Лекции по начертательной геометрии Преобразование комплексного чертежа

Преобразование комплексного чертежа При решении той или иной задачи бывает целесообразно преобразовать чертеж так, чтобы заданные геометрические фигуры оказались бы в наиболее выгодном положении относительно плоскостей проекций. Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа.

Наиболее выгодное положение Положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций, при котором мы непосредственно по чертежу получаем ответ на поставленный в задаче вопрос, называется наиболее выгодным. Например, по рис. 2 можно сразу определить расстояние между параллельными прямыми а и b, а по рис. 1, этого сделать нельзя Рис. 1 Рис. 2

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ Геометрическую фигуру проецируют на новую плоскость (П 4), заменяющую одну из основных. Положение новой плоскости проекций (П 4) выбирают в зависимости от поставленной задачи (например, параллельно геометрической фигуре). Дополнительная плоскость (П 4) должна быть перпендикулярна незаменяемой плоскости проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций (П 1 или П 2).

Замена фронтальной плоскости проекций (преобразование системы П 2/П 1 в систему П 4/П 1) При переходе от старой системы П 2/П 1 к новой П 4/П 1 остаются неизменными (являются инвариантами преобразования): 1) плоскость П 1 и точка А; 2) горизонтальная проекция А 1, точки А; 3) расстояние точки А до плоскости П 1 (высота - z. A), т. е. | AA 1 | = | A 2 A 12 | = | A 4 A 14 |.

Замена фронтальной плоскости проекций Между проекциями точки А А 1 и А 2 проводим ось х12=П 1∩П 2. Для построения проекции A 4 в новой системе плоскостей проекций П 4/П 1, на комплексном чертеже проводим новую ось проекций х14, положение которой определяется положением новой фронтальной плоскости проекций П 4 (х14=П 1 ∩ П 4).

Замена фронтальной плоскости проекций Из горизонтальной проекции точки А 1 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х14.

Замена фронтальной плоскости проекций На линии связи от оси x 14 отмеряем высоту точки А (z. A). Полученная таким образом точка А 4 является проекцией точки А на плоскость П 4. В новой системе плоскостей проекций П 4/П 1 положение точки А определяется проекциями А 1 и А 4.

Замена фронтальной плоскости проекций Определить длину отрезка IABI прямой общего положения и угол α наклона его к плоскости проекций П 1 Отрезок прямой проецируется без искажения на плоскость проекций, если он ей параллелен. Поэтому вместо плоскости П 2, введем новую дополнительную плоскость П 4 параллельно отрезку [AB] и перпендикулярную плоскости П 1. Расстояние от плоскости П 4 до отрезка [AB] произвольное. Плоскости проекций П 1 и П 4 пересекаются по прямой x 14 - новой оси проекций, которая в данном случае параллельна горизонтальной проекции отрезка [A 1 B 1].

Замена фронтальной плоскости проекций Через горизонтальные проекции концов отрезка (точки А 1 и В 1) проводим линии связи, перпендикулярные к оси x 14.

Замена фронтальной плоскости проекций На этих линиях от оси x 14 откладываем отрезки, равные высотам (координатам Z) точек А и В.

Замена фронтальной плоскости проекций Фиксируем A 4 и B 4 – проекции точек A и B на новую плоскость П 4. Задача решена, так как IA 4 B 4 I=IABI. Определен угол α наклона отрезка [AB] к плоскости проекций П 1. В системе П 4/П 1 В системе отрезок [AB] является фронталью.

Замена горизонтальной плоскости проекций (преобразование системы П 2/П 1 в систему П 2/П 4) При переходе от старой системы П 2/П 1 к новой П 2/П 4 остаются неизменными (являются инвариантами преобразования: 1) плоскость П 2 и точка А; 2) фронтальная проекция А 2, точки А; 3) расстояние точки А до плоскости П 2 (глубина- y. A), т. е. | AA 2 | = | A 1 A 12 | = | A 4 A 24 |.

Замена горизонтальной плоскости проекций Между проекциями точки А А 1 и А 2 проводим ось х12=П 1∩П 2. Для построения проекции A 5 в новой системе плоскостей проекций П 2/П 5, на комплексном чертеже проводим новую ось проекций х25, положение которой определяется положением новой горизонтальной плоскости проекций П 5 (х25=П 2 ∩ П 5).

Замена горизонтальной плоскости проекций Из фронтальной проекции точки А 2 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х25.

