Київський національний університет i м. Т. Шевченка

  • Размер: 2.6 Mегабайта
  • Количество слайдов: 87

Описание презентации Київський національний університет i м. Т. Шевченка по слайдам

Київський національний університет i м. Т.  Шевченка Інститут високих технологій Математика для біологів та хіміківКиївський національний університет i м. Т. Шевченка Інститут високих технологій Математика для біологів та хіміків Кратні та криволінійні інтеграли

2 Задамо у замкненій області D  неперервну функцію двох змінних    . 2 Задамо у замкненій області D неперервну функцію двох змінних . D розби- вається на суб-області , площа яких відповідно . Це є Т -розбиття. довільна точка ( , )z f x y 0 1 1 , , . . . , n. D D D 0 1 1 , , . . . , n. S S S , k k k D Сума називається інтегральною сумою функції в області D з Т -розбиттям залежною від точок 1 0 ( , )n k k f S ( , )z f x y ( , ) k k ˗ найбільший розмір серед суб- комірок D k

3 Подвійним інтегралом функції     по області D  називається границя( , )z3 Подвійним інтегралом функції по області D називається границя( , )z f x y 1 0 0 lim ( , ) n k k k n k. I f S що не залежить від Т -розбиття та вибору точок і позначається як ( , ) k k (. ) DI f x y d. S В Декартовій системі координат (. ) DI f x y dxdy

4 Властивості подвійного інтеграла ( , ) ,  constant D D Cf x y dxdy4 Властивості подвійного інтеграла ( , ) , constant D D Cf x y dxdy C 1 1 ( , )n n i i D D f x y dxdy Область D розбита на дві області D 1 та D 2 1 2( , ) D D D f x y dxdy

5 Якщо для функцій    та     в області D виконується5 Якщо для функцій та в області D виконується нерівність , то 1 ( , )f x y 2 ( , )f x y 1 2 ( , ) D D f x y dxdy ( , ) j j D f x y dxdy f x y S Функція є неперервною у замкнутій області D площею S. В цій області існує точка , така що ( , )f x y( , ) j jx y

6 Обчислення подвійного інтегралу Контур Х (Y) – такий контур, що з прямими, паралельними осі OY6 Обчислення подвійного інтегралу Контур Х (Y) – такий контур, що з прямими, паралельними осі OY (OX) , має не більше двох спільних, окрім, можливо, двох крайніх прямих Якщо функція неперервна в області D, обмеженій контуром Х, то для кожного значення існує повторний інтеграл і виконується рівність ( , )f x y [ , ]x a b ( ) ( , )x b a x D f x y dy dx f x y dxdy

7  Якщо функція    неперервна в області D ,  обмеженій контуром Y7 Якщо функція неперервна в області D , обмеженій контуром Y , то для кожного значення існує повторний інтеграл і виконується рівність ( , )f x y [ , ]y c d ( ) ( , )y d c y D f x y dx dy f x y dxdy

8 Заміна змінних у подвійному інтегралі ( , ) DI f x y dxdy  (8 Заміна змінних у подвійному інтегралі ( , ) DI f x y dxdy ( , )f x y D неперервна функція ( , ) , ( , )x u v y u v кожній точці відповідає єдина точка ( , ) x y D ( , ) u v G ( , ), ( , ) D G f x y dxdy f u v J dudv Якобіан переходу: ( , )u u v v u v J u v

9 Полярна система координат cos ,  sinx y  xy 0 cos sin cosx y9 Полярна система координат cos , sinx y xy 0 cos sin cosx y J x y ( , ) ( cos , sin ) D G f x y dxdy f d d

10  Приклади Обчислити подвійний інтеграл 2 2 4 4 54 150 D x y dxdy10 Приклади Обчислити подвійний інтеграл 2 2 4 4 54 150 D x y dxdy в області D , що обмежена лініями 3 1, , . x y x Область інтегрування позначена штриховкою. Тобто: 3 ( , ) : 0 1, D x y x

11 Переходимо від подвійного інтегралу до повторного на області D  : 3 1 2 211 Переходимо від подвійного інтегралу до повторного на області D : 3 1 2 2 4 4 054 150 x D x. I x y dxdy dx x y dy 3 3 32 2 4 4 2 3 4 5 2 9 3/ 2 4 15 5/ 2 11 7 / 2 19 13/ 254 150 18 30 18 18 30 30 x x xx y dy x y x x x x x обчислюємо внутрішній інтеграл

121 11 7 / 2 19 13/ 2 0 1 1 12 9 / 2 20121 11 7 / 2 19 13/ 2 0 1 1 12 9 / 2 20 15/ 2 0 018 18 30 30 18 18 2 30 30 2 12 9 20 15 3 3 4 4 11. 2 2 I x x dx x x Виконуємо зовнішнє інтегрування і маємо

13 Потрійний інтеграл В замкнутій області V  задано неперервну функцію     .13 Потрійний інтеграл В замкнутій області V задано неперервну функцію . Розіб’ємо область V на скінчене число менших за об’ємом областей . Їх об’єми відповідно . У кожній області V k виберемо довільну точку і утворимо суму ( , , )f x y z V 0 1 1 , , . . . , n. V V V ( , , ) k k V 1 0 ( , , )n k k k f V Потрійним інтегралом функції по області V є границя( , , )f x y z 1 0 0 lim ( , , ) n k k n k. I f V ( , , ) VI f x y z dxdydz

