Использование методов экономико-математического моделирования в анализе хозяйственной деятельности

Использование методов экономико-математического моделирования в анализе хозяйственной деятельности Экономический анализ в задачах линейного и динамического программирования Экономический анализ в задачах сетевого планирования Экономический анализ в задачах теории расписаний Использование теории игр в задачах экономического анализа Использование теории массового обслуживания в задачах экономического анализа Использование теории нечетких множеств в экономическом анализе Эвристические методы экономического анализа

Экономико-математические методы Это обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов (эконометрика) Используются для изучения и измерения одновременного и противоречивого влияния множества факторов на результат их взаимодействия, для решения экстремальных задач прогнозирования поитске оптимальных плановых решений, прогнозировании экономических показателей,комплексном экономическом анализе

Экономико-математические методы В основном используются в основном в двух ситуациях поиска стратегии использования ресурсов: поиск наиболее эффективного, максимально выгодного решения поставленной задачи при имеющихся ресурсах, поиск наиболее экономичного решения поставленной задачи при минимальных затратах ресурсов. Все модели представляют собой математические описания, т.е. имеют вид уравнения, в котором общий критерий функционирования (критерий оптимизации) всей системы в целом (y) приравнивается некоторому соотношению (f), связывающему между собой множество управляемых (xi) и неуправляемых (xj) переменных, определяющих поведение системы: y = f(xi, xj). В общем, виде математическая модель может представлять систему аналитических или статистических уравнений или неравенств.

Классификация основных экономико-математических методов, используемых в АХД

Экономический анализ в задачах линейного и динамического программирования Применительно к экономическому анализу сущность линейного программирования можно сформулировать как совокупность математических приемов, позволяющих в условиях ограниченных ресурсов по принятому критерию оптимальности из всех возможных вариантов хозяйственных решений (или из всех вариантов плана действий) выбрать один (оптимальный) или несколько наилучших (рациональных) вариантов. С помощью методов линейного программирования в промышленном производстве исчисляют: оптимальную производительность машин, агрегатов, поточных линий, решаются задачи оптимального раскроя материалов формируются производственные планы с оптимизацией по ассортименту или загрузке и т.п.

Постановка задачи линейного программирования Имеется производство, в котором участвует N ингредиентов (производственные факторы, сырье, промежуточные и конечные продукты). Имеется r технологических способов производства продукции, каждый характеризуется вектором as = (as1, as2,... , asN). Положительные компоненты этого вектора показывают объем производства соответствующего ингредиента, отрицательные компоненты - затраты при применении способа с единичной интенсивностью. Например, аs =(-1, 2, -3) можно трактовать так: затрачивается 1 единица времени, производится 2 единицы продукта себестоимостью производства 3 единицы. Производственный план определяется выбором вектора  = (x1, x2,...xr) с неотрицательными компонентами, указывающими интенсивность применения различных технологических способов. При плане  = (x1, x2,...xr) продукция и затраты характеризуются вектором

Постановка задачи линейного программирования Если i > 0, то i-й ингредиент производится; если же i < 0, , i= 1,...,m, то расходуется в размере абсолютной величины. Первые m < N ингредиентов представляют расходуемые ресурсы (оборудование, рабочая сила, материалы, денежные средства и т.д.), по ним задаются ограничения вида Если bi > 0, то соответствующий ингредиент производится; если bi < 0, то соответствующий ингредиент расходуется и расход его не должен превзойти |bi| По остальным n = N - m ингредиентам необходимо добиваться максимального выпуска продукции с учетом требуемого ассортимента kj =(k1,k2,...kn), т.е.

Постановка задачи линейного программирования (ЛП) составить план  = (x1, x2,...xr), удовлетворяющий условиям: s = 1,...,r; , i= 1,...,m; j= 1, ... n. при k = 1, то есть когда не требуется выпуск продукции в комплектности - определенном соотношении, эта задача имеет вид: s = 1,...,r; , i= 1,...,m; Оптимальный план может быть получен с помощью различных методов (последовательного улучшения плана или корректировки множителей Л.В.Канторовича, симплекс-метода или других методов в зависимости от класса сформулированной задачи).