Замена горизонтальной плоскости проекций На линии связи от оси x 25 отмеряем глубину точки А (y. A). Полученная таким образом точка А 5 является проекцией точки А на плоскость П 5. В новой системе плоскостей проекций П 2/П 5 положение точки А определяется проекциями А 2 и А 5.

Замена горизонтальной плоскости проекций Определить длину отрезка IABI прямой общего положения и угол β наклона его к плоскости проекций П 2. Вместо плоскости П 1, введем новую дополнительную плоскость П 5 параллельно отрезку [AB] и перпендикулярную плоскости П 2. Расстояние от плоскости П 5 до отрезка [AB] произвольное. Плоскости проекций П 2 и П 5 пересекаются по прямой x 25 - новой оси проекций, которая в данном случае параллельна фронтальной проекции отрезка [A 2 B 2].

Замена горизонтальной плоскости проекций Через фронтальные проекции концов отрезка (точки А 2 и В 2) проводим линии связи, перпендикулярные к оси x 25.

Замена горизонтальной плоскости проекций На этих линиях от оси x 25 откладываем отрезки, равные глубинам (координатам Y) точек А и В. Фиксируем A 5 и B 5 – проекции точек на новую плоскость П 5. Задача решена, так как IA 5 B 5 I=IABI. Определен угол β наклона отрезка [AB] к плоскости проекций П 2. В системе П 5/П 2 отрезок [AB] является горизонталью.

Преобразование линии уровня в проецирующую прямую Задача. Преобразовать линию уровня в проецирующую прямую. Заданная линия уровня является горизонталью h(h 1, h 2). Горизонталь проецируется в точку на плоскость П 4, ей перпендикулярную (П 4 h). Заменяем плоскость П 2 исходной системы П 2/П 1 плоскостью П 4 h (П 4 П 1).

Преобразование линии уровня в проецирующую прямую 1. Зафиксируем на прямой h две точки А(А 1, А 2) и В(В 1, В 2). 2. Между проекциями h 2 и h 1 заданной прямой, проведём ось x 12=П 1∩ П 2

Преобразование линии уровня в проецирующую прямую 3. Проводим новую ось проекций х14 h 1. Расстояние от А 1 до новой оси проекций х14 – произвольное. Из А 1 и В 1 проводим линии связи перпендикулярно х14.

Преобразование линии уровня в проецирующую прямую 4. Построим проекции точек А и В на плоскость П 4. Так как расстояния точек А и В до плоскости П 1 (высоты) одинаковы, то проекции их на плоскости П 4 совпадут, т. е. h 4 = А 4 = В 4. Прямая h(h 1, h 4) в новой системе плоскостей проекций является фронтально проецирующей.

Преобразование отрезка прямой общего положения в проецирующую прямую Задача. 1) Построить проекции отрезка [AB] на плоскость П 4, параллельную отрезку [AB] и перпендикулярную П 1. 2) Преобразовать полученный отрезок в проецирующий. Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале прямую следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую.

Преобразование отрезка прямой общего положения в проецирующую прямую 1. Преобразуем заданный отрезок прямой общего положения в отрезок линии уровня. Между проекциями А 2 В 2 и А 1 В 1 заданного отрезка прямой, проведём ось x 12=П 1∩ П 2. Расстояние от оси x 12 до проекций отрезка [AB] произвольное.

Преобразование отрезка прямой общего положения в линию уровня Вместо плоскости П 2, введем новую дополнительную плоскость П 4 параллельно отрезку [AB] и перпендикулярную плоскости П 1. Расстояние от плоскости П 4 до отрезка [AB] произвольное. Плоскости проекций П 1 и П 4 пересекаются по прямой x 14 новой оси проекций, которая в данном случае параллельна горизонтальной проекции [A 1 B 1]. Из А 1 и В 1 проводим линии связи перпендикулярно х14.

Преобразование отрезка прямой общего положения в отрезок линии уровня На этих линиях от оси x 14 откладываем отрезки, равные высотам (координатам Z) точек А и В. Фиксируем A 4 и B 4 – проекции точек A и B на новую плоскость П 4. В системе П 4/П 1 отрезок [AB] является отрезком линии уровня (фронталью).

Преобразование отрезка линии уровня в отрезок проецирующей прямой Отрезок [AB] линиии уровня проецируется в точку на плоскость П 5, ему перпендикулярную (П 5 [AB] ). Заменяем плоскость П 1 системы П 4/П 1 плоскостью П 5 [AB] (П 5 П 4). Расстояние от А 4 до новой оси проекций х54 – произвольное. Из А 4 и В 4 проводим линии связи перпендикулярно х45.

