Скачать презентацию Граничные задачи для ОДУ Метод моментов Пусть задано Скачать презентацию Граничные задачи для ОДУ Метод моментов Пусть задано

Граничные задачи.ppt

  • Количество слайдов: 34

Граничные задачи для ОДУ Метод моментов Пусть задано дифференциальное уравнение второго порядка с граничными Граничные задачи для ОДУ Метод моментов Пусть задано дифференциальное уравнение второго порядка с граничными условиями Рассмотрим две системы функций {ψk}, k=1, 2, … – система взвешивающих функций, удовлетворяет условиям: 1. 2. {ψk}, k=1, 2, … образуют полную систему, т. е. {φk}, k=1, 2, … – система пробных функций, удовлетворяет условиям: 1. Функции φk – линейно независимы на [a, b] 2. Функция φ0 удовлетворяет граничным условиям задачи

Остальные – удовлетворяют однородным граничным условиям 3. {φk}, k=1, 2, …образуют замкнутую систему в Остальные – удовлетворяют однородным граничным условиям 3. {φk}, k=1, 2, …образуют замкнутую систему в G: То есть Решение будем искать в виде разложения по пробным функциям Это решение удовлетворяет граничным условиям при любых значениях коэффициентов разложения. Подставим приближенное решение в уравнение, получим невязку Невязка характеризует, насколько приближенное решение не удовлетворяет урав Образуем моменты

 После интегрирования моменты являются функциями неизвестных коэффициентов разложения. Положим Это система алгебраических уравнений После интегрирования моменты являются функциями неизвестных коэффициентов разложения. Положим Это система алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения. Так как система взвешивающих функций полная, то невязка стремиться к 0 А это означает, что приближенное решение сходится к точному

Метод Галеркина В методе Галеркина системы пробных и взвешивающих функций совпадают, то есть ψk Метод Галеркина В методе Галеркина системы пробных и взвешивающих функций совпадают, то есть ψk = φk. Рассмотрим применение метода Галеркина для линейного уравнения вида С граничными условиями Согласно идее метода невязку взвесим по системе взвешивающих функций Преобразуем первое слагаемое

тогда Учитывая вид граничных условий, то для пробных функций выполняется Это упростит вид соотношения тогда Учитывая вид граничных условий, то для пробных функций выполняется Это упростит вид соотношения Подставим приближенное решение в соотношение: преобразуем

Обозначим Тогда последнее соотношение можно переписать в виде СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов разложения: Система Обозначим Тогда последнее соотношение можно переписать в виде СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов разложения: Система имеет симметричную матрицу коэффициентов, так как Если граничные условия заданы в общем виде: то разрешающие соотношения приводятся к СЛАУ с коэффициентами:

Разрешимость системы алгебраических уравнений метода Галеркина В теореме сформулированы условия существования и единственности решения Разрешимость системы алгебраических уравнений метода Галеркина В теореме сформулированы условия существования и единственности решения СЛАУ, полученной в результате применения метода Галеркина к граничной задаче. Теорема. Пусть коэффициенты дифференциального уравнения удовлетворяют условиям: тогда СЛАУ метода Галеркина имеет единственное решение. Доказательство. В однородную систему уравнений, соответствующую системе Подставим полученные ранее коэффициенты Обозначим: тогда

 Домножим каждое из этих выражений на множитель bj и все полученные соотношения просуммируем Домножим каждое из этих выражений на множитель bj и все полученные соотношения просуммируем При выполнении условий теоремы приведенное выражение справедливо, когд это означает, что функция Так как на концах отрезка получаем Поскольку функции φk линейно независимы, тогда Таким образом, однородная СЛАУ имеет только тривиальное решение, то есть определитель отличен от нуля, значит, исходная СЛАУ имеет единственное решение.

Метод наименьших квадратов Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в вид С граничными условиями Метод наименьших квадратов Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в вид С граничными условиями Запишем невязку: Определим функционал который имеет минимум, равный 0, если невязка обращается в 0, то есть минимум соответствует такому набору коэффициентов разложения решения, при котором приближенное решение удовлетворяет заданному уравнению.