Экономический анализ модели ЛП Полученный оптимальный план  = (x1*, x2*,...xr*), должен быть проанализирован. Экономический анализ позволяет выявить при i= 1,...,m : дефицитные ресурсы (узкие места) избыточные ресурсы объем избытка дефицитную продукцию, это продукция, для которой выполняется равенство при j = 1,...,n; продукцию, которая производится в избытке объем избытка

Экономический анализ модели ЛП экономическую целесообразность внедрения в производство нового s0-ого технологического способа экономическую целесообразность увеличения отдельных видов дефицитных ресурсов (в качестве ограничения на дефицитный ресурс i0 выступает неравенство где - возможный объем увеличения ресурса. Если в результате увеличится значение целевой функции, то увеличение объема этого вида ресурса экономически выгодно. Одновременно определяется где - новое искомое оптимальное значение интенсивности использования технологических способов производства.

Экономический анализ в задачах сетевого планирования (СП) Сетевое планирование и управление предназначено для управления объектами любого типа, получившими название комплексов работ (комплексов операций, проектов, разработок, тем) Для выявления резервов ускорения выполнения ряда хозяйственных процессов и работ широко используются в аналитической практике сетевые графики

Основные термины задач СП Сетевые графики представляют собой модель планируемого производственного процесса, элементами которого являются: событие, работа, ожидание, зависимость. Непрерывная последовательность проведения работ с учетом их зависимости в планируемом производственном процессе называется путем, имеется несколько путей между начальным и конечным событиями Путь наибольшей длины между начальным и конечным событиями называется критическим. Его продолжительность определяет срок производства (длительность производственного процесса).

Оптимизация сетевых графиков Работы, которых нет на критическом пути, имеют запасы времени. Выявление резервов времени позволяет маневрировать производственными ресурсами и тем самым достигать сокращения критического пути и общих сроков работы Оптимизация сетевых графиков состоит в сокращении критического пути и выявлении имеющихся резервов времени на работах, лежащих за пределами этого пути На основе сетевого графика можно произвести экономический анализ состояния исследуемого процесса в каждый заданный момент времени (обычно ищется решение, ориентированое на сокращение стоимости работ)

Постановка задачи СП Имеется сеть с единственным исходным i0 и единственным завершающим событием iw; а также продолжительность tij всех работ сети. Исходная информация может содержать момент начала выполнения комплекса T(i0) = T0 и установленный срок завершения комплекса работ Tдир. Требуется составить план выполнения работ, т.е. определить момент начала Тн ij и окончания To ij выполнения каждой работы(ij),

Реализация модели сводится к расчету параметров: ранний срок начала и окончания работы Tрн ij = Tр i, Tро ij = Tpi + tij; каждый срок начала и окончания работы Tпн ij = Tpj - tij; Tпо ij = Тпj; резерв времени свершения события Ri = Tпi - Tpi; критическое время (Ткр), т.е. минимальное время в течение которого может быть выполнен весть комплекс; критический путь (Lкр), т.е. путь, продолжительность которого равна критическому времени, т.е. Т(Lкр) = Tкр; резерв пути, характеризующий предельно допустимое увеличение продолжительности этого пути R(Li) = T(Lкр) - T(Li);

Реализация модели сводится к расчету параметров: ранний срок начала и окончания работы Tрн ij = Tр i, Tро ij = Tpi + tij; каждый срок начала и окончания работы Tпн ij = Tpj - tij; Tпо ij = Тпj; резерв времени свершения события Ri = Tпi - Tpi; критическое время (Ткр), т.е. минимальное время в течение которого может быть выполнен весть комплекс; критический путь (Lкр), т.е. путь, продолжительность которого равна критическому времени, т.е. Т(Lкр) = Tкр; резерв пути, характеризующий предельно допустимое увеличение продолжительности этого пути R(Li) = T(Lкр) - T(Li);

Реализация модели сводится к расчету параметров: полный резерв времени работы, показывающий максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы, не изменяя директивный срок наступления завершающего события rij = Tпн j - Tрн ij = Tпо ij - Tро ij , (при управлении эти работы заслуживают особого внимания, т.к. при небольших отклонениях в сроках их выполнения они становятся критическими); частный резерв времени работы, показывающий на какое время можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения начала выполнения последующих работ r/ij = Tрн jk - Tро ij , k>j