14 Властивості потрійного інтеграла  ( , , ) ,  V V Cf x y14 Властивості потрійного інтеграла ( , , ) , V V Cf x y z dxdydz C const 1 1 ( , , ) n n i i V V f x y z dxdydz Якщо область V розбита поверхнями скінченої площі на дві області V 1 та V 2 , що не перетинаються, то 1 2( , , ) + ( , , ) V V V f x y z dxdydz

15 Якщо     і    , тоді ( , , )15 Якщо і , тоді ( , , ) , ( , , ) f x y z V ( , , ) f x y z ( , , ) V V f x y z dxdydz Якщо функція є неперервною у замкненій області V , то в цій області існує точка , така що ( , , )f x y z ( , , ) s s sx y z ( , , ) s s s V f x y z dxdydz f x y z V

16 Обчислення потрійного інтегралу Якщо функція    задана і неперервна в області  16 Обчислення потрійного інтегралу Якщо функція задана і неперервна в області . Нехай область V обмежена знизу поверхнею , зверху – поверхнею , а з боків — циліндрічною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ. Нехай D – проекція області V на площину XOY. Припустимо додатково, що для будь- якої точки області D , що обмежена кривими та для . Тоді потрійний інтеграл: ( , , )f x y z 3 V R 1 ( , )z f x y 2 ( , )z f x y 1 2 ( , )f x y ( , ) x y 1 ( )y y x 2 ( )y y x , x a b 2 2 1 1 ( ) ( , )( , , ) y x f x y b V a y x f x y z dxdydz dx dy f x y z dz

17 Дано загальні формули переходу до криволінійних координат ( , , ), ( , , ).17 Дано загальні формули переходу до криволінійних координат ( , , ), ( , , ). x u t w y u t w z u t w Функції неперервні і мають неперервні похідні в області . Між точками областей і V ц і формули встановлюють взаємно однозначну відпо- відність. Тоді ( , , ), ( , , ) u t w ( , , ), ( , , ) V f x y z dxdydz f u t w J dudtdw Тут J – якобіан переходу від простору V до простору u u u J t t t w w w

18 Циліндрична система координат cos ,  sin ,  x y z z  cos18 Циліндрична система координат cos , sin , x y z z cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 x y z J x y z z ( , , ) cos , sin , V f x y z dxdydz f z d d dz

19 сферична система координат cos sin ,  cosx r y r z r  19 сферична система координат cos sin , cosx r y r z r 2 sin cos sin sin cos 0 cos cos sin sinx y z r r r x y z J r r r x y z r 2( , , ) cos sin , cos sin V f x y z dxdydz f r r d d dr

20  Приклади Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями 2 2 36 , / 3, 0 z20 Приклади Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями 2 2 36 , / 3, 0 z x y z Зобразимо область Т, що зайнята тілом, помітивши, що обмежуючі поверхні 2 2 1 : 6 , z 0 V x y z Півсфера з центром в точці 0 і радіусом R = 6 2 2 : , 0 3 x y V z z Півконус з центром в точці

21 Перетином областей V 1  та V 2  знайдемо як розв’язок системи 2 221 Перетином областей V 1 та V 2 знайдемо як розв’язок системи 2 2 2 2 6 , 3 , 0. x y z z 2 2 4 6 2 6, 3 z z z ці області перетинаються по колу в площині 2 2 2 3 3 x y 3 z З огляду на симетрію обмежуючих поверхонь, доцільно використовувати сферичну систему координат: cos sin , cosx r y r z r маємо 2 2 2 2 sin , x y r x y z r 1 2 2 2 : 6; : sin 3 cos tg 3 / 3 V r r

22 Визначаємо області зміни координат:  0 6;  0 2 ;  0 / 3.22 Визначаємо області зміни координат: 0 6; 0 2 ; 0 / 3. r Обчислюємо об’єм тіла 6 6 2 / 3 2 3 0 0 0 1 sin ( cos ) 3 72 2 1 1 / 2 72 . V r dr d d r

23 Фізичний смисл потрійного інтегралу Нехай    - розподіл об’ємної густини деякого тіла, об’ємом23 Фізичний смисл потрійного інтегралу Нехай — розподіл об’ємної густини деякого тіла, об’ємом V. Тоді його маса буде визначатись інтегралом ( , , ) x y z ( , , ) Vm x y z dxdydz Збудження атомів у молекулярному кристалі призводить до появи дипольного моменту. Це збудження, рухаючись всередині об’єкту призводить до виникнення локальних струмів, що індукують поле в довільній точці. Це локальне електричне поле може бути знайденим з обчислення потрійного інтегралу по об’єму об’єкту (частинки)

24 незбуджений атом Збудженгий атом ( , ) kj t r 2 0( ) ( ,24 незбуджений атом Збудженгий атом ( , ) kj t r 2 0( ) ( , ) ( ) i ik k VE k G j d r r r Електродинамічна функція Гріна (фотонний пропагатор) середовища, куди поміщено частинку об’ємом V

