Классическое определение вероятности Теория вероятностей и математическая статистика

  • Размер: 512.5 Кб
  • Автор:
  • Количество слайдов: 54

Описание презентации Классическое определение вероятности Теория вероятностей и математическая статистика по слайдам

Классическое определение вероятности Теория вероятностей и математическая статистика  Классическое определение вероятности Теория вероятностей и математическая статистика

Всё в природе подлежит измерению, всё может быть сосчитано Н. И. Лобачевский  Всё в природе подлежит измерению, всё может быть сосчитано Н. И. Лобачевский

Николай Иванович Лобачевский Русский математик Один из создателей неевклидовой геометрии Ректор Казанского университета 1792 – 1856Николай Иванович Лобачевский Русский математик Один из создателей неевклидовой геометрии Ректор Казанского университета 1792 –

Детерминизм осуществление определённых условий однозначно определяет результат  Детерминизм осуществление определённых условий однозначно определяет результат

Блез Паскаль Французский математик,  механик, физик,  литератор и философ Один из создателей математическог оБлез Паскаль Французский математик, механик, физик, литератор и философ Один из создателей математическог о анализа, теории вероятностей и проективной геометрии 1623 –

Пьер Ферма Французский математик Один из создателей аналитической геометрии,  математическог о анализа,  теории вероятностейПьер Ферма Французский математик Один из создателей аналитической геометрии, математическог о анализа, теории вероятностей и теории чисел 1601 –

Христиан Гюйгенс ван Зёйлихем Нидерландский математик,  механик, физик,  астроном и изобретатель Один из создателейХристиан Гюйгенс ван Зёйлихем Нидерландский математик, механик, физик, астроном и изобретатель Один из создателей теоретической механики и теории вероятностей 1629 –

Испытание Эксперимент,  результат которого  заранее (до проведения)  предугадать нельзя Испытание = опыт =Испытание Эксперимент, результат которого заранее (до проведения) предугадать нельзя Испытание = опыт = = стохастический эксперимент

Случайное событие Явление, которое может произойти или не произойти в результате проведения испытания Пример Бросание игральнойСлучайное событие Явление, которое может произойти или не произойти в результате проведения испытания Пример Бросание игральной кости

Случайное событие Обозначаются большими латинскими буквами,  снабжёнными иногда индексами или штрихами Пример Событие А =Случайное событие Обозначаются большими латинскими буквами, снабжёнными иногда индексами или штрихами Пример Событие А = «При бросании игральной кости выпало число 3»

Элементарные события Взаимно исключают друга, и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событийЭлементарные события Взаимно исключают друга, и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий Каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А

Пример  Испытание – бросание игральной кости Элементарные события – появление любого числа от 1 доПример Испытание – бросание игральной кости Элементарные события – появление любого числа от 1 до 6 Всего 6 элементарных событий

Элементарные события Обозначаются греческой буквой (омега) возможно, с индексами Элементарное событие =  = элементарный исходЭлементарные события Обозначаются греческой буквой (омега) возможно, с индексами Элементарное событие = = элементарный исход

Пример  Испытание – бросание игральной кости 1 = «При бросании игральной кости выпало число 1»Пример Испытание – бросание игральной кости 1 = «При бросании игральной кости выпало число 1» 4 = «При бросании игральной кости выпало число 4»

Пространство элементарных событий Совокупность всех элементарных событий  данного опыта (омега)  Пространство элементарных событий Совокупность всех элементарных событий данного опыта (омега)

Пространство элементарных событий Совокупность всех элементарных событий  данного опыта (омега)  Пространство элементарных событий Совокупность всех элементарных событий данного опыта (омега)

Пример  Испытание – бросание игральной кости Пространство элементарных событий состоит из шести событий = {Пример Испытание – бросание игральной кости Пространство элементарных событий состоит из шести событий = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Благоприятные события Элементарные события,  наступление которых необходимо влечёт наступление события А Для каждого события АБлагоприятные события Элементарные события, наступление которых необходимо влечёт наступление события А Для каждого события А – свои благоприятные события!

Благоприятные события А – множество элементарных событий,  благоприятных событию А А  Отождествляем событие АБлагоприятные события А – множество элементарных событий, благоприятных событию А А Отождествляем событие А и множество А

Достоверное событие Наступает в результате любого элементарного события Достоверное событие =   Достоверное событие Наступает в результате любого элементарного события Достоверное событие =

Невозможное событие Не наступает ни при каком элементарном событии Невозможное событие =   Невозможное событие Не наступает ни при каком элементарном событии Невозможное событие =

Пример  Испытание – бросание игральной кости А = «Выпало число,  меньшее 7»  АПример Испытание – бросание игральной кости А = «Выпало число, меньшее 7» А = В = «Выпало отрицательное число» В =

Сумма событий А + В событие, которое происходит  хотя бы одно из событий А Сумма событий А + В событие, которое происходит хотя бы одно из событий А или В А + В = А В Сумма событий = = объединение событий

Свойства А + А = А А +  =   Свойства А + А = А А + =

Пример  Испытание – бросание игральной кости А = «Выпало чётное число»  А 1 =Пример Испытание – бросание игральной кости А = «Выпало чётное число» А 1 = «Выпало число 2» А 2 = «Выпало число 4» А 3 = «Выпало число 6» А = А 1 + А 2 + А

Произведение событий А×В событие, которое происходит происходят оба события А и В А×В = А Произведение событий А×В событие, которое происходит происходят оба события А и В А×В = А В Произведение событий = = пересечение событий

Свойства А × А = А А ×  = А  Свойства А × А = А А × = А

Пример  Испытание – бросание игральной кости В = «Выпало число 5»  В 1 =Пример Испытание – бросание игральной кости В = «Выпало число 5» В 1 = «Выпало нечётное число» В 2 = «Выпало число, большее 3» В = В 1×В

