Гусакова В. И. Математика: Учебно-методический комплекс по направлению «Государственное и муниципальное управление» (бакалавр). Ростов н/Д. : Изд-во СКАГС, 2011. Гусакова В. И. , Кривошлыков В. Н. , Шепелова Н. С. Математика: Методические указания для самостоятельной работы студентов. Учебнометод. пособие. - Ростов н/Д: СКАГС, 2010.
Общая схема исследования функций и построения их графиков Найти область определения функции. Исследовать функцию на четность-нечетность. Найти вертикальные асимптоты. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график. Построить график функции.
Четность и нечетность функции . Функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения f( х)= f(х) и нечетной, если f( х) = f(х). В противном случае функция у = f(х) называется функцией общего вида. Например, функция у = х, является нечетной, так как f( х) = х = f(х). График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
приращение аргумента и функции Пусть дана функция у = (х). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разность х = х - х0 называется приращением аргумента х в точке х0. Разность у = у – у0 = (х)- (х0) называется приращением функции у = (х) в точке х0.
Определение производной Пусть функция у = (х) определена на промежутке Х. Возьмем точку х Х. Дадим значению х приращение х 0, тогда функция получит приращение у = ( х+ х ) - ( х ). Производной функции у = (х) называется предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х при стремлении х к нулю. Производная функции у = (х) обозначается символом ( х). Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Производная функции у = (х) в точке х0 является значением функции ( х) в точке х0. Функция дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.
Геометрический смысл производной Производная есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной ), проведенной к кривой y=f(x) в точке х0. Уравнение касательной к кривой y=f(x) имеет вид:
Правила дифференцирования Производная постоянной равна нулю, т. е. С =0. Производная аргумента равна 1, т. е. х =1 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т. е. (u + v) = u + v. Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: (u v) = u v + u v. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (Сu) = Cu. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:
Производная сложной функции Теорема. Если у = f(u) и u = (x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т. е у = (u)u.
Производной n-го порядка называется производная от производной (n – 1)-го порядка. Обозначение производных: ( х) второго порядка, ( х) – третьего порядка. Производные более высокого порядка обозначаются следующим образом: (n) ( х) – производная n-го порядка.
Возрастание и убывания функций Теорема (достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает (убывает ) на этом промежутке. Пример 1. Найти интервалы монотонности функции у = х2 4 х + 4.
Экстремум функции Точка х0 называется точкой минимума функции ( х), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство ( х) ( х0). Точка х1 называется точкой максимума функции ( х), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство ( х) ( х1). Значение функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.
Необходимое и достаточное условия экстремума Теорема (необходимое условие экстремума) Для того чтобы функция у = ( х) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась нулю ( ( х0) = 0) или не существовала. Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т. е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции у = ( х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума.
Выпуклость функции. Точки перегиба. Функция у = ( х) называется выпуклой вниз на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2 Х выполняется неравенство: Функция у = ( х) называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2 Х выполняется неравенство:
Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает). Теорема (достаточное условие выпуклости функции вниз(вверх)). Если вторая производная дважды непрерывной функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх. Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х0 равна нулю, т. е. ( х) = 0. Теорема (достаточное условие перегиба) Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0 меняет свой знак, то х0 есть точка перегиба. .
Скачать презентацию Гусакова В И Математика Учебно-методический комплекс по
Lec_уст_ZGMU.ppt