25 Додатково про властивості потрійного інтегралу Нехай функція     визначена в області об’ємом25 Додатково про властивості потрійного інтегралу Нехай функція визначена в області об’ємом V така, що( , , )f x y z ( ; ; ) inf ( , , ) x y zm f x y z нижня межа значень функції на множині її області визначення верхня межа значень функції на множині її області визначення ( ; ; ) sup ( , , ) x y z. M f x y z ( , , )m V f x y z dxdydz M V

26 Криволінійні інтеграли A B просторово гладка або кусково гладка крива 3 L R В кожній26 Криволінійні інтеграли A B просторово гладка або кусково гладка крива 3 L R В кожній точці визначена неперервна функція . Крива розбита на n частин точками A i . Нехай l i довжина дуги A i -1 A i . — точка на кожній і -й дузі( , , )M x y z L ( , , ) ( )f x y z f M A 0 A 1 A n -1 A i- 1 A i ( , , ) i i. M 1 ( )n n i i i. I f M l Інтегральна сума для функції по дузі AB . Нехай max , 1, il i n ( , , )f x y z

270 1 1 lim ( ) n n i i. I f M l  270 1 1 lim ( ) n n i i. I f M l Якщо існує границя інтегральної суми, що не залежить від способу розбиття дуги АВ та від вибору на ній точок, то ця границя є к риволінійним інтегралом першого роду від функції по дузі АВ : ( , , )f x y z ( , , ) L ABI f x y z dl Оск і льки у формулах, що визначають криволінійні інтеграли довжина дуги , то 0 il 3 : ( , , ) 2 : ( , ) AB BAD f x y z dl D f x y dl

28 Властивості криволінійних інтегралів 1 -го роду 1.       , 28 Властивості криволінійних інтегралів 1 -го роду 1. , l – довжина дуги АВ 1 AB AB dl dl l 2. Криволінійний інтеграл 1 -го роду не залежить від напрямку шляху інтегрування ( , ) AB BA f x y dl 3. Якщо для з функцій та існує криволінійний інтеграл 1 -го роду вздовж кривої АВ, то для ( , )f x y ( , )F x y af x y b x y ( , ) AB AB AB F x y dl a f x y dl b x y dl

294. Адитивність. Якщо дуга АВ складається з двох дуг АС та СВ А С В (294. Адитивність. Якщо дуга АВ складається з двох дуг АС та СВ А С В ( , ) AB AC CB f x y dl 5. Збереження знаку. Якщо на кривій АВ , то( , ) 0 f x y ( , ) 0 AB f x y dl 6. Оцінка модуля інтеграла. Якщо функція — інтегрована на кривій АВ , то функція також є інтегрованою на АВ , і справедлива нерівність ( , )f x y ( , ) AB AB f x y dl

30

31 Обчислення криволінійного інтеграла першого роду     Інтеграл по тривимірній кривій а) якщо31 Обчислення криволінійного інтеграла першого роду Інтеграл по тривимірній кривій а) якщо крива задана параметрично 3 AB R 1 2( ), ( ), . x x t y y t z z t t то 2 1 2 2 2 ( , , ) ( ), ( ) ( ) t AB t f x y z dl f x t y t z t dt

32    Інтеграл по плоскій кривій а) якщо крива     задана32 Інтеграл по плоскій кривій а) якщо крива задана параметрично 2 AB R 1 2( ), ( ), . x x t y y t t то 2 1 2 2 ( , ) ( ), ( ) ( ) t AB t f x y dl f x t y t dt б) якщо крива задана рівнянням або то 2 AB R ( ), , y y x a x b ( ), , x x y c y d 2 ( , ) , ( ) 1 ( ) b AB a f x y dl f x y x dx 2 ( , ) ( ), 1 ( ) d AB c f x y dl f x y y x y dy xy dx dydl 2 2 2 dl dx dy x dt y dt

33 в)  Крива   задана у полярній системі координат:   то  233 в) Крива задана у полярній системі координат: то 2 AB R ( ) , , 2 2 ( , ) ( ) cos , ( ) sin ( ) AB f x y dl f d

A i -1 34 Криволінійні інтеграли другого роду Задано гладку або кусково гладку криву  A i -1 34 Криволінійні інтеграли другого роду Задано гладку або кусково гладку криву , яка обмежена точками А і В. В кожній точці задана вектор-функція , де функції — неперервні на кривій L. ( , , )F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k r r 3 L R ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z A B A 1 A n -1 A i Кожній дузі поставимо у відповідність вектор довжиною . Нехай 1 i i. A A 1 , , i i i. A A S x y z uuuuur i i. S l uuur max , 1, il i n i S uuur( , , ) i i. M 1 1 ( ) ( )n n n i i i i i. I F M S P M x Q M y R M z uuur r Інтегральна сума вектор-функції вздовж кривої L від точки А до точки В( , , )F x y z r

