных при х=1 – гармонический ряд, который расходится. Если теперь составить ряд из производных ряда (**), то он опять будет иметь тот же радиус сходимости и т. д. Таким образом, все степенные ряды, получающиеся последовательным дифференцированием ряда (*) имеют один и тот же радиус сходимости и по лемме 1 правильно сходятся в любом интервале, целиком принадлежащем интервалу сходимости.

Свойство 1 Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда: Заметим, что в том конце интервала, где степенной ряд сходится, его сумма S(x) остается односторонне непрерывной (изнутри интервала сходимости). Замечание Следует учитывать одно обстоятельство, которое может иногда привести к недоразумению. Возьмем геометрическую прогрессию, сходящуюся при |x|<1. ; определена всюду, кроме точки x=1. Тем не менее, следует твердо помнить, что S(x) является суммой ряда только при |x|<1; При |x|>1 ряд расходится и о его сумме говорить нельзя. Свойство 2 Степенной ряд можно поэлементно интегрировать в интервале сходимости Получившийся степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и данный.

Свойство 3 Степенной ряд можно поэлементно дифференцировать в интервале Сходимости Далее и так далее. Итак, степенной ряд в интервале его сходимости можно поэлементно дифференцировать любое число раз, при этом радиусы сходимости получающихся рядов остаются прежними. Разложение функции в степенные ряды Известно, что сумма степенного ряда в интервале сходимости этого ряда является непрерывной и бесконечное число раз дифференцируемой. Обратный вопрос? Когда можно утверждать, что заданная функция f(x) является суммой некоторого степенного ряда? Из свойств степенных рядов следует, что эта функция должна быть бесконечное число раз дифференцируема (но это условие не достаточное). Остается вопрос установить, какие функции и в каких интервалах можно представить в виде суммы степенных рядов.

Важность такого разложения очевидна, так как, получаем возможность приближенно заменить функцию суммой нескольких первых элементов степенного ряда, то есть многочленом. Вычисление значений многочленов – простейшие арифметические операции. Важно, что можно оценить точность получаемых приближенных значений. Замена функции таким простым выражением, как многочлен, оказывается очень удобной в различных вопросах мат. анализа: при вычислении интегралов, решении дифференциальных уравнений и т. д. Итак, предположим, что функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема в окрестности некоторой точки. Допустим, что ее можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в каком-то интервале, содержащем точку. , где - пока неопределенные коэффициенты. Покажем, как пользуясь свойствами степенных рядов можно найти эти коэффициенты по известным значениям функции f(x) и ее производных в точке.

Положим (*). Получаем. Продифференцируем степенной ряд и снова положим. Получим. Последующее дифференцирование дает При , то есть Таким образом, находятся последовательно все коэффициенты разложения (*). Подставляя найденные выражения в равенство (*) получим ряд Такой ряд называется рядом Тейлора функции f(x). Определение Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки называется степенной ряд (**) относительно разности , коэффициенты которого выражаются через функцию f(x) и ее производные в точке. Эти коэффициенты называются коэффициентами Тейлора функции f(x) в точке. Установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням разности , то этот ряд обязательно является рядом Тейлора этой функции.

Замечание Все рассуждения сделаны в предположении, что функция f(x) может быть разложена в степенной ряд. Если этого не предполагать, а просто считать функцию f(x) бесконечное число раз дифференцируемой и составить для нее ряд Тейлора, то ниоткуда не следует, что этот ряд сходится при значениях х, отличных от. Условие разложимости функций в ряд Тейлора. Перейдем теперь к выяснению условий, при которых можно утверждать, что ряд Тейлора, составленный для функции f(x) действительно сходится в некотором интервале и что его сумма в точности равна f(x). Обозначения: многочлен n-ой степени, представляющий n-ую частичную сумму ряда Тейлора

Сходимость ряда Тейлора к функции f(x) в точке х означает, что или, что то же самое, Величина дает при этом как раз ту ошибку, которую мы делаем, заменяя функцию f(x) многочленом. Для оценки величины остаточного члена, служит теорема, которую докажем позднее. Частный случай Предположим, что функция f(x) сама есть многочлен n-ой степени. Тогда при последовательном дифференцировании функции f(x) будем каждый раз получать многочлен степени на единицу меньше. После n-го дифференцирования получаем постоянную величину и все последующие производные равны 0. Таким образом, от ряда Тейлора для многочлена f(x) останутся только первые n+1 слагаемых, то есть опять-таки многочлен n-ой степени. Полученное тождество называется формулой Тейлора для многочлена.

