Курс лекций по сопротивлению материалов Часть 2.11 Интеграл

Курс лекций по сопротивлению материалов Часть 2.11 Интеграл перемещений Мора Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара Кафедра теоретической и прикладной механики Чернецкий Сергей Александрович Днепропетровск 2013/2014 учебный год

11 Интеграл перемещений Мора 2 Метод определения перемещений при помощи теорем Лагранжа или Кастильяно позволяет определять перемещения только точек приложения внешних сил и только в направлении действия этих сил Составим выражение потенциальной энергии П тела, находящегося под действием системы Р1, Р2,…,Рn, F. Рассмотрим равновесие некоторого тела под действием системы обобщенных сил Р1, Р2,…,Рn. Пусть необходимо определить обобщенное перемещение некоторой точки А тела в некотором направлении. Приложим в этой точке обобщенную силу F, соответствующую искомому перемещению, в заданном направлении. Дифференцируя П по обобщенной силе F, получим обобщенное перемещение точки А в направлении действия силы F. Полагая в полученном выражении перемещения F = 0, получим искомое перемещение

3 Внутренние силовые факторы в стержневой системе в силу принципа суперпозиции можно записать в виде: Мz = МzP + МzF , Мx = МxP + МxF , Мy = МyP + МyF , Qy = QyP + QyF ,… Так как в линейных системах внутренние силовые факторы пропорциональны действующим внешним усилиям, то: МzF = Мz1F , МxF = Мx1 F, МyF = Мy1 F , QyF = Qy1 F,… Таким образом, окончательно получаем: Мz = МzP + Мz1F , Мx = МxP + Мx1 F , Мy = МyP + Мy1 F , Qy = QyP + Qy1 F ,… (11.1) Как ранее получено, полная потенциальная энергия стержневой системы имеет вид: (11.2)

4 Подставим выражения (11.1) в (11.2) : (11.3) Дифференцируя (11.3) по Ф и полагая после этого Ф = 0, находим перемещение точки А в заданном направлении :

5 (11.4) Интеграл перемещений Мора

6 Способы вычисления интеграла Мора Интеграл Мора, в котором подынтегральное выражение есть произведение двух функций, может быть вычислен различными методами в зависимости от вида этих функций. Заметим, одна из них, связанная с эпюрой внутренних усилий от единичного сосредоточенного воздействия, всегда линейная. 1. Непосредственное интегрирование – практически не имеет ограничений по использованию. 2. Способ Верещагина – удобен на тех участках, на которых легко можно определить центр тяжести одной из эпюр (обычно это относится к эпюре от грузового воздействия). 3. Формула Симпсона – применима в случае квадратичного закона изменения эпюры от грузового воздействия. 4. Формула трапеций – применяется в случае линейности обоих эпюр.

7 Первый способ не требует никаких особых пояснений. Рассмотрим его на примере: F1=1 M2=1