35  Якщо існує границя інтегральної суми Яка не залежить від способу розбиття дуги  АВ35 Якщо існує границя інтегральної суми Яка не залежить від способу розбиття дуги АВ та від вибору точок М і , то така границя називається криволінійним інтегралом другого роду від вектор-функції по дузі АВ. 0 1 lim ( ) n i i i F M S uuur r ( , , )F x y z r 1( , , ) lim ( ) ( )AB AB n i i i n i. F x y z dl P x y z dx Q x y z dy R x y z dz P M x Q M y R M z r r

36 Для криволінійного інтегралу другого роду має місце рівність AB BA Pdx Qdy Rdz  36 Для криволінійного інтегралу другого роду має місце рівність AB BA Pdx Qdy Rdz криволінійний інтеграл другого роду на площині 1( , ) lim ( ) AB AB n i i n i. F x y dl P x y dx Q x y dy P M x Q M y r r

37 Обчислення криволінійних інтегралів другого роду а) крива     задана параметрично 3 AB37 Обчислення криволінійних інтегралів другого роду а) крива задана параметрично 3 AB R ( ), x x t y y t z z t А : t = t AB : t = t B початкова точка кінцева точка кривої ( , , ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( )B AAB t t. P x y z dx Q x y z dy R x y z dz P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t dt

38 б) крива     задана на площині параметрично 2 AB R ( ),38 б) крива задана на площині параметрично 2 AB R ( ), x x t y y t ( , ) ( ( ), ( )) ( ) B At AB t P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t dt в) крива задана на площині рівнянням , початковій точці кривій відповідає , а кінцевій точці . Тоді 2 AB R ( )y y x Ax x Bx x ( , ) ( , ( )) ( ) B Ax AB x P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x dx крива задана на площині рівнянням , початковій точці кривій відповідає , а кінцевій точці . Тоді 2 AB R ( )x x y Ay y By y ( , ) ( ( ), ) B Ay AB y P x y dx Q x y dy P x y y x y Q x y y dy

39 Приклади Обчислити інтеграл      від точки А(0; 0) до точки В(1;39 Приклади Обчислити інтеграл від точки А(0; 0) до точки В(1; 1) вздовж: (а) – прямої (б) – параболи ( , ) ABI x y dl r r y x 2 y x І. ІІ. ( , ) x yx y ye xe r r r 2 ( , ) 2 x yx y y e yxe r r r

40 Розв’язок І (а):  для прямої      , звідси маємо ,40 Розв’язок І (а): для прямої , звідси маємо , y x dy dx 1 0 0 AB xdy ydx x x dx І(б): для параболи , звідси 2 , 2 y x dy xdx 1 1 2 2 2 0 0 1 2 3 AB xdy ydx x x dx

41ІІ (а):  для прямої      , звідси маємо , y x41ІІ (а): для прямої , звідси маємо , y x dy dx 1 1 2 2 0 02 2 3 1 AB y dx yxdy x x dx ІІ(б): для параболи , звідси 2 , 2 y x dy xdx 1 1 2 4 3 4 0 02 2 2 5 1 AB y dx xydy x x x dx

42 Зв’язок між криволінійними інтегралами першого та другого роду Нехай  α  та  β42 Зв’язок між криволінійними інтегралами першого та другого роду Нехай α та β – кути, які утворює з осями координат дотична до кривої АВ у точці М ( х ; у ). Напрям дотичної відповідає напряму руху точки М від початку кривої (А) до її кінця (В). Згадуємо геометричний смисл ди- ференціала функції та диференціала дуги кривої: cos , cosdx dl dy dl ( , ) cos AB AB P x y dx Q x y dy P x y Q x y dl криволінійний інтеграл другого роду криволінійний інтеграл першого роду

43 Фізичний смисл криволінійного інтегралу Робота сили, що діє на матеріальну точку, яка рухається вздовж визначеної43 Фізичний смисл криволінійного інтегралу Робота сили, що діє на матеріальну точку, яка рухається вздовж визначеної траекторії А В Робота сили F при переміщенні матеріальної точки на величину dl d. A F dl r r ABA F dl r r Визначимо проекції векторів та : тоді ( )F r r r( )F r rr dl r ( ) ( , , ) x y z. F r P x y z e Q x y z e R x y z e r r r x y zdl dxe dye dze r r ( , , ) ABA P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

44 Приклад.  Робота сили притяжіння коли матеріальна точка маси m рухається у полі  44 Приклад. Робота сили притяжіння коли матеріальна точка маси m рухається у полі гравітаційного центру M F r M m 2 rm. M F e r r r 2 2 2( ) ( ) g AB AB m. M x m. M y m. M z A Fdl dx dy dz r r r 1 r 2 r 3 3 1 g AB AB AB xdx ydy zdz rdr A m. M d r r r 2 11 1 1 g ABA m. M d m. M r r r залежить тільки від початкової та кінцевої точок траекторії, а не від її вигляду А В

45 Криволінійні інтеграли другого роду по замкненій кривій однозв’язна область двозв’язна область тризв’язна область додатно-орієнтований контур45 Криволінійні інтеграли другого роду по замкненій кривій однозв’язна область двозв’язна область тризв’язна область додатно-орієнтований контур від’ємно-орієнтований контур

