ЛЕКЦИЯ 1 ВМ Тема Основы математического анализа

ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ) Тема: Основы математического анализа

План лекции: 1. Дифференциальное исчисление 2. Интегральное исчисление 3. Дифференциальные уравнения

Понятие производной функции Рассмотрим функцию x – xo = Δx, Δy = f(xo + Δx) – f(хo).

• Если существует то этот предел называется производной от функции по переменной x в точке x 0 у'x = ,

Геометрическая и механическая интерпретации производной • Если x = f(t) есть уравнение прямолинейного движения точки, то производная представляет собой скорость точки в момент времени t. • Производная f'(х) функции геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x.

(а и б – конечные производные в точке М 0; в – бесконечная производная в точке М 0)

Правила дифференцирования 1. Производная от постоянной величины равна нулю, т. е. если у = C, то y' = 0: C' = 0. 2. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых: (u + v + w +. . . )' = u' + v' + w' +. . .

3. Производная произведения двух функций определяется формулой: (u ∙ v )' = u' ∙ v + u ∙ v' 4. Производная частного от деления двух функций определяется формулой:

Производные основных элементарных функций

Дифференцирование сложной функции • Производная сложной функцииопределяется по формуле: y'x = y'u ∙u'x Пример. Найти производную функции Используя правило дифференцирования сложной функции, получим:

пусть , тогда y = ln u

Понятие дифференциала функции На основании определения предела Δу/Δх = у' + α(Δх), отсюда Δу = у' ∙ Δх + Δх ∙ α(Δх). • Первое слагаемое в правой части этого равенства стремится к нулю, как Δх (если у' 0), а второе слагаемое кроме Δх содержит в себе множитель α(Δх), который тоже стремится к нулю при Δх.

Таким образом, первое слагаемое стремится к нулю медленнее второго, и поэтому его называют главной частью приращения функции Δу.

• Главная часть приращения функции Δу, равная произведению у' ∙ Δх, называется дифференциалом первого порядка от функции , соответствующим выбранным значениям х и Δх. • Обозначается так: dy = у' ∙ Δх (первая форма записи дифференциала)

Геометрический смысл дифференциала

• Дифференциал dy равен приращению ординаты касательной к графику , соответствующему значениям x и x + Δx. • Вторая форма записи дифференциала: dy = у' ∙ dx

Приближенные вычисления с помощью дифференциала Теорема: Если функция дифференцируема в точке x, причем f '(x) 0, то при Δx —> 0 приращение Δy и дифференциал dy функции являются эквивалентными бесконечно малыми.

• Следовательно, Δy ≈ dy. Абсолютная и относительная погрешности этого равенства могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно малом. Структура дифференциала обычно значительно проще структуры приращения функции, в силу чего формула широко применяется в приближенных вычислениях.

Частные производные и полный дифференциал Пусть (x, у) — произвольная фиксированная точка из области определения z =f(x, у). Рассмотрим предел Этот предел (если он существует) называется частной производной (1 го порядка) данной функции z по переменной x в точке (x, у).

Аналогично, Таким образом, частная производная функции z = f(x, у) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении у. Аналогично, есть производная функции z = f(x, у) по у в предположении, что x является константой.

Полный дифференциал функции z = f(x, у) вычисляется по формуле

Понятие неопределенного интеграла Дифференцируемая функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на (a, b), если F'(х) = f(x) на (а, b). Например, для f(x) = cos x первообразной будет F(x) = sin x, так как F'(х) = (sin x) ' = cos x

Выражение F(х) + С, где С произвольная постоянная величина, определяющее множество первообразных для функции f(x), называется неопределенным интегралом и обозначается символом , т. е. = F(х) + С, где знак неопределенного интеграла, f(x) — называется подынтегральной функцией, f(x) dx подынтегральным выражением, x переменной интегрирования.

Графики интегральных кривых

Таблица неопределенных интегралов

Свойства неопределенных интегралов 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Свойства неопределенных интегралов 3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: Пример 1 . Пример 2.

Свойства неопределенных интегралов 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Пример 3. 5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Свойства неопределенных интегралов Пример 4.

Методы интегрирования • Непосредственное интегрирование Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств. Пример.

Методы интегрирования • Метод разложения Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию более простых функций с использованием известных формул. Пример.

Методы интегрирования • Метод подведения под знак дифференциала Для приведения данного интеграла к табличному бывает удобно сделать преобразования дифференциала. Пример.

Методы интегрирования • Метод замены переменной Существуют две формулы замены переменной в неопреде ленном интеграле: 1. , где x = φ(t) 2. , где φ(x) = t

Методы интегрирования Пример. Здесь следует ввести новую переменную t так, чтобы избавиться от квадратного корня. Положим , тогда , а dx = 2 t dt

Методы интегрирования • Метод интегрирования по частям Дифференциал произведения двух функций определяется формулой

Методы интегрирования Интегрируя это равенство, получим выражение: Отсюда.

Методы интегрирования Пример

Понятие определенного интеграла • Вычисление площади криволинейной трапеции Криволинейной трапецией будем называть плоскую фигуру, ограниченную осью ОХ, графиком непрерывной функции у = f(x) и двумя вертикальными прямыми х = аих=b

Понятие определенного интеграла

Понятие определенного интеграла Учитывая, что площадь фигуры, составленной из нескольких непересекающихся фигур, равна сумме площадей этих фигур, получим Предел этой суммы называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается

Понятие определенного интеграла Определенным интегралом называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала Δх.

