Лекция 1 Случайные события. Основные теоремы теории вероятностей. Повторные испытания. Литература (для лекций 1 -4): 1. Общий курс высшей математики для экономистов. /В. И. Ермаков, Б. М. Рудык, Р. К. Гринцевичюс. – М. : Инфра-М, 2007. – 656 с. - С. 423 -462. 2. Математика для экономистов. / Красс М. С. , Чупрынов Б. П. СПб. : Питер, 2005. – 466 с. –с. 264 -344. 3. Курс математики для технических высших учебных заведений: Учебное пособие. Часть IV. Под ред. В. Б. Миносцева и Е. А. Пушкаря. -М. : МГИУ, 2011. 4. Сборник индивидуальных заданий по математике для технических высших учебных заведений. Часть II. Под ред. В. Б. Миносцева и Е. А. Пушкаря. -М. : МГИУ, 2011. 5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов. -М. : Высш. образование, 2006. 6. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие для вузов. -М. : Высш. шк. , 2003. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Классическое определение вероятности. Относительная частота и ее свойства. Статистическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Основные теоремы теории вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события. 1
2 Историческая справка. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам. Ее развитию послужили задачи, относящиеся к азартным играм, таким, как орлянка, кости, карты, рулетка, когда в них начали применять количественные подсчеты и прогнозирование шансов на успех. Мощным стимулом дальнейшего развития теории вероятностей явились запросы страхового дела, которое зародилось в XIV веке. Большой вклад в развитие теории вероятностей и математической статистики внесли российские математики, а также ученые англо-американской школы. Особо следует отметить неоценимый вклад академика А. Н. Колмогорова в становлении теории вероятностей как математической науки. Фундаментом современного здания теории вероятностей является аксиоматический подход, предложенный А. Н. Колмогоровым в книге «Основные понятия теории вероятностей» . В настоящее время аксиоматический подход является общепринятым.
3 1. Предмет теории вероятности. Основные понятия. Теория вероятностей ( ТВ) является разделом математики, изучающим закономерности в случайных явлениях (результаты которых не могут быть заранее предсказаны). Раздел теории вероятностей – математическая статистика, занимается оценкой характеристик этих закономерностей на основании наблюдений. Исходными понятиями в ТВ являются понятия случайного события и вероятности. Определение 1. Явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении некоторого комплекса условий, называется случайным событием. Всякое осуществление комплекса условий, при которых изучается случайное событие, называется испытанием. События принято обозначать большими латинскими буквами A, B, C, … Пример 1. Испытание – бросание монеты. События: А – выпадение «орла» , В – выпадение «решки» . Пример 2. Испытание – выстрел по мишени. События: А – попадание в цель, В – промах.
4 2. Виды случайных событий. Определение 2. Событие называется достоверным U, если оно обязательно произойдет, и невозможным V, если оно никогда не произойдет в результате испытания. Определение 3. События А и В называются несовместными, если они не могут появится в одном испытании. Если событий больше двух, они могут быть попарно несовместными, если любые два из них несовместны. События A и B называются совместными, если они могут произойти вместе в одном и том же испытании. Пример 3. Испытание – однократное подбрасывание игральной кости с шестью гранями. Пусть событие A – появление трех очков, событие B – появление четного числа очков, С – появление нечетного числа очков, D – выпадение не менее одного очка и E – выпадение семи очков. Тогда события A и С совместны, а события A и В несовместны. События В и С также являются несовместными. Событие D – достоверное событие, а событие E – невозможное событие.
3. Алгебра событий. Геометрическая интерпретация основных действий над событиями с помощью диаграмм Венна. Определение 5. Суммой двух событий А+В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Определение 6. Произведением двух событий АВ называется событие, состоящее в наступлении каждого из этих событий. Определение 7. Разностью событий A и B назовем событие AB , происходящее тогда и только тогда, когда произошло А, но не произошло B. 5
Пример 4. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Событие А – попадание первого стрелка, а событие В – попадание второго. • событие А+В – хотя бы одно попадание при двух выстрелах • событие АВ – попадание обоих стрелков Пример 5. Из колоды карт извлечена карта. Событие А – вынута карта пиковой масти, а событие В – вынута дама. • событие АВ - извлечена карта дамы пик • событие АВ – извлечение из колоды любой карты пиковой масти, кроме дамы • ВА – извлечение дамы любой масти, кроме пик. Свойства операций над событиями: 6
7 4. Классическое определение вероятности. Определение 8. Несколько событий А 1, А 2, …, Ап образуют полную группу, если в результате испытания обязательно появится хотя бы одно из них, т. е. Определение 9. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом. Определение 10. Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем исходами, благоприятствующими этому испытанию. Если элементарные исходы равновозможны и образуют полную группу попарно несовместных событий, то справедливо следующее определение вероятности. Определение 11. Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех исходов данного испытания, т. е.