Преобразование отрезка линии уровня в отрезок проецирующей прямой Построим проекции точек отрезка А и В на плоскость П 5. Так как расстояния точек А и В до плоскости П 4 одинаковы, то проекции их на плоскости П 5 совпадут, т. е. А 5 = В 5 - отрезок [АВ] проецируется на П 5 в точку. Отрезок [АВ] в новой системе плоскостей проекций (П 4 /П 5) является отрезком проецирующей прямой.

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня Задача. Определить величину угла φ треугольника ABС при вершине В. Заданная плоскость Г(АВС) является горизонтально проецирующей. Заменим плоскость П 2 новой плоскостью проекций П 4, параллельной плоскости Г(АВС) и, следовательно, перпендикулярной незаменяемой плоскости П 1. В новой системе плоскостей проекций П 1/П 4 плоскость Г(АВС) станет фронтальной плоскостью уровня. Треугольник проецируется на П 4 без искажения, как и его углы.

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня Вводим новую плоскость проекций П 4 параллельную плоскости Г(АВС) и перпендикулярную незаменяемой П 1. Проведём ось x 14=П 1∩ П 4 на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции Г 1(А 1 В 1 С 1). Из горизонтальных проекций А 1, В 1, С 1 вершин треугольника проводим линии связи, перпендикулярные оси x 14.

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня На линиях связи, перпендикулярных оси x 14, откладываем высоты вершин треугольника (расстояния от отбрасываемых проекций до оси x 12. ) Получим проекции вершин параллелограмма на плоскость П 4.

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня В новой системе плоскостей проекций П 1/П 4 плоскость Г(АВС) стала фронтальной плоскостью уровня. Треугольник проецируется на П 4 без искажения, как и его угол φ.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Задача. Построить истинную фигуру параллелограмма Г(АBCD). Параллелограмм проецируется без искажения на плоскость П 5, ему параллельную (П 5 IIГ). Вначале плоскость Г необходимо преобразовать в проецирующую (Г 4), а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня (Г 5).

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость Заменим плоскость П 2 исходной системы П 2/П 1 новой плоскостью П 4, перпендикулярной плоскости Г(АВСD). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если линию уровня h(A, 1), принадлежащую плоскости Г, преобразовать в проецирующую, то плоскость Г в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость 1. Между проекциями Г 2 и Г 1 заданной плоскости Г, проведём ось x 12=П 1∩ П 2. Для простоты построений провели ось через D 2. 2. В плоскости Г построили горизонталь h(h 2, h 1) точки А(А 2, А 1).

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость Вводим новую плоскость проекций П 4 перпендикулярную h 1 и незаменяемой П 1. Проведём ось x 14=П 1∩ П 4. Для простоты построений провели ось x 14 через С 1.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость Для построения проекции Г 4 плоскости Г на новую плоскость П 4 проводим линии связи из вершин параллелограмма перпендикулярно оси X 14. На линиях связи отмеряем высоты точек В, С, А, D (z. D=0). На плоскость проекций П 4 параллелограмм проецируется в линию Г 4.

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня Вводим новую плоскость проекций П 5 параллельную плоскости Г и перпендикулярную незаменяемой П 4. Проведём ось x 45=П 4∩ П 5 прямо через проекцию Г 4. На линиях связи, перпендикулярных оси x 45, откладываем расстояния от точек А 1, B 1, C 1, D 1 до оси x 14. Получим проекции вершин параллелограмма на плоскость П 5 (А 5, B 5, C 5, D 5).

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня В новой системе плоскостей проекций П 4/П 5 плоскость Г(АВСD) станет плоскостью уровня. Так как плоскость параллелограмма Г(АВСD) параллельна плоскости П 5, то на эту плоскость параллелограмм проецируется без искажения (в натуральную величину).

Построить проекции окружности а, расположенной в плоскости Σ, с центром в точке С (С 1) и радиусом 20 мм. Заданная плоскость Σ является фронтально проецирующей. Заменим плоскость П 2 новой плоскостью проекций П 4, параллельной плоскости Σ и, следовательно, перпендикулярной незаменяемой плоскости П 1. В новой системе плоскостей проекций П 2/П 4 плоскость Σ станет горизонтальной плоскостью уровня. Окружность проецируется на П 4 без искажения.

Введение оси X 12

Введение новой оси X 24

Построение окружности на П 4

Построение опорных точек горизонтальной проекции окружности

Построение промежуточных точек горизонтальной проекции окружности

Построение горизонтальной проекции окружности Содержание