Несовместные события Одновременное появление в опыте невозможно А×В = Иначе – совместные события  Несовместные события Одновременное появление в опыте невозможно А×В = Иначе – совместные события

Пример  Испытание – бросание игральной кости А = «Выпало чётное число»  В = «ВыпалоПример Испытание – бросание игральной кости А = «Выпало чётное число» В = «Выпало нечётное число» А и В несовместны

Противоположное событие Происходит  не  происходит событие А А  Противоположное событие Происходит не происходит событие А А

Свойства  А× А =  А +  А = (  А) = АСвойства А× А = А + А = ( А) = А

Пример  Испытание – бросание игральной кости А = «Выпало чётное число»  В = «ВыпалоПример Испытание – бросание игральной кости А = «Выпало чётное число» В = «Выпало нечётное число» А и В противоположные

Разность событий А \ В событие, которое происходит  событие А и  не происходит событиеРазность событий А \ В событие, которое происходит событие А и не происходит событие В А = \ А А \ В = А × В

Свойства операций А+В = В + А А×В = В × А А (В + С)Свойства операций А+В = В + А А×В = В × А А (В + С) = АВ + АС А (ВС) = (АВ)С

Пример  Производится два выстрела по цели. Событие А = «При первом выстреле было попадание вПример Производится два выстрела по цели. Событие А = «При первом выстреле было попадание в цель» Событие В = «При втором выстреле было попадание в цель» Событие С = «В результате двух выстрелов цель поражена» Выразить С через А и В

Пример – решение 1  Производится два выстрела по цели. Событие А = «При первом выстрелеПример – решение 1 Производится два выстрела по цели. Событие А = «При первом выстреле было попадание в цель» Событие В = «При втором выстреле было попадание в цель» Событие С = «В результате двух выстрелов цель поражена» Выразить С через А и В

Пример – решение 1 1) первый выстрел – попадание,  второй – промах А×( В) 2)Пример – решение 1 1) первый выстрел – попадание, второй – промах А×( В) 2) первый выстрел – промах, второй – попадание А×В 3) оба выстрела – попадания А×В

Пример – решение 1 Интересующее событие наступает в результате наступления хотя бы одного из вариантов СПример – решение 1 Интересующее событие наступает в результате наступления хотя бы одного из вариантов С = А×( В) + ( А)×В + А×В

Пример – решение 2 Событие С =  «Поражения цели не было» С = ( А)Пример – решение 2 Событие С = «Поражения цели не было» С = ( А) ×( В) С = ( С) = (( А) ×( В)) или С = \ (( А) ×( В))

Относительная частота события А в серии из n  одинаковых экспериментов (А) = m(A ) /Относительная частота события А в серии из n одинаковых экспериментов (А) = m(A ) / n где m(A) – число экспериментов, в которых событие А произошло

Свойства 0  (А)  1  ( ) = 1 АВ =   (А+В)Свойства 0 (А) 1 ( ) = 1 АВ = (А+В) = (А) + (В)

Относительная частота Меняется от серии к серии Во многих случаях при увеличении числа опытов  (А)Относительная частота Меняется от серии к серии Во многих случаях при увеличении числа опытов (А) приближается к некоторому числу Это экспериментально установлено

Статистическое определение Если при увеличении числа опытов  (А ) стремится к некоторому фиксированному числу р(А)Статистическое определение Если при увеличении числа опытов (А ) стремится к некоторому фиксированному числу р(А) , то событие А стохастически устойчиво , p(А) – вероятность события А численная характеристика

Относительная частота события А в серии из n  одинаковых экспериментов (А) = m(A ) /Относительная частота события А в серии из n одинаковых экспериментов (А) = m(A ) / n, где m(A) – чисто экспериментов, в которых событие А произошло

Относительная частота события А в серии из n  одинаковых экспериментов (А) = m(A ) /Относительная частота события А в серии из n одинаковых экспериментов (А) = m(A ) / n , где m(A) – число экспериментов, в которых событие А произошло Всег о. Благоприят ные

Классическое определение Пространство элементарных событий некоторого опыта  | | = n Все элементарные события равновозможныКлассическое определение Пространство элементарных событий некоторого опыта | | = n Все элементарные события равновозможны

Классическое определение Все элементарные события равновозможны вероятность их появления одинакова p( i ) = p iКлассическое определение Все элементарные события равновозможны вероятность их появления одинакова p( i ) = p i = p = 1 /n p( ) = p i =

Классическое определение Пусть событию А благоприятствуют m элементарных событий p(А) =  p i А Классическое определение Пусть событию А благоприятствуют m элементарных событий p(А) = p i А = m× 1 /n = m /n p(А) = m /n Отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов

Пример  В урне лежит 7 жёлтых и 11  оранжевых шаров. Чему равна вероятность вытащитьПример В урне лежит 7 жёлтых и 11 оранжевых шаров. Чему равна вероятность вытащить жёлтый шар? Событие А = «Вытащили жёлтый шар» Всего исходов n = 7 + 11 = 18 Благоприятных исходов m = 7 p(А) = m/n = 7/

Пример  В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10.  Вынули одинПример В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вытянутого шара не превышает десяти?

Пример  Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одного размера.  Полученные кубикиПример Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одного размера. Полученные кубики перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу выбранный кубик будет иметь ровно две окрашенные грани?

Пример  В погребе в конце февраля стоит 8 банок с компотом и 7 с соленьями.Пример В погребе в конце февраля стоит 8 банок с компотом и 7 с соленьями. Наугад достают 6 банок. Какова вероятность того, что одна банка будет с компотом, а остальные с соленьями?

КОМБИНАТОРИКА  КОМБИНАТОРИКА