Реализация модели сводится к расчету параметров при ограничениях:

Экономический анализ в задачах теории расписаний (ТР) Теория расписаний (scheduling theory) – это научная дисциплина, посвященная разработке оптимизационных методов оперативно-календарного планирования. Задачи теории расписаний - один из видов задач исследования операций, объединяемых в классе задач упорядочения. Они состоят в определении оптимальной очередности обработки изделий, составлении программы - "диспетчера" Примеры таких систем: цех, участок, на станках которых осуществляется обработка деталей; ВУЗ, где преподаватели обучают студентов и т.д.

Постановка задачи в ТР Имеется конечное множество требований (деталей, преподавателей и т.д.) N = {1,2,…n}и конечное множество приборов (станков, групп студентов и т.д.) M = { 1,2,…m}. Предполагается, что i – е требование на каждой стадии его обслуживания q (например, на каждой операции технологического процесса) может быть обслужено любым из приборов (но не более, чем одним одновременно). Предполагается также, что каждый прибор одновременно может обслуживать не более одного требования. Если требование i на стадии q должно или может быть обслужено прибором L= Liq, то предполагается заданной длительность tiL ≥0 его обслуживания .

Системы обслуживания в ТР системы поточного типа, в которых каждое требование сначала обслуживается приборами первой группы, затем второй группы и т.д. пока не будет обслужено приборами последней r – ой группы; для каждого требования задается своя, специфическая для этого требования последовательность Li = (Li1, Li2, …Lin), системы с различными порядками (маршрутами) прохождения приборов требованиями и т.д.

Математическое представление расписания в ТР Расписание рассматривается как совокупность {S1(t), S2(t), … Sm(t)} кусочно–постоянных непрерывных слева функций, каждая из которых задана на интервале 0≤t≤∞ и принимает значения 0, 1, …, n. Если SL(t/)=i≠0 (здесь i – номер требования), то в момент времени t/ прибор обслуживает требование . Если SL(t/)=0, то в момент времени t/ прибор L простаивает. При задании расписания должны соблюдаться все условия и ограничение, вытекающие из постановки рассматриваемой задачи

Оптимизация расписания Каждое (допустимое) расписание S однозначно определяет вектор моментов завершения обслуживания требований. Задается некоторая действительная неубывающая по каждой из переменных функция F (x)=F (x1, x2, …xn). Качество расписания S оценивается значением этой функции при . Из двух расписаний лучшим считается то, которому соответствует меньшее значение F (x). Расписание, которому соответствует наименьшее значение F (x) (среди всех допустимых расписаний), называется оптимальным.

Использование теории игр в задачах экономического анализа Теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наиболее выгодных решений в системах с участием "внешних" игроков В теории игр выделяют два класса: игры со строгим соперничеством, когда игроки имеют прямо противоположные интересы (игры с нулевой суммой); игры с нестрогим соперничеством, где возможен обоюдный выигрыш (игры с ненулевой суммой). Для решения используется теория вероятности и математическая статистика

Варианты использования теории игр в АХД Формирование маркетинговой стратегии Оптимизация величины запасов Оптимизация ассортиментной стратегии, зависящей от погодных условий

Использование теории массового обслуживания в задачах экономического анализа Задача сводится к выбору оптимального варианта организации обслуживания (системы массового обслуживания СМО), при котором время обслуживания будет минимальным, качество обслуживания – высоким, затраты – оптимальными. Используется в организации: телефонии, торогового и бытового обслуживания, работы обслуживающих подразделений промышленных предприятий

Сущность системы массового обслуживания (СМО) СМО состоит из какого – то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания СМО предназначена для обслуживания потока заявок (требований), поступающих в какие – то случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается случайное время , после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что может скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО без обслуживания), либо возникает простой. Процесс работы СМО – случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких - то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания, момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).

Потоки событий в СМО Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Его интенсивность λ постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит. Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. События, образующие поток, появляются независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами. Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу. Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен, не имеет последствий.