Пример Разложить многочлен по степеням x-1. Решение: Здесь ; Таким образом Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора. Пусть f(x) – функция, относительно которой хотим выяснить, допускает она разложение в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки или нет. Запишем ее в следующем виде , где - остаточный член ряда Тейлора. Рассмотрим теорему относительно структуры , которая в дальнейшем позволит устанавливать, стремится ли к нулю при неограниченном возрастании n или нет, то есть можно ли представить функцию в виде ряда Тейлора или нет. Теорема

Теорема Если функция f(x) во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет (n+1) производную , то остаточный член для любой точки этого интервала имеет вид , где заключено между x и В соответствии с такой записью формула (*) имеет вид В таком виде эту формулу называют формулой Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке. Последний член в этой формуле отличается от общего члена суммы только тем, что значение соответствующей производной берется не в точке , а в некоторой точке , лежащей между точками и х. Некоторые частные случаи этой формулы: 1) Пусть n=0, тогда. Это формула Лагранжа. 2) Пусть n=1, тогда. Если в этой формуле отбросить остаточный член, то получим приближенное значение функции, основанное на применении дифференциала.

При этом f(x) заменяется линейной функцией. Само по себе выражение для остаточного члена не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка , в которой берется (n+1) производная. Поэтому в дальнейшем ограничимся оценкой величины. Это делается на основании следующего замечания: Пусть в интервале, в котором справедлива формула Тейлора, по абсолютной величине не превосходит числа : , тогда для любого х из этого интервала остаточный член удовлетворяет неравенству (***) Действительно, согласно доказанной теоремы Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена Разложение заданной функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки распадается на два этапа:

1) Сначала вычисляются значения функции f(x) и ее производных в точке и составляется ряд Тейлора для функции f(x). При этом предполагается, что функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема. 2) Находится интервал, в котором составленный ряд Тейлора сходится к функции f(x), то есть устанавливается для каких значений х остаточный член ряда будет стремиться к нулю при. При этом можно воспользоваться следующей теоремой. Теорема Если в некотором интервале, окружающем точку , абсолютные величины всех производных функции f(x) ограничены одним и тем же числом, то функция в этом интервале разлагается в ряд Тейлора. Доказательство Нужно установить, что для всех точек интервала при По условию теоремы во всех точках интервала , где M – постоянная, не зависящая от n. Тогда в силу неравенства (***) Но отношение при , то есть радиус сходимости

Следовательно, для всех точек х, рассматриваемого интервала, что и требовалось доказать. Особенно часто используется разложение функции в ряд по степеням х. Полагая получаем ряд Такой ряд называется рядом Маклорена. Разложение в ряды элементарных функций 1) Показательная функция Разложим эту функцию в ряд Маклорена. Все производные функции равны и обращаются в 1 при х=0. По формуле Тейлора Рассмотрим интервал [-N, N], где N – любое фиксированное число. Для всех значений х из этого интервала. Следовательно, все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом и по доказанной теореме. По предположению N – любое число, следовательно, функция разлагается в ряд Маклорена при всех значениях х, то есть на всей числовой оси. Итак

В частности при х=1 находим ряд для числа е 2) Тригонометрические функции sinx и cosx Разложим в ряд Маклорена функцию sinx. Для этого последовательно находим значения ее производных в точке х=0 и т. д. Значения производных повторяются и образуют периодическую последовательность 0, 1, 0, -1, . . . Любая производная функции sinx (то есть следовательно ряд функции sinx сходится к ней на всей числовой оси. Итак Аналогично для функции cosx

3) Биноминальный ряд Рассмотрим функцию в ряд Маклорена. , где m – любое число. Разложим … поэтому Следовательно, ряд запишется в виде: согласно признака Даламбера ряд сходится, если |x|<1 и расходится, если |x}>1. Исследуем , ограничившись случаем, когда 0m-1 имеем и поэтому Воспользуемся неравенством (***)

Правая часть неравенства есть абсолютная величина (n+1)-го члена степенного ряда, сходящегося при |x|<1. Следовательно, . Соответствующее доказательство для интервала (-1, 0) более сложное и оно не приводится. Таким образом, биноминальный ряд представляет функцию в интервале (-1, 1) Если m – целое положительное число, то ряд справа содержит всего (m+1) слагаемых и превращается в форму бинома Ньютона. Заметим, что ряд сходится к функции во всем замкнутом интервале [-1, 1]. Приведем биноминальные ряды, соответствующие значениям m=-1, m=1/2, m=-1/2. (это геометрическая прогрессия)

Замечание Разложение отдельных функций в ряды могут быть получены из уже известных разложений с помощью свойств степенных рядов. 4) Функции ln(1+x) и arctgx Для разложения в ряд Маклорена функции f(x)=ln(1+x) воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии Применим теорему об интегрировании степенных рядов и проинтегрируем ряд в пределах от 0 до х. Поскольку то интегрируя поэлементно ряд, получим Совершенно аналогично получается разложение функции arctg x в ряд Маклорена. Для этого, заменим в формуле для суммы элементов геометрической прогрессии x на. Получим Проинтегрируем ряд в пределах от 0 до х. Считая, что |x|<1 получаем

