ЛЕКЦИЯ 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1

ЛЕКЦИЯ 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. ПОНЯТИЕ О СЛУЧАЙНОМ СОБЫТИИ Определение: Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, называются испытанием. Определение: Результат, исход испытания называется событием. Пример Сдача экзамена - это испытание; событие - ……. Выстрел - это испытание; событие - …… Бросание игрального кубика - это испытание, событие - …… События обозначаются А, В, С…

Определение: Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает повление другого в одном и том же испытании. Определение: События называются несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании. Пример : несовместные события: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное; совместные события: идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное.

Совместны ли события: а) на первом кубике выпало 1, а на втором – 2; б) Юра пошёл в школу, а завтра будет дождь; в) Иванов в настоящее время является президентом страны, и Петров является президентом той же страны.

Определение: два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они не совместимы и одно из них обязательно происходит. Укажите события, противоположные данным: а) на кубике выпало 1; б) Света получила на экзамене « 5» ; в) после ночи наступает утро? Событие противоположное А обозначают А

Определение: Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Пример. В урне 5 белых шаров. Событие А – вынут белый шар Событие В – вынут черный шар Определение: Событие А называется случайным, если объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

2. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ Определение: Суммой событий А и В на называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В. Пример. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу) А – попадание в мишень первым стрелком В – попадание в мишень вторым стрелком Найти С=А+В

Пример А - идет дождь, B - идет снег, (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки; А - пошли на дискотеку; B - пошли в библиотеку, (А + В) - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.

Определение: Произведением двух событий А и В на называется событие С=АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А и событие В. А – появление туза при вынимании из колоды В – появление карты бубновой масти С=АВ=?

Часто приходиться представлять события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложения и операцию умножения С – в мишени будет ровно одно попадание Д – в мишень будет не менее двух попаданий.

3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Пример. В урне содержится 6 одинаковых шаров, причем 2 из них - красные, 3 синие и 1 - белый. Какова возможность вынуть наудачу из урны цветной шар? Можно ли охарактеризовать эту возможность числом?

Это число и называется вероятностью события А (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Определение : Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом(событием) Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. Определение : События называются равновозможными, если есть основания считать, что не одно из них не является более возможным, чем другое. Пример. Появление того или иного числа очков на брошенном игральном кубике – равновозможные события.

Вероятностью P(A) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность P(A)события А определяется по формуле: m – число элементарных исходов, благоприятствующих A; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример Определить вероятность выпадения нечётного числа очков на кости. Решение. При бросании кости событие A – «выпало нечётное число очков» можно записать как подмножество {1, 3, 5} пространства исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} Рис. Пространство исходов при бросании кости Число всех равновозможных исходов n = 6, а число благоприятных событию A – m = 3. Следовательно,

Пример. В урне находится 7 шаров: 2 белых, 4 черных и 1 красный. Вынимается один шар наугад. Какова вероятность того, что вынутый шар будет чёрным?

СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ Свойство 1. Вероятность достоверного события А равна ……: Р(А) =. Свойство 2. Вероятность невозможного события А равна …… Р(А) = Свойство 3. Вероятность случайного события

Пример 1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10? Решение. Пусть событие А – номер вынутого шара не превосходит 10. Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. Ответ: 1.

Пример 3. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти? Решение. Здесь всего случаев n=36. Событие А – появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно, Ответ:

Пример 4. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах? Решение. Составим схему возможных случаев. Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1. Следовательно р=

Пример 5. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые? Решение. Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: Число случаев, когда среди этих двух шаров будут оба белые, равно Искомая вероятность будет