 После интегрирования функционал становится функцией n переменных (неизвестных коэффициентов). Тогда необходимые условия минимума После интегрирования функционал становится функцией n переменных (неизвестных коэффициентов). Тогда необходимые условия минимума функции нескольких переменных: Подставим в соотношение выражение для невязки: Подставим приближенное решение в виде

Обозначим: Тогда последнее соотношение можно представить в виде СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов разложения: Система Обозначим: Тогда последнее соотношение можно представить в виде СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов разложения: Система имеет симметричную матрицу коэффициентов, так как

Разрешимость системы уравнений метода наименьших квадратов Теорема Если однородная граничная задача соответствующая исходной граничной Разрешимость системы уравнений метода наименьших квадратов Теорема Если однородная граничная задача соответствующая исходной граничной задаче, имеет только тривиальное решение zn = 0, то СЛАУ метода наименьших квадратов имеет единственное решение. Доказательство Рассмотрим однородную СЛАУ, полученную на основе МНК Подставим коэффициенты

 Домножим каждое из этих выражений на множитель bk и все полученные соотношения просуммируем Домножим каждое из этих выражений на множитель bk и все полученные соотношения просуммируем , Равенство возможно, только если Кроме того в силу пробных функций Пусть эта система имеет только тривиальное значение

Тогда в силу линейной независимости системы пробных функций то есть однородная СЛАУ имеет только Тогда в силу линейной независимости системы пробных функций то есть однородная СЛАУ имеет только тривиальное решение, значит, неоднородная система имеет единственное решение.

Сходимость метода наименьших квадратов Рассмотрим граничную задачу Пусть y(x) – точное решение, – приближенное Сходимость метода наименьших квадратов Рассмотрим граничную задачу Пусть y(x) – точное решение, – приближенное решение, полученное МНК Обозначим Теорема Последовательность функций {yn(x)}, получаемых по методу наименьших квадратов, сходится по норме в L 2 к точному решению y(x), если 1. Граничная задача имеет единственное решение y(x) 2. Существует такая константа М>0, что

Доказательство Пусть По условию теоремы решение y(x) существует и, следовательно, Так как {φk(x)} образуют Доказательство Пусть По условию теоремы решение y(x) существует и, следовательно, Так как {φk(x)} образуют в G замкнутую систему, решение y(x) как угодно точно можно приблизить с помощью разложения тогда может быть как угодно малым, т. е. Учитывая, что последнее соотношение можно переписать в форме (в обозначениях для МНК)

Тогда, если заменим на неравенство не ухудшится, так коэффициенты аk определяются из условия минимума Тогда, если заменим на неравенство не ухудшится, так коэффициенты аk определяются из условия минимума функционала (в том числе среди всех возможных bk ) Значит В силу условия теоремы Поскольку ε может быть сколь угодно малым, то

Метод Ритца Пусть задача имеет решение. Рассмотрим функционал для которого будем искать минимум на Метод Ритца Пусть задача имеет решение. Рассмотрим функционал для которого будем искать минимум на множестве допустимых функций: – непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] – удовлетворяющих граничным условиям задачи. Теорема. Если функция ỹ (х) доставляет минимум функционалу на множестве допустимых функций, то она является решением граничной задачи

Доказательство. Для функционала решение уравнения Эйлера доставляет минимальное значение. Для данного функционала уравнение Эйлера Доказательство. Для функционала решение уравнения Эйлера доставляет минимальное значение. Для данного функционала уравнение Эйлера имеет вид или которое полностью совпадает с исходным уравнением. Это означает, что удовлетворяющая граничным условиям функция ỹ (х), которая доставляет минимум функционалу, будет решением исходной задачи. Как и ранее приближенное решение будем искать в виде разложения по пробным непрерывно дифференцируемым функциям

Подставим приближенное решение в функционал Сjk fk С 0 Тогда что позволяет рассматривать функционал Подставим приближенное решение в функционал Сjk fk С 0 Тогда что позволяет рассматривать функционал как функцию неизвестных коэффициентов , для которого необходимые условия минимума Откуда получаем СЛАУ относительно искомых коэффициентов разложения:

Условия существования и единственности решения СЛАУ метода Ритца Теорема. Пусть коэффициенты дифференциального уравнения удовлетворяют Условия существования и единственности решения СЛАУ метода Ритца Теорема. Пусть коэффициенты дифференциального уравнения удовлетворяют условиям: тогда СЛАУ метода Ритца имеет единственное решение. (Доказательство - самостоятельно) Сходимость метода Ритца Пусть для некоторой последовательности функций { yk } выполняется и функция y(x) доставляет минимум функционалу. Такая последовательность называется минимизирующей. Теорема. Пусть выполнены условия: 3) последовательность функций { yk (x) } является минимизирующей. Тогда последовательность функций { yk (x) } равномерно сходится к y(x) на отрезке [a, b]

Доказательство Оценим модуль выражения Используя неравенство Коши – Буняковского, получим ψ φ=1 Доказательство Оценим модуль выражения Используя неравенство Коши – Буняковского, получим ψ φ=1

С другой стороны Отсюда следует 0 С другой стороны Отсюда следует 0

Здесь учтено, что Сравнивая подчеркнутые выражения , получим Поскольку последовательность { yk (x) } Здесь учтено, что Сравнивая подчеркнутые выражения , получим Поскольку последовательность { yk (x) } является минимизирующей, то есть тогда