Свойства определенного интеграла 1. Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых: 2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за символ интеграла:

Свойства определенного интеграла 3. Если верхний и нижний пределы интеграла поменять местами, то интеграл изменит знак:

Свойства определенного интеграла 4. Если интервал интегрирования [а, b] разбить на две части [а, с] и [с, b], то 5. Если подынтегральная функция в интервале интегрирования не меняет знака, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция

Формула Ньютона Лейбница Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла: , где F`(x) = f(x) Разность значений функции часто записывают так:

Дифференциальные уравнения Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным. • Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения: • или

• Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него. Пример. ху' – у = 0, у' + sin х = 0 уравнения первого порядка, у" + 2 у' + 5 у = х - уравнение второго порядка.

• Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает уравнение в тождество после подстановки этой функции и ее производных в уравнение. • При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной

Дифференциальные уравнения первого порядка Общий вид дифференциального уравнения 1 го порядка определяется выражением Общим решением дифференциального уравнения 1 го порядка является множество решений у = f(x, С), где С произвольная постоянная.

• График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. • Придавая произвольной постоянной С различные значения, можно получить частные решения. На плоскости ХОУ общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, соответствующих каждому частному решению.

• Если задать точку A(x 0, у0), через которую должна проходить интегральная кривая, то, как правило, из множества функций у = φ(х, С) можно выделить одну частное решение. • Частным решением дифференциального уравнения называется его решение, не содержащее произвольных постоянных.

• Если функция у = φ (х, С) является общим решением, то из условия y 0 = φ (х0, С) можно найти постоянную С. • Условие у = у0 при x = x 0 называют начальным условием. • Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию у = у0 при x = x 0 называется задачей Коши.

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения) Пусть в дифференциальном уравнении у' = f(x, у) функция f(x, у) и ее частная производная fy'(х, у) определены и непрерывны в некоторой области D, содержащей точку A(x 0, y 0). Тогда в области О существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у = у0 при x = x 0.

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными • Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде y' = f 1(x) ∙ f 2(y) Правая часть уравнения представляет собой произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

Пример. Уравнение у' = является уравнением с разделяющимися переменными (f 1(x) = , f 2(y) = y), а уравнение не является таким

• Учитывая, что , перепишем y' = f 1(x) ∙ f 2(y) в виде. • Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором при дифференциалах стоят функции, зависящие от соответствующей переменной:

Интегрируя почленно, имеем: где С = С 2 – С 1 – произвольная постоянная. Выражение представляет собой общий интеграл уравнения

Пример 1. Найти решение у' = , удовлетворяющее условию: у = 6 при х = 2 (у(2) = 6). • Заменим у' на , тогда • Умножим обе части на dx, так как при дальнейшем интегрировании нельзя оставлять dx в знаменателе:

• Разделив обе части на у ( получим уравнение • Интегрируем: ), • Потенцируя, получим у = С(х + 1) общее решение.

• По начальным данным определяем произвольную постоянную, подставив их в общее решение 6 = С(2 + 1) => С = 2. • Окончательно получаем у = 2(х + 1) — частное решение.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка • Дифференциальное уравнение 1 го порядка называется однородным, если его можно представить в виде у' = f(y/x). • Введем новую функцию u = y/x или y = u ∙ x. Отсюда у' = u'х + u или dy = u dx + x du. Свели к диф. уравнению с разделяющимися переменными

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка • Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде y' + p(x)y = q(x) • Здесь у, у' — входят в 1 й степени, р(х), q(х) — неизвестные функции, в частности, они могут быть постоянными величинами.

• Уравнение решается методом Бернулли с помощью специального приема. Представим у в виде произведения двух функций у = u(x) υ(x), где u, υ — неизвестные функции, причем одну из них можно выбрать произвольно. • Если у = u υ , то у' = u' υ + u υ' и, подставляя в ур ие, получим • u' υ + u υ ' + р(х)u υ = q(x), • u' υ + u(υ' + р(х) υ) = q(х).

• Функции u, υ нам неизвестны, определим одну из них, например υ , из условия υ' + р(х) υ = 0 (1) Учитывая это, придем к уравнению u' υ = q(х) (2) • Найдем υ(x) из (1): υ ' = p(x) υ ,

Подставим найденное решение в (2): Общее решение:

Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка 1. Задача о радиоактивном распаде • Скорость распада Rа (радия) в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада Rа, если известно, что в начальный момент имелось m 0 Rа и период полураспада Rа равен 1590 лет.

• Пусть в момент t масса Rа составляет x г. Тогда скорость распада Rа равна • По условию задачи где k – коэффициент пропорциональности

• Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим ln x = kt + ln. C, откуда • Для определения С используем начальное условие: при t = 0 x = m 0. • Тогда С = m 0 и, значит, • Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия: при t= 1590 x = m 0 /2.

• Имеем m 0 /2 = или и искомая формула . Отсюда

2. Задача о скорости размножения бактерий • Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от их количества. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 часов?

• Пусть x - количество бактерий в момент t. Тогда согласно условию , где k — коэффициент пропорциональности. Отсюда • Из условия известно, что х(при t=0) = 100. Значит, С = 100,