Лекция 12 Гармонический анализ временных рядов 12

Лекция 12. Гармонический анализ временных рядов • 12. 02. 2018 Спектральный анализ (разложение в ряд Фурье, периодограмма) 1

Гармоники во временных рядах Известно, что первым человеком, искавшим в циклах способ понимания экономических изменений, был астроном – сэр Уильям Гершель, открывший планету Уран. В начале XIX века он утверждал, что есть связь между циклами появления пятен на Солнце и погодой, и что это, в свою очередь, могло бы оказывать влияние на цену урожая и на экономику в целом. Чуть позже знаменитое семейство Ротшильдов в Европе, работая в обстановке полной секретности, выделило в британских процентных ставках три цикла, включая 40 -месячный. Ротшильды тайно использовали свои циклы до тех пор, пока слухи об этом не достигли в 1912 г. Нью-Йорка. 12. 02. 2018 2

Анализ периодической (сезонной) составляющей 1. Анализ автокорреляций (процесс авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего АРПСС - модель не известна. Прогноз по предыдущим значениям с осреднением) 2. Анализ Фурье. Периодограмма. Отличие от АРПСС и экспоненциального сглаживания периоды заранее неизвестны. 12. 02. 2018 3

Модель авторегрессии (простейшая форма) Xt = a Xt – 1 + εt , t = 1, …, n, где εt – процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и дисперсию σ a ≠ 0 – некоторый постоянный коэффициент. Далее, Xt = a X t – 1 + εt = a (a Xt – 2 + εt– 1) + εt = a 2 Xt– 2 + a εt– 1 + εt = … = = a t X 0 + a t – 1 ε 1 + a t– 2 ε 2 + … + εt , ……… X 1 = a X 0 + ε 1 12. 02. 2018 4

Анализ Фурье (пример) Рис. 1. Исходные данные: сейсмическая трасса. 12. 02. 2018 Рис. 2. Вклад различных гармоник в сумму ряда. 5

отклики Анализ Фурье модель Отсчеты времени на оси X 12. 02. 2018 6

Оценки коэффициентов по МНК 12. 02. 2018 7

Оценки коэффициентов по МНК (продолжение) 12. 02. 2018 8

Модель с амплитудой и фазой 12. 02. 2018 9

Модель с амплитудой и фазой 12. 02. 2018 10

Периодограмма или линейчатый спектр Фурье Интенсивность k-той гармоники 12. 02. 2018 11

Оценка дисперсии величины x(ti) 12. 02. 2018 12

1. Выделение значимых гармоник по критерию Фишера H 0: гармоника не значима критическая точка статистика FРАСПОБР(…. . ) 12. 02. 2018 13

Выделение значимых гармоник по вкладу доминирующих гармоник в дисперсию 12. 02. 2018 14

Модель после выделения гармоник предсказанны е значения Если удалось выделить тренд (например, линейный), то модель: 12. 02. 2018 15

Алгоритм построения модели 12. 02. 2018 16

Алгоритм расчета коэффициентов разложения в ряд Фурье 12. 02. 2018 17

Алгоритм расчета коэффициентов разложения в ряд Фурье и выделения значимых гармоник 6. Выделить значимые гармоники, для которых 12. 02. 2018 18

Алгоритм расчета коэффициентов разложения в ряд Фурье и выделения значимых гармоник 12. 02. 2018 19

Критерий Дарбина-Уотсона • • Durbin-Watson statistic Показатель, применяемый для выявления автокорреляции во временных рядах. Предполагается, что эта автокоррелированность определяется соотношением Проверяется H 0 : =0 с помощью статистики Дарбина-Уотсона (Durbin, 1969), где ei и ei-1 — последовательные значения остатков. Значение статистики Дарбина-Уотсона изменяется в диапазоне от 0 до 4. При этом значение 2 указывает на отсутствие автокорреляции значений временного ряда. Значения, меньше двух, указывают на наличие положительной автокорреляции, а больше двух - на наличие отрицательной автокорреляции. 12. 02. 2018 20 20

Задание Для данных таблицы 12 выявить значащие гармоники по критерию Фишера и по вкладу доминирующих гармоник, предварительно удалив тренд. Записать модель. Сравнить на графике исходные данные с модельными.