46 Криволінійні інтеграли другого роду по замкненій криволінійний інтеграл по замкненому додатно орієнтованому контуру L :46 Криволінійні інтеграли другого роду по замкненій криволінійний інтеграл по замкненому додатно орієнтованому контуру L : ( , ) LI P x y dx Q x y dy Ñ Область G R 3 називається поверхнево — однозв ’ язною або однозв ’ язною, якщо на будь-який замкнений контур L G можна натягнути поверхню, що цілком лежить в області G . Відповідно криволінійний інтеграл по замкненому додатно орієнто- ваному контуру L R 3 ( , , ) LI P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Ñ

47 Теорема:  Якщо функції   і   та їх частині похідні першого порядку47 Теорема: Якщо функції і та їх частині похідні першого порядку неперервні в замкнутій однозв’язній області D R 2 , що обмежена кусково-гладкою додатно орієнтованою кривою L , то має місце формула Гріна ( , )P x y ( , )Q x y ( , ) L D Q x y P x y dx Q x y dy dxdy x y Ñ D L

48 Покажемо, що це схоже на правду: область D Нехай область D є правильною в напрямку48 Покажемо, що це схоже на правду: область D Нехай область D є правильною в напрямку осі OY 1 2: , ( )D a x b x y x Покажемо що ( , ) D P x y dxdy P x y dx y Ñ 2 2 1 1 ( ) ( ) ( , )x b b x x D a x a P P I dxdy dx dy P x y dx y y xy A B C E 1 ( )y x 2 ( )y x a b

492 1( , ( ) ( , )b a AEB ACBI P x x dx P492 1( , ( ) ( , )b a AEB ACBI P x x dx P x y dx Змінюємо напрямок інтегрування ( , ) BEA ACBI P x y dx ( , )I P x y dx Ñ

D 2 D 1 D 3 D 4 D 5 D 6 xy 0 y 1D 2 D 1 D 3 D 4 D 5 D 6 xy 0 y 1 y 2 50 Покажемо тепер, що ( , ) D Q x y dxdy Q x y dy x Ñ Для цього область D розіб’ємо на області D 1 – D 6 , що є правильними в напрямі осі OY Оскільки криволінійні інтеграли по допоміжних (внутрішніх) прямих беруться двічі в протилежних напрямах, то лишаються тільки дільниці по зовнішній кривій 1 ( ) y 2 1 1 1 ( )( , )y y y x y y D y x y Q Q I dxdy dy dx Q x y dy x x А А 1 ε 1 А

512 1 1 1 ( ( ), ) ( , )y y y A AI Q512 1 1 1 ( ( ), ) ( , )y y y A AI Q y y Q x y dy Змінюємо напрямок інтегрування 1 11 ( , ) y A AI Q x y dy І так далі: 1 1 1 6 1( , ) ( , ). . . ( , ) ii D D A A Q x y dxdy Q x y dy x x Q x y dy Ñ Ñ

52 М и бачили, що існують ситуації, коли величина криволінійного інтегралу другого роду не залежить від52 М и бачили, що існують ситуації, коли величина криволінійного інтегралу другого роду не залежить від форми шляху інтегрування. Для таких випадків справедливою є така теорема: Теорема : Якщо функції і та їх частинні похідні є неперервними в замкненій однозв’язній області D , то мають місце такі рівносильні( , )P x y ( , )Q x y ( , )P x y y ( , )Q x y x твердження: 1. Інтеграл не залежить від форми шляху, що з’єднує точки А і В , 2. , де L – будь-який контур, що лежить в області D ( , ) 0 L P x y dx Q x y dy Ñ ( , ) ABI P x y dx Q x y dy AB D 3. В усіх точках області D виконується рівність Q P x y

534. Підінтегральний вираз    є  повним  диференціалом  деякої  функції 534. Підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції , визначеної в області D. ( , )P x y dx Q x y dy ( , )u x y Доведемо цю теорему Ідея доведення : якщо теорема виконується, то з кожного пункту її твердження слідує інший пункт Треба вивести з одного твердження інше, наприклад, за схемою: 1. 2. 3. 4. 1.

54  Рис. 51  Згідно з умовою N М T KПокажемо, що з пункту 1.54 Рис. 51 Згідно з умовою N М T KПокажемо, що з пункту 1. випливає пункт 2. Нехай в однозв’язаній області D виконуються умови теореми і умова 1. Нехай точки M та N сполучаються лініями MTN та MKN , які утворюють замкнений контур L . Умова 1. теореми дає 0 MKN MTN Pdx Qdy 0 MKN NTM Pdx Qdy Сума кривих MKN та NTM дають замкнений контур L 0 L Pdx Qdy Ñ Пункт 2. виконується !

Покажемо як з пункту 2. випливає пункт 3. Застосуємо до рівняння     Покажемо як з пункту 2. випливає пункт 3. Застосуємо до рівняння теорему Гріна 550 L Pdx Qdy Ñ 0 L D Q P Pdx Qdy x y Ñ Оскільки контур L – довільний, то для виконання цього рівняння необхідно 0 Q P x y Пункт 3. виконується !