Свойства вероятности: 1. Вероятность достоверного события U равна единице. Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате испытания, то все исходы этого испытания являются для него благоприятными, поэтому т = п и на основании формулы (1) имеем: Р(U) = 1. 2. Вероятность невозможного события V равна нулю. Доказательство. Для невозможного события ни один исход испытания не является благоприятным, поэтому т = 0 и на основании формулы (1) имеем: P(V) = 0. 3. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых благоприятствующих исходах испытания т, удовлетворяющих неравенству (0 – для невозможного события и n – для достоверного), и из (1) следует, что. События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) или очень велики (близки к единице), называются практически невозможными или практически достоверными событиями. 8
9 Пример 6. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый. Решение. Число возможных исходов равно 10, а число исходов, благоприятных событию А (появление белого шара) равно 6 (таково количество белых шаров в урне). Значит, Следует обратить особое внимание на то, что формула (1) справедлива только в случае всех равновозможных исходов. Пренебрежение этим требованием приводило к ошибкам при решении простых вероятностных задач. Приведем хрестоматийный пример – ошибку Ж. Даламбера, попавшую даже во французскую энциклопедию. Ответ Ж. Даламбера на вопрос о вероятности выпадения «герба» (Г) хотя бы один раз при двух бросаниях монеты гласил – 2/3. Вероятно, он считал, что при двух бросаниях монеты возможны три следующих исхода: Г–Г, Г–Р, Р–Р, и среди них только последний является неблагоприятным. На самом же деле, для того чтобы все исходы были равновозможными, необходимо учитывать, что помимо исхода Г–Р, возможен и исход Р–Г. С учетом этого искомая вероятность равна 3/4.
5. Относительная частота. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности применимо только для очень узкого класса задач, где все исходы опыта удовлетворяют жестким условиям, и не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Большое количество экспериментов показало, что если опыты проводятся в одинаковых условиях, то для большого количества испытаний относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно считать вероятностью рассматриваемого события. В отличие от «математической» вероятности, рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной. Таким образом, статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней. 10
11 Определение 13. Вероятностью случайного события называется предел его относительной частоты при неограниченном увеличении числа испытаний, т. е. Это определение вероятности называется статистическим. Замечание 1. Из формулы (2) следует, что свойства вероятности, доказанные для ее классического определения, справедливы и для статистического определения вероятности. Замечание 2. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности. Пример 7. Если в задаче задается вероятность попадания в мишень для данного стрелка (скажем, р = 0, 7), то эта величина получена в результате изучения статистики большого количества серий выстрелов, в которых этот стрелок попадал в мишень, например, около семидесяти раз из каждой сотни выстрелов.
12 5. Основные формулы комбинаторики. Пример 8. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить из 7 различных фамилий?
Пример 9. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек? 13
14 Пример 10. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов? Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:
Гипергеометрическое распределение. 15
16 Эта формула называется гипергеометрическим распределением. Пример 11. Из игральной колоды (36 карт) наудачу вытащили 4 карты. Какова вероятность. Что среди них имеется 2 короля? Решение:
17 6. Основные теоремы теории вероятностей. Теорема 1 (теорема сложения вероятностей). Вероятность P(А + В) суммы событий А и В равна Доказательство. Пусть п – число возможных исходов опыта, т. А – число исходов, благоприятствующих событию А, т. В – число исходов, благоприятствующих событию В, а т. АВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятствующих произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В, равно т. А + т. В – т. АВ (так как в сумме (т. А + т. В) число т. АВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы можно определить по классической формуле: что и требовалось доказать.
18 Следствие 1. Если события А и В несовместны, то т. АВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (5). Пример 12. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов. Решение. Событие, противоположное заданному событию, заключается в том, что из урны вынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только черным. Тогда
19
20 Теорема 2 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: Пример 15. Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды. Вероятность первого попадания равна 0, 2, затем она не меняется при промахах, но после первого попадания увеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет поражена первыми двумя выстрелами. Решение. Пусть событие А – попадание при первом выстреле, а событие В – попадание при втором. Тогда P(А) = 0, 2, PA(В) = 0, 4, P(АВ) = 0, 2·0, 4 = 0, 08.
Теорема 3 (умножения независимых событий). Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей. Пример 16. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0, 6 и 0, 7. Найти вероятности следующих событий: • А – хотя бы одно попадание при двух выстрелах; • В – ровно одно попадание при двух выстрелах; • С – два попадания; • D – ни одного попадания. 21
22 Теорема 4 (вероятность появления хотя бы одного события). Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий А 1, А 2, …, Ап равна Пример 17. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0, 9 выпал хотя бы один герб? Решение. Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности противоположного события (выпадения цифры) и равна 0, 5. Тогда вероятность выпадения хотя бы одного герба при п бросках равна 1 - (0, 5)п. Тогда из решения неравенства 1 - (0, 5)п > 0, 9 следует, что п > log 210 ≥ 4. Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и умножения – являются формулы полной вероятности и формулы Бейеса.
7. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Бейеса. Формула Бейеса позволяет пересчитать вероятность каждой из гипотез, при условии, что событие произошло. 23
24 Пример 17. Группа состоит из 6 отличников, 12 хорошо успевающих студентов и 22 студентов, успевающих посредственно. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной вероятностью, хорошист отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью, и посредственно успевающий студент отвечает на 4, 3 и 2 с равной вероятностью. Случайно выбранный студент ответил на 4. Какова вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент? Решение. Рассмотрим три гипотезы:
25
Пример 18. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в соотношении 1: 4: 5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1 -го, 2 го и 3 -го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. 1. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. 2. Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор. 26
27
28 8. Повторные независимые испытания (схема Бернулли) Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие A. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события A в каждом испытании одна и та же. Пусть Описанная последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.
29 Пример 19. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного испорченного; б) два испорченных. Решение.
9. Наивероятнейшее число появления события А. Пример 20. В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0, 8. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года? 30
Применение математических пакетов в теория вероятностей Пример. Найти вероятность того, что при случайном выборе 10 шаров из урны, содержащей 20 шаров, из которых 6 белых и 14 черных, среди выбранных окажется 4 белых и 6 черных. 31
32 Спасибо за внимание
Скачать презентацию Лекция 1 Случайные события Основные теоремы теории вероятностей
Математика Л-1.pptx