Замечание Разложения (1)-(6) могут быть использованы для разложения в ряды других функций. Примеры: 1) Разложим в ряд Маклорена гиперболические функции chx и shx Для ряда (1) заменим на получим Далее, по правилу сложения и вычитания рядов находим искомое разложение 2) Разложим в ряд Маклорена функцию Возьмем разложение функции и вместо получим 3) Разложим в ряд Маклорена функцию , подставим

Воспользуемся разложением биноминального ряда, где m=-1/2 и, для заменим x на , получим (*) Умножим обе части на 4) Разложим в ряд Маклорена функцию. Так как , то разложение arcsinx получается интегрированием ряда (*) 5)Разложим в ряд Маклорена функцию Так как ряды для и sinx сходятся абсолютно, то, перемножая их по правилу, рассмотренному ранее получим искомое разложение (первые коэффициенты, так как закон подметить трудно).

Некоторые применения рядов Тейлора 1. Приближенное вычисление значений функции Допустим, что нам известны значения самой функции f(x) и ее последовательных производных в некоторой точке и f(x) в окрестности этой точки разлагается в ряд Тейлора. Тогда точное значение функции f(x) в любой точке этой окрестности может быть вычислено по ряду Тейлора, приближенное ее значение по частичной сумме этого ряда. Возникающую при этом ошибку можно оценивать либо опираясь на теорему об оценке остаточного члена, либо непосредственно оценивая остаток ряда. Если, например, получающийся числовой ряд знакочередующийся, то это делается при помощи теоремы Лейбница; в случае знакоположительного ряда стараются подобрать другой ряд (обычно геометрическую прогрессию), элементы которого больше элементов остатка и, сумму которых мы можем найти. На практике оценка остатка ряда оказывается более удобной, так как оценка остаточного члена предполагает знание производной нужного нам порядка во всем рассматриваемом интервале. Часто можно получить разложение функций в ряды, вообще не отыскивая производных, а комбинируя известные нам ряды.

Рассмотрим примеры 1) Имеем Производя вычисления по этой формуле в интервале [0, M], где М – любое число и учитывая, что по теореме об оценке остаточного члена получим Оценка неудобна тем, что сюда входит величина. Кроме того, она может оказаться слишком завышенной, так как установлена для всего интервала. При М=1 получим Подсчитаем, например, сколько нужно взять элементов ряда, чтобы получить число е с точностью до 0, 00001. Здесь x=1 и должно быть Неравенство справедливо при n=8 Чтобы получить число е с этой точностью надо в сумме все слагаемые брать с точностью 0, 00001 во избежание накопления ошибок при арифметических действиях. В результате нашли число е с шестью верными знаками.

Покажем теперь, как можно оценивать ошибку для. пользуясь всем рядом Итак мы получили оценку ошибки , то есть почти в три раза более точную, чем найденную выше. 2) Вычислить значение функций sinx и cosx при помощи их разложений в ряды. Приближенные формулы отличаются здесь очень высокой точностью, а ошибка легко оценивается с помощью теоремы Лейбница. Положим в разложении функции sinx последовательно n=1, 2, 3. Считая х>0 получим ;

(1) и (3) дают значение функции с избытком, а (2) - с недостатком. Замечание Для получения значений sinx с точностью 0, 00001 следует пользоваться (1) в интервале (0

1. Интегрирование функций Допустим, что нужно найти интеграл , причем известно разложение функции f(x) в ряд Тейлора, а пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости ряда. Тогда можно интегрировать ряд поэлементно. В результате получаем ряд Тейлора для функции F(x), имеющей тот же радиус сходимости, что и ряд для f(x). Если выражается через элементарную функцию F(x), то тем самым находим ее разложение в ряд Тейлора. Если же в элементарных функциях не выражается, то найденный ряд может служить выражением неэлементарной функции F(x) через самые простые элементарные функции – степенные, но уже бесконечным выражением. Замечание Зная оценку остаточного члена ряда для f(x) можно на основании теоремы об оценке интеграла можно оценить и остаточный член ряда для интеграла F(x). Примеры:

Примеры: 1) Пусть дан интеграл Раскладывая sinx в ряд и деля на x, получаем интервал сходимости . Интегрируем Этот ряд не сходится ни к одной элементарной функции; он является аналитическим заданием новой функции, посредством бесконечного числа операций. Функция (интегральный синус) встречается в теоретической физике. С помощью приведенного ряда составлены подробные таблицы. 2) При изучении теории вероятностей важную роль играет функция Лапласа или интеграл вероятностей. Этот интеграл не выражается в элементарных функциях. Раскладываем функцию , заменяя x на. Получаем разложение

тогда для функции Интеграл сходится быстро при |x|<1. 3) Вычислить интеграл В общем случае неопределенный интеграл выражается в элементарных функциях. Однако это выражение очень сложно и неудобно для вычислений. В то же время, разложив подынтегральную функцию в ряд получаем Если ограничиться двумя первыми элементами ряда (при этом ошибка не превосходит , то