КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Как известно, интегрирование является процессом суммирования.

  • Размер: 197.5 Кб
  • Автор: Александр Поздняков
  • Количество слайдов: 27

Описание презентации КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Как известно, интегрирование является процессом суммирования. по слайдам

  КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Как известно, интегрирование является процессом суммирования.  Однако суммирование может производится неоднократно, КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов.

  Двойные интегралы. Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f ( x , Двойные интегралы. Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f ( x , y ) = 0. Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой областью . С геометрической точки зрения — площадь фигуры, ограниченной контуром. y 0 x

  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Площадь фигуры S делим на элементарные прямоугольники, площади которых равны S i ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Площадь фигуры S делим на элементарные прямоугольники, площади которых равны S i = x i y i В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х i , y i ) и составим интегральную сумму где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области . Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i , тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S i стремится к нулю. ; ), ( 1 ni i iii. Syxf

  Определение:  Если при стремлении к нулю шага разбиения области интегральные суммы  имеют Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f ( x , y ) по области . т. е. С учетом того, что Si = xi yi получаем: ni i iii. Syxf 1 ), ( dxdyyxf. Syxf ni i iiin ), (lim 1 ni i iiii ni i iiixyyxf. Syxf 111 ), ( xyyxfdydxyxf y x ), (lim), (

  Условия существования двойного интеграла. Теорема.  Если функция f ( x ,  y Условия существования двойного интеграла. Теорема. Если функция f ( x , y ) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл существует. Теорема. Если функция f ( x , y ) ограничена в замкнутой области и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует. dyxf), (

  Свойства двойного интеграла.  1) 2) 3) Если  = 1 + 2 , Свойства двойного интеграла. 1) 2) 3) Если = 1 + 2 , то 4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f ( x , y ) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования. dydxyxfdydxyxfyxfyxf ), (), (), ( 321321 dydxyxfkdydxyxkf), ( 21 ), (), (dydxyxfdydxyxf Syxfdydxyxf ), (

  Свойства двойного интеграла.  5)  Если f ( x ,  y ) Свойства двойного интеграла. 5) Если f ( x , y ) 0 в области , то 6) Если f 1 ( x , y ) f 2 ( x , y ), то 7) 0), ( dydxyxfdydxyxf), (21 dydxyxf), (

  Вычисление двойного интеграла. Теорема.  Если функция f ( x ,  y ) Вычисление двойного интеграла. Теорема. Если функция f ( x , y ) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями х = a , x = b , ( a < b ), y = ( x ), y = ( x ), где и — непрерывные функции и , тогда )( )( ), (), ( x x b a x x dyyxfdxdxdyyxfy y = (x) y = ( x ) Двойной интеграл повторный интеграл

  Пример. Вычислить интеграл ,  если область ограничена линиями:  y = 0, Пример. Вычислить интеграл , если область ограничена линиями: y = 0, y = x 2 , x = 2. Решение: dxdyyx)(4 0 2 x 2 0542 0 4 3 02 0 2 02 0104 ) 2 ()(), ( 22 xx dx x xdx y xydyyxdxdxdyyxf xy yx 8, 02,

  Вычисление двойного интеграла Теорема. Если функция f ( x ,  y ) непрерывна Вычисление двойного интеграла Теорема. Если функция f ( x , y ) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c , y = d ( c < d ), x = ( y ), x = ( y ) ( ( y )), то )( )( ), ( y yd c dxyxfdydxdyyxf

  Пример:  Вычислить интеграл ,  если область ограничена линиями y = x , Пример: Вычислить интеграл , если область ограничена линиями y = x , x = 0, y = 1, y = 2. Решение: dxdyyx)( 22 y y = x 2 1 0 x 5 12 4 12 64 12 4 34 3)()( 2 1 4 2 1 3 2 10 2 3 0 22 2 1 22 ydyydyxyx dxyxdydxdyyx yx

  Пример. Вычислить интеграл  если область интегрирования  ограничена линиями х = 0, х Пример. Вычислить интеграл если область интегрирования ограничена линиями х = 0, х = у 2 , у = 2. Решение: dxdyyxyx)23( 2 2 00 23 0 2 2 0 22 )()23(dyyxyxxdxyxyxdy yy 21 244 467 )( 2 0 4672 0 356 yyy dyyyy dxdyyxyx )23(

  Замена переменных в двойном интеграле.  Рассмотрим двойной интеграл вида , где переменная х Замена переменных в двойном интеграле. Рассмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b , а переменная у – от у1 ( x ) до у 2 (х), т. е. Положим х = х( u , v ); y = у( u , v ), тогда )( )( 2 1 ), ( xу xу b a dyyx. Fdxdydxyx. F dydxyx. F), (

  Т. к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид  Т. к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const , dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение: du u f dx )( )( 2 12 1 )), (), , ((), ( v v V V duivuvuf. Fdvdydxyx.