Сеточный метод решения линейной граничной задачи Пусть граничная задача Имеет единственное решение, непрерывное на Сеточный метод решения линейной граничной задачи Пусть граничная задача Имеет единственное решение, непрерывное на отрезке [a, b] вместе с производными до четвертого порядка включительно Идея метода 1. Область [a, b] заменяется дискретной сеточной областью 2. Граничная задача заменяется сеточной, то есть производные заменяются разностными аналогами (исходная задача заменяется СЛАУ) 3. Решение СЛАУ позволяет определить сеточные (узловые) значения искомой функции

Производные аппроксимируем разностными аналогами Тогда разностный аналог дифференциального уравнения Эти соотношения можно записать для Производные аппроксимируем разностными аналогами Тогда разностный аналог дифференциального уравнения Эти соотношения можно записать для внутренних узлов сетки Ωn то есть Так как разностное уравнение содержит (n+1) неизвестное значение функции, то эту систему необходимо дополнить уравнениями, полученными из аппроксимации граничных условий

Тогда СЛАУ с (n+1) неизвестным содержит (n+1) уравнение. Разрешимость СЛАУ метода сеток Для упрощения Тогда СЛАУ с (n+1) неизвестным содержит (n+1) уравнение. Разрешимость СЛАУ метода сеток Для упрощения рассмотрим частный случай Приведем подобные Обозначим

Теперь задача запишется в виде Покажем, что соответствующая однородная СЛАУ имеет единственное решение. Лемма Теперь задача запишется в виде Покажем, что соответствующая однородная СЛАУ имеет единственное решение. Лемма 1. Пусть на отрезке [a, b] заданны некоторые числа Y 0 , Y 1 , Y 2 , …, Yn , среди которых есть неравные между собой, и выполнены условия (*) а также имеет место условие Тогда среди чисел Y 0 , Y 1 , Y 2 , …, Yn наибольшее положительное значение принимает либо Y 0 , либо Yn.

Доказательство Докажем от противного. Пусть наибольшее положительное значение Ys = M>0 достигается внутри отрезка Доказательство Докажем от противного. Пусть наибольшее положительное значение Ys = M>0 достигается внутри отрезка [a, b] при некотором значении причем либо Ys-1 < M , либо Ys+1 < M. тогда в силу условия 1) получим Так как As >0 , Cs >0. Тогда из условия 2) имеем Пришли к противоречию с исходным предположением, ч. и т. д. Лемма 2. Пусть на отрезке [a, b] заданны некоторые числа Y 0 , Y 1 , Y 2 , …, Yn , среди которых есть неравные между собой, и выполнены условия (*) а также имеет место условие Тогда среди чисел Y 0 , Y 1 , Y 2 , …, Yn наименьшее отрицательное значение принимает либо Y 0 , либо Yn. Доказательство – аналогично.

Теорема. Пусть выполнены условия лемм (*) , тогда однородная СЛАУ имеет только тривиальное решение. Теорема. Пусть выполнены условия лемм (*) , тогда однородная СЛАУ имеет только тривиальное решение. Доказательство. В соответствии с формулами выполнены условия леммы 1 и 2 одновременно. В этом случае наибольшим и наименьшим значениями являются либо z 0 , либо zn . Но согласно формуле z 0= zn =0 , это значит, что все остальные Таким образом, однородная СЛАУ имеет только тривиальное решение, а исходная СЛАУ имеет единственное решение. Оценка порядка аппроксимации Разложим решение в ряды Тейлора вблизи точки xk Подставим в выражение для погрешности 0

Метод прогонки для решения сеточной задачи Введем соотношение аналогичн о Подставим в уравнения перегруппируем Метод прогонки для решения сеточной задачи Введем соотношение аналогичн о Подставим в уравнения перегруппируем

Равенство будет выполняться при любом наборе значений если Получаем рекуррентные соотношения Прямой ход: Для Равенство будет выполняться при любом наборе значений если Получаем рекуррентные соотношения Прямой ход: Для k=0 Сравниваем с первым граничным условием Отсюда можно вычислить исходные значения для начала реккурентных расчето

Далее по формулам вычисляются все остальные значения Обратный ход: При k = n-1, то Далее по формулам вычисляются все остальные значения Обратный ход: При k = n-1, то есть вычислим Для начала расчетов из второго граничного условия выразим Все остальные yk k=n-1, … 0 определяются по формуле с использованием вычисленных в прямом ходе значений uk , vk

При условиях Знаменатели дробей в соотношениях метода сеток не обращаются в 0 и СЛАУ При условиях Знаменатели дробей в соотношениях метода сеток не обращаются в 0 и СЛАУ метода сеток разрешим