Комбинированный метод хорд и касательных а b f(а)

Комбинированный метод хорд и касательных а b f(а) xf(x) x f(b) x

Суть метода: Предположим: 1. Что функция на интервале определена и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, т. е. 2. Что на отрезке вторая производная определена и не меняет знак. Тогда приближения к корню, полученные методом хорд и методом касательных, будут на любом шаге расположены по разные стороны от корня. ba; 0)(*)(bfaf ba; )x(f

1. В качестве начальной точки для получения приближений по методу касательных выберем тот конец отрезка , для которого выполняется условие и обозначим его , второй конец отрезка обозначим . 2. Вычислим новые значения и : 3. Если , то задача решена, за приближенное значение корня можно принять величину . В противном случае переходим к пункту 2. ba; 0)x(f 00 x xx x )( )( 1 n n nn xf xf xx )()( afbf afbbfa x Exx 2 xx X ba;

а b f(а) xf(x) x f(b) x

Пример: Задана функция: Находим производную: Определяем корни: ; 7 x 4 x 2 x)x(f 23 ; 4 x 4 x 3)x(f 2 ; 3 42 3 1242 x 2, 1 . 2 x; 3 2 x 21 Составляем таблицу знаков функции : 3 2 х — 2 + Знак f ( x ) — + Уравнение имеет три действительных корня: ; 2 x; 2; 3 2 x; 3 2; x

Уменьшим промежутки, содержащие корни : х -2 -1 0 1 2 3 Знак f ( x ) — + + + — + Значит, Уточним корни: 1. . 3; 2 x; 2; 1 x; 1; 2 x 321. ; 1; 2 x 1 1 x 2 При 0)(xf 46)(; 0)1(; 0)2(xxfff

Для расчетов принимаем формулы: Полагаем, что Обозначим : )()( ))(( ; )( )( 11 nn nn n n nn xfxf xx xf xf xx 1 x; 2 x 00 )xx( )x(f h; )x(f hn nn n n 2 n n n

n x n 0 -2 1 -1 1 2 nx nnxx )x(fn n 1 h nh 2 Т. к. , вычисления прекращаем, Exx 0001, 0)(935, 111 xfx

2. при Для расчетов применяем те же формулы, полагая ; 2; 1 x 2 0)(; 0)2(; 0)1(xfff 2 x 1 2 x; 1 x 00 . 3; 2 x 3 3. при Для расчетов применяем формулы : 3 x 2 0)(; 0)3(; 0)2(xfff )()( ))(( ; )( )( 11 nn nn n n nn xfxf xx xf xf xx Полагаем, что 3; 200 xx Обозначим. )( )( ; )()( ))(( 21 n nn nn n xf xf h xfxf xxxf h

n x n 0 2 1 3 1 2 nx nnxx )x(fn )(nxf n 1 h nh 2 Exx 0001, 0)(473, 211 xfx