  Двойной интеграл в полярных координатах.  Воспользуемся формулой замены переменных: При этом известно, что Двойной интеграл в полярных координатах. Воспользуемся формулой замены переменных: При этом известно, что В этом случае Якобиан имеет вид: dudvivuvuf. Fdxdyyx. F)), (), , ((), ( sincos yx 22 sincos cossin sincos yy xx i

  Тогда Здесь  - новая область значений , ddfdd. Fdxdyyx. F), ()sin, cos(), ( Тогда Здесь — новая область значений , ddfdd. Fdxdyyx. F), ()sin, cos(), ( ; ; 22 x y arctgyx

  Тройной интеграл.  Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование Тройной интеграл. Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве. Суммирование производится по области v , которая ограничена некоторой поверхностью (x, y, z) = 0. Здесь х 1 и х 2 – постоянные величины, у 1 и у 2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z 1 и z 2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами. zyxzyxfdxdydzzyxf v z y x r ), , (lim), , ( 0 0 0 2 1 2 1), , ( x x y y z zr dzdydxzyxfdxdydzzyxf

  Пример.  Вычислить интеграл Решение:  1 000 2 2 xxy yzdzdydxx  Пример. Вычислить интеграл Решение: 1 000 2 2 xxy yzdzdydxx 1 00 4 4 1 00 34 1 00 222 1 000 2 22 222 42 1 2 1 2 dx y xdydxyx dydxyyxxdydx z yxyzdzdydxx xx xxxyxxy. 104 1 13 1 8 1 42 1 1 0 13 1 0 12 1 0 84 xdxxdx xx

  Замена переменных в тройном интеграле.  Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей Замена переменных в тройном интеграле. Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла. Можно записать: где dudvdwiwvuwvuwvuf. F dxdydzzyx. F r )), , (), , , (( ), , ( w z v z u z w y v y u y w x v x u x i

  Геометрические и физические приложения кратных интегралов. 1) Вычисление площадей в декартовых координатах.  y Геометрические и физические приложения кратных интегралов. 1) Вычисление площадей в декартовых координатах. y y = ( x ) S y = f ( x ) a b x Площадь S , показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле: b a x xf dydx. S )( )(

  Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 = 4 x + 4; Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 = 4 x + 4; x + y – 2 = 0. Решение: построим графики заданных функций: Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у , а по оси Оу – от – 6 до 2.

  Тогда искомая площадь равна: S =3 1 21 3 8 88 4 1 612 Тогда искомая площадь равна: S =3 1 21 3 8 88 4 1 612 2 364 3 636 248 3 8 4 1 12 2 4 34 1 2 6 23 y yy 2 6 2 2 2 6 2 4 4 2 6 2 124 4 1 4 448 4 4 2 2 dyyydy yy dy y ydxdy y y

  2) Вычисление площадей в полярных координатах.  2 1 )( )( dddydxdd. Sf 2) Вычисление площадей в полярных координатах. 2 1 )( )( dddydxdd. Sf

  3) Вычисление объемов тел.  Пусть тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверху– поверхностью 3) Вычисление объемов тел. Пусть тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверху– поверхностью z = f ( x , y ), а с боков – цилиндрической поверхностью. Такое тело называется цилиндроид. z z = f ( x , y ) x 1 y 1 x 2 x y 2 y V = 2 10 lim x x y yx zdydxxyz

  Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями:  x 2 + y 2 = 1; x Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x 2 + y 2 = 1; x + y + z =3 и плоскостью ХО Y. Пределы интегрирования: по оси ОХ: по оси О Y: x 1 = -1; x 2 = 1; Решение: ; 1; 1 2 2 2 1 xyxy 1 1 ; 3)3( 2 2 x x dydxyx. V

  4) Вычисление площади кривой поверхности.  Если поверхность задана уравнением:  f ( x 4) Вычисление площади кривой поверхности. Если поверхность задана уравнением: f ( x , y , z ) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле: Если поверхность задана в неявном виде, т. е. уравнением z = ( x , y ), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле: dydx z f y f x f S 22 2 dydx y z x z S

  5) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла. Если поверхность тела описывается уравнением f 5) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла. Если поверхность тела описывается уравнением f ( x , y , z ) = 0, то объем тела может быть найден по формуле: при этом z 1 и z 2 – функции от х и у или постоянные, у 1 и у 2 – функции от х или постоянные, х 1 и х 2 – постоянные. 2 1 2 1 x x y y z z dzdydx. V