Карагандинский государственный технический университет

Карагандинский государственный технический университет Кафедра АПП им. В. Ф. Бырьки Презентация по дисциплине «Теория автоматического управления» Линеаризация динамических звеньев для студентов специальности 5 В 071700 «Теплоэнергетика»

Линейные системы Линейными называются системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности для любых

В теории управления лучше всего разработаны методы исследования линейных систем. Строго линейных систем не существует. Поэтому для того, чтобы эти методы можно было применить на практике, нужно выполнить линеаризацию – построить приближенную линейную модель на основе более реальной нелинейной модели объекта.

Линеаризация дифференциальных уравнений САУ разложением в ряд Тейлора Линеаризация происходит путём разложения уравнений в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка (в связи с их малостью). Линеаризация возможна, если: - отклонения переменных малы (в окрестности точки линеаризации); - линеаризуемая функция непрерывна, т. е. имеет конечные производные всех порядков (в окрестности точки линеаризации).

Пусть дано динамическое звено САУ описываемое нелинейным дифференциальным уравнением F(x 1, x 2′, y, y′′, y′′′)=φ(f, f′) Для возмущающего воздействия f малость отклонения не выполняется, поэтому функция от f переносится в право и не подвергается линеаризации Тогда уравнение установившегося состояния имеет вид: F°(x 1°, x 2°, 0, y°, 0, 0, 0)=φ(f°, 0).

Перейдем к уравнению динамики. Производные рассматриваем как самостоятельные переменные. Каждая переменная имеет установившееся значение и конечное отклонение x 1=x 1°+Δx 1(t), x 2=x 2°+Δx 2(t), y=y°+Δy(t), x 2′=Δx 2′(t), y′=Δy′(t), y′′=Δy′′(t), y′′′=Δy′′′(t);

Разложим функцию F в ряд Тейлора вычтем из левой и правой части уравнение установившегося состояния и отбросим ЧВПМ:

В результате мы получили линейное уравнение в отклонениях Особенности линеаризованного уравнения 1 - Оно является приближенным – отброшены члены высшего порядка малости. 2 - Неизвестными функциями являются не полные величины, а их отклонения Δ… от установившихся значений. 3 - Уравнение является линейным относительно отклонений Δ…, при этом масштабирующие коэффициенты (частные производные) могут быть постоянными или переменными во времени. 4 - Внешнее воздействие линеаризации не подлежит.

Запись линеаризованных уравнений в стандартных для ТАУ формах Первая форма: а) выходную величину и ее производные запишем в левой части уравнения, а входную и все остальные члены – в правой; б) сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Для этого введем обозначения:

тогда: T 33Δy′′′+T 22Δy′′+T 1Δy′+Δy=k 1Δx 1+k 2Δx 2+k 3Δx 2′+k 4 f 1 Знак Δ опустим, введем обозначение оператора дифференцирования d/dt=p и запишем уравнение в символьном виде: (T 33 p 3+T 22 p 2+T 1 p+1)y=k 1 x 1+(k 2+k 3 p)x 2+k 4 f 1, Где коэффициенты: T 3, T 2, T 1 – постоянные времени; k 4, k 3, k 2, k 1 – коэффициенты усиления;

Вторая форма: В левой части уравнения запишем выходную величину, а все остальные члены – в правой y=W 1(p)x 1+W 2(p)x 2+Wf(p)f 1

Геометрическая трактовка линеаризации

Благодарю за внимание!