56 Доведемо тепер, що з твердження 3. випливає пункт 4.  Для заданих у теоремі функцій56 Доведемо тепер, що з твердження 3. випливає пункт 4. Для заданих у теоремі функцій і знайдемо функцію , яка задовольняє рівностям та з урахуванням твердження 3. ( , )P x y ( , )Q x y ( , )u x y u P x u Q y Q P x y 2 2 , Q u P u x x y y y x Оскільки , то Q P x y 2 2 u u x y y x це відповідає теоремі про рівність мішаних похідних для неперервно диференційовної в області D функції . Оскільки , то ( , )u x y u u du dx dy x y du Pdx Qdy виконується твердження 4. !

57 Доведемо тепер, що з пункту 4. випливає пункт 1.  Якщо    57 Доведемо тепер, що з пункту 4. випливає пункт 1. Якщо , а M і N початкова і кінцева точки довільної кривої l ( l D ) , то du Pdx Qdy ( )N M MN MN Pdx Qdy du u u N u M Останній вираз не залежить від форми кривої l , а тільки від точок M і N на ній, тобто умова 1. виконується. Зокрема, якщо крива замкнена, то цей інтеграл дорівнює н y лю.

58 Звідси випливає, що 0 0( , ) x yu x y Pdx Qdy  де58 Звідси випливає, що 0 0( , ) x yu x y Pdx Qdy де точки , D – область визначення функції та , і криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування, а тільки від початкової та кінцевої точок цього шляху 0 0 0 ( , ), ( , ) M x y D ( , )P x y ( , )Q x y 0 0 0( , ) y x x yu x y P x y dx Q x y dy C контур вибирається у вигляді ломаної з відріз- ків прямих паралельних осям координат

59 Приклади Користуючись формулою Гріна, обчислити інтеграл по контуру L ,  що є колом 59 Приклади Користуючись формулою Гріна, обчислити інтеграл по контуру L , що є колом 5 8 ( 2 ) (3 ) L x y dx x y dy Ñ 2 2 2 x y r Розв’язання. Функції та і їх похідні є неперервними в замкненому колі 5 ( , ) 2 P x y 8 ( , ) 3 Q x y 2, 3 P Q y x 2 2 2 x y r виконуються умови теореми Гріна. Звідси 5 8 2 ( 2 ) (3 ) 3 ( 2) 5 5 5 L D D x y dx x y dy dxdy S r Ñ

60 Площа плоскої області  D ,  що обмежена кривою L ,  обчислюється так:60 Площа плоскої області D , що обмежена кривою L , обчислюється так: ( ) LS y x dx Ñ ( ) LS x y dy Ñ Поклавши а , отримаємо з формули Гріна 0 P Q x D L dxdy S xdy ÑD L Поклавши а , отримаємо з формули Гріна P y 0 Q D L dxdy S ydx Ñ 1 2 LS xdy ydx Ñ

61 Приклад:  Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом: cos  0 2 sinx a y b61 Приклад: Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом: cos 0 2 sinx a y b xy ab Розв’язок: Приймаючи до уваги симетрію фігури, знайдемо площу її чверті / 2 1/ 4 0 / 2 / 2 2 2 0 0 0 1 1 cos sin 2 2 2 4 LS a xdy ydx a b b a d ab ab d d Ñ S ab

62 Приклад:  Обчислити площу фігури, обмеженої петлею декартового листа : Запишемо дане рівняння у параметричному62 Приклад: Обчислити площу фігури, обмеженої петлею декартового листа : Запишемо дане рівняння у параметричному вигляді, покладаючи 2 3 33 3 , 1 1 at at x y t t Геометрично параметр – кутовий коефіцієнт полярного радіуса M . Точка М опише всю петлю кривої при зміні t від 0 до . /t y x 2 2 3 2 01 9 2 2 (1 ) L a t dt S xdy ydx t Ñ

632 2 2 3 2 3 3 2 0 0 2 2 39 3 (1 )632 2 2 3 2 3 3 2 0 0 2 2 39 3 (1 ) 3 lim (1 ) 2 3 1 3 lim 2 1 2 a t dt a d t a S t d t t t a a t

64 Поверхневі інтеграли першого роду Визначення.  Поверхня називається гладкою, якщо в кожній точці існує дотична64 Поверхневі інтеграли першого роду Визначення. Поверхня називається гладкою, якщо в кожній точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змі- нюється неперервно. Поверхня, яка складається із скінченного числа неперервно сполучених гладких поверхонь, називається кусково-гладкою.

65 суб-поверхня  і , на якій вибрано точку  –  кусково-гладка поверхня на якій65 суб-поверхня і , на якій вибрано точку – кусково-гладка поверхня на якій визначена неперервна функція . Поверхня розбита на n частинних суб- поверхонь і без спільних внутрішніх точок. Площа кожної такої суб-поверхні ( , , )f x y z i ( , , ) i i. M 1 ( )n n i i i. I f M Інтегральна сума для функції по поверхні ( , , )f x y z

66 Якщо  існує границя       (  – найбільший розмір66 Якщо існує границя ( – найбільший розмір суб- поверхні), яка не залежить від способу розбиття поверхні та вибору точок М і , то ця границя називається поверхневим інтегралом першого роду від функції по поверхні 0 1 lim ( ) n i i i f M ( , , )f x y z 0 1 1( , , ) lim ( ) n n i if x y z d f M

67 Властивості поверхневого інтегралу І-го роду 1. Якщо S – площа поверхні  , то d67 Властивості поверхневого інтегралу І-го роду 1. Якщо S – площа поверхні , то d S 2. Якщо для з функцій існує поверхневий інтеграл І-го роду, то для функції також існує поверхневий інтеграл І-го роду ( , , )f x y z ( , , )g x y z ( , , ), ( , const)f x y z g x y z ( , , )f x y z g x y z d f x y z d g x y z d 3. Якщо поверхня складається з частин 1 та 2 ( ), а перетин поверхонь 1 та 2 складається лише з межі, що їх відокремлює, то 1 2( , , )f x y z d

684. Якщо на поверхні  функція     ,  то 5. Для інтегрованої684. Якщо на поверхні функція , то 5. Для інтегрованої по поверхні функції справедлива нерівність ( , , )f x y z 6. Якщо функція неперервна на поверхні , то на цій поверхні існує точка така, що де S – площа поверхні ( , , ) 0 f x y z d ( , , ) |f x y z d ( , , )f x y z ( , , ) x y z ( , , )f x y z d S f x y z

69 Поверхня  задана рівнянням    і будь-яка пряма, паралельна вісі OZ , перетинає69 Поверхня задана рівнянням і будь-яка пряма, паралельна вісі OZ , перетинає поверхню лише в одній точці однозначно проектується на площину XOY. неперервна із своїми похідни — ми першого порядку в області D xy ( , )z z x y ( , )z x y D xy 2 2 ( , , ) ( , , ( , )) 1 ( , ) xy x y Df x y z d f x y z x y dxdy Якщо

70 Якщо поверхня  задана рівнянням     і її проекція на вісь XOZ70 Якщо поверхня задана рівнянням і її проекція на вісь XOZ є D xz( , )y y x z 2 2 ( , , ) ( , ), ) 1 ( , ) xz x z Df x y z d f x y x z z y x z dxdz Якщо поверхня задана рівнянням і її проекція на вісь YOZ є D yz( , )x x y z 2 2 ( , , ) ( ( , ), , ) 1 ( , ) yz y z Df x y z d f x y z dydz

71 Приклад :  Обчислити поверхневий інтеграл першого роду 4 2 3 I z x y71 Приклад : Обчислити поверхневий інтеграл першого роду 4 2 3 I z x y d — частина площини де 6 4 3 12 x y z 0, 0, 0 x y z Розв’язок. Побудуємо площину, записавши її рівняння у відрізках на осях 1 2 3 4 x y z

72 знаходимо диференціал площі поверхні 2 2 61 1 1 4 16 / 9 3 x72 знаходимо диференціал площі поверхні 2 2 61 1 1 4 16 / 9 3 x yd z z dxdy 4 4 2 3 z x y 4 4 4 61 2 4 2 2 3 3 3 D DI z x y dxdy проекцією поверхні на площину XOY є область 3 0 2, 0 3 2 D x y x 3 3 2 2 2 0 04 61 1 4 61 3 1 4 61 2 1 4 61 3 2 2 2 x x x I dx dy dx

73 Обчислення поверхневого інтеграла першого роду для неявно заданих поверхонь Нехай поверхня  задана неявно рівнянням73 Обчислення поверхневого інтеграла першого роду для неявно заданих поверхонь Нехай поверхня задана неявно рівнянням і . В цьому випадку рівність визначає єдину неявну функцію і . Тоді ( , , ) 0 F x y z 0 ( ; ; ) z. F x y z ( , , ) 0 F x y z ( , )z z x y , y x x y z y F F z z F F 2 2 21 ( , , ) x y z z Df x y z d f x y z F F F dxdy F вираз є диференціалом площі поверхні, заданої неявно 2 2 21 x y z zd F F F dxdy F (*) Під час обчислення інтеграла у правій частині рівності (*) необхідно виразити z з рівняння поверхні . ( , , ) 0 F x y z

74 Приклад. Знайти площу частини поверхні конуса    , вирізаної    74 Приклад. Знайти площу частини поверхні конуса , вирізаної поверхнею циліндра 2 2 2 , 0 z x y z 2 2 2 , 0 x y ax a Розв’язок: Поверхня задана неявно рівнянням . Її проекція D на площину XOY є круг 2 2 2 ( , , ) 0 F x y z 2 2 2 ( )x y ax x a y a Для обчислення площі поверхні, заданої неявно, скориста- ємось властивістю (1) та формулою (*) при . Обчислення проводимо враховуючи, що для конуса ( , , ) 1 f x y z 2 2 0 z x y 2 , 2 ; x y z. F x F y F z 2 2 2 4 4 4 2 x y z d dxdy z z

75 оскільки     , то 2 2 2 ( ) 2 D D75 оскільки , то 2 2 2 ( ) 2 D D x y S d dxdy x y 2 2 z x y Подвійний інтеграл є площею круга радіусом а , і тому дорівнює a 2 D dxdy 2 2 S a

76 Двостороння гладка поверхня  обхід по будь-якому замкненому контуру,  що ле- жить на поверхні76 Двостороння гладка поверхня обхід по будь-якому замкненому контуру, що ле- жить на поверхні і не має загальних точок з її межею, не змінює напрямку нормалі до поверхні На поверхні існує замкнений контур при обході по якому напрямок нор- малі змінюється на протилежний. Це одностороння поверхня

77 Поверхневий інтеграл другого роду n r Задано кусково-гладку орієнтовану поверхню, сторо- на якої задається нормаллю77 Поверхневий інтеграл другого роду n r Задано кусково-гладку орієнтовану поверхню, сторо- на якої задається нормаллю де – напрямні косинуси вектора cos cosn i j k r r cos , cos , 1 n n r r На поверхні задано вектор-функцію ( , , )F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k r r – неперервні функції( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z

78 Складемо інтегральну суму від вектор-функцій    по стороні поверхні  , що визначена78 Складемо інтегральну суму від вектор-функцій по стороні поверхні , що визначена вектором нормалі ( , , )F x y z r n r 1 1 ( ) ( ) cosn n n i i i. I F M n M P M Q M R M r r Якщо існує границя , що не залежить від способу розбиття поверхні та від вибору точок M i , то така границя називається поверхневим інтегралом другого роду від вектор-функції по стороні поверхні визначеної вктором нормалі 0 lim n. I ( , , )F x y z r n r 0 1 lim ( ) cos cos lim ( ) cos n i i i. F n d F M n M P Q R d P M Q M R M r r

79 Обчислення поверхневого інтегралу базується на ідеї, що якщо поверхня  однозначно проектується на площини XOY,79 Обчислення поверхневого інтегралу базується на ідеї, що якщо поверхня однозначно проектується на площини XOY, YOZ, XOZ то відповідні проекції будуть такими , , cos cos i i i i i x y y z x z

801. Проектування на всі три координатні площини Якщо поверхня  однозначно проектується на всі три координатні801. Проектування на всі три координатні площини Якщо поверхня однозначно проектується на всі три координатні площин. Тоді рівняння поверхні однозначно розв’язується відносно кожного з аргументів x, y, z Якщо ці проекції є , то ( , , ) 0 x y z ( , ), ( , ). x x y z y y x z z z x y , , xy xz yz. D D D cos cos ( , ), , , ( , ), , , ( , ) yz xz xy D D DP Q R d P x y z dydz Q x y x z z dxdz Q x y z x y dxdy Знак перед кожним з доданків вибирається таким як знаки у , відповідно cos , cos

812. Проектування на одну із координатних площин Якщо незамкнена поверхня  однозначно проектується на площину XOY812. Проектування на одну із координатних площин Якщо незамкнена поверхня однозначно проектується на площину XOY в об- ласть , а рівняння поверхні можна задати як . Звідси маємо . Поверхневий інтеграл другого роду перетворюємо у подвійний інтеграл в області : xy. D ( , )z z x y cos i i i x y xy. D ( , )cos xy. D z z x y. F n d dxdy r r

82 Якщо поверхня  однозначно проектується на площини XOY  або YOZ , то поверх- невий82 Якщо поверхня однозначно проектується на площини XOY або YOZ , то поверх- невий інтеграл другого роду перетворюється на подвійний за формулами ( , )cos xz. D y y x z. F n d dxdz r r ( , )cos xy. D x x y z. F n d dydz r r

83 Формула Остроградського-Гаусса Якщо поверхня  замкнена, а функції     неперервні разом із83 Формула Остроградського-Гаусса Якщо поверхня замкнена, а функції неперервні разом із своїми частинними похідними першого порядку в області G , обмеженою цією поверхнею, то ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z ( , , ) GP x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy P Q R dxdydz x y z

84 Формула Остроградського-Гаусса у векторній формі Якщо гранична поверхня  замкнена і обмежує деяке тіло G84 Формула Остроградського-Гаусса у векторній формі Якщо гранична поверхня замкнена і обмежує деяке тіло G , а векторне поле F – функції — компоненти якого неперервні разом із своїми частинними похідними першого порядку в області G , то( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z div GF d Fd. V r r r Ò Тут використано знак для того, щоб підкреслити, що це поверхневий інтеграл по замкненій поверхні Ò

85 n r. Формула Стокса Для неперервних разом із своїми похідними першого порядку функцій  85 n r. Формула Стокса Для неперервних разом із своїми похідними першого порядку функцій на кусково-гладкій поверхні , що обмежена кусково-гладкою замкненою кривою L , має місце формула Стокса ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z L Q P Pdx Qdy Rdz dxdy x y R Q P R dydz dxdz y z z x Ñ

86 Формула Стокса у векторній формі rot C F dr F d r rÑ Циркуляція векторного86 Формула Стокса у векторній формі rot C F dr F d r rÑ Циркуляція векторного поля по замкненому контуру дорівнює потоку його ротора через поверхню, обмежену цим контуром