Государственное учреждение образования Смолевичская районная гимназия Исследовательская работа

Государственное учреждение образования «Смолевичская районная гимназия» Исследовательская работа «Игры на многоугольниках» Исследование провели учащиеся 8 «Г» класса Вольский Адам Иванович, Степаньков Станислав Кириллович

Постановка задачи Два игрока играют в игры с фишками, заполняя свободные от фишек области многоугольника со всеми проведенными диагоналями. Определить, может ли первый игрок обеспечить себе победу на определенном n-угольнике, если ему разрешается построить это исходное поле. Во всех играх проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. В одну клетку можно поставить только одну фишку. За один ход разрешается поставить k фишек, где k A (– одно- или двухэлементное множество натуральных чисел).

Этапы исследования Для реализации поставленной проблемы необходимо решить 3 задачи: • 1) Определить количество частей, на которые разбивается многоугольник его диагоналями, если никакие 3 из них не пересекаются в одной точке. • 2) Определить победителя на построенном в пункте 1) поле в зависимости от количества образовавшихся частей. • 3) Проверить, может ли первый игрок составить алгоритм построения n-угольника, если по результатам игр пункта 2) он проиграл.

1) Определим количество частей Рассмотрим 4 -угольник.

Рассмотрим 5 -угольник.

Закономерность При появлении на n-угольнике k новых объектов появляются k новые части. Следовательно, для определения общего количества частей нужно найти количество диагоналей и точек их пересечения (как количество новых объектов).

Найдем количество диагоналей Из одной вершины n-угольника можно провести (n-3) диагонали, всего вершин n. Умножив кол-во вершин на кол-во диагоналей, каждую из них мы посчитаем дважды, поэтому произведение нужно разделить на 2, т. обр. получим формулу нахождения кол-ва всех диагоналей в nугольнике:

Найдем количество точек пересечения диагоналей Очевидно, что концы двух пересекающихся диагоналей есть вершины выпуклого 4 -угольника, т. к. исходный многоугольник выпуклый. Причем, для каждой точки существует свой 4 -угольник. А всего из n вершин правильного многоугольника можно составить 4 -угольников, где – биномиальный коэффициент, число всех возможных вариантов выборки 4 элементов из множества элементов (вершин) n

Количество частей К Следует помнить, что изначально многоугольник состоял из одной части. Таким образом, количество образовавшихся частей К в правильном многоугольнике при проведении всех его диагоналей можно найти по формуле:

Таблица данных . На основании полученной формулы составим следующую таблицу зависимости количества частей от количества вершин для. n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 K 4 11 25 50 91 154 246 375 550

2) Определим победителя Для решения данного пункта введем понятия проигрышной и выигрышной позиции. Проигрышной является позиция, находясь в которой игрок не может сделать ход Выигрышной является такая позиция игрока, находясь в которой игрок может перевести соперника в проигрышную позицию. Если этого сделать нельзя, то такие позиции отнесем к проигрышным. Рассмотрим некоторые случаи множества А. Например, А – одноэлементное множество

Для решения построим таблицу стратегий А={1} 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 + - + - + Из этой таблицы видно, что если перед первым ходом I игрока он находится в нечетной позиции (K - нечетное количество пустых частей), то он победит, иначе победит II игрок.

Дополним таблицу пункта 1) строкой победителей. А={1} n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 K 4 11 25 50 91 154 246 375 550 Победитель II II

А – одноэлементное множество Аналогично предыдущему, после составления таблиц стратегий для других одноэлементных А получим и таблицы результатов А={2} 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 + – – + + – – + + – – n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 K 4 11 25 50 91 154 246 375 550 победитель II I I I I А={3} 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 – + + + – – – + + + – – – n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 K 4 11 25 50 91 154 246 375 550 победитель I I II I I

А – двухэлементное множество A = {1, 2} Для двух и более -элементного множества таблица строится аналогичным образом 9 – 8 + 7 + 6 – 5 + 4 + 3 – 2 + 1 + 0 – Из этой таблицы видно, что если перед первым ходом I игрока он находится в позиции с количеством пустых частей, делящимся на 3, то он проиграет, а значит II игрок – победит. В любом другом случае победит I игрок.

Таким образом: n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 K 4 11 25 50 91 154 246 375 550 Победитель I I I II II I

А – двухэлементное множество Аналогично предыдущему: А={1, 3} 9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 – 1 + 0 – n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 K 4 11 25 50 91 154 246 375 550 победитель II II А={2, 3} 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 + – – + + + – – 8 7 6 5 1 0 – + + + – 4 3 2 – n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 K 4 11 25 50 91 154 246 375 550 победитель I II II II

Вывод к пункту 2) Таким образом, для любого множества А можно построить таблицу стратегий, по которой для каждой игры может победить первый или второй игрок

3) Решение проблемы проигрыша первого игрока Для изменения результатов проигрышной игры первому игроку при построении многоугольника необходимо изменить количество частей, на которые разбивается многоугольник своими диагоналями. Так количество диагоналей у n-угольника величина постоянная, то изменить общее количество частей можно только поменяв количество точек их пересечения. А осуществить последнее можно только в том случае, если в некоторых точках будут пересекаться более двух диагоналей.

Три пересекающиеся прямые 1 прямая + 2 точки пересечения = 3 новые части 1 прямая + 1 точка пересечения = 2 новые части Таким образом, при проведении прямой через точку пересечения двух прямых количество частей плоскости уменьшается на 1 от максимально возможного

Четыре пересекающиеся прямые 1 прямая + 3 точки пересечения = 4 новые части 1 прямая + 1 точка пересечения = 2 новые части Таким образом, проводя 3 прямые через одну точку мы теряем 1 -у часть, при проведении 4 -ой – еще 2 части, а в сумме – 3

Рассуждаем аналогично предыдущему Для 5 -ой прямой получим потерю еще 3 -х частей (всего 6), для 6 ой – еще 4 -х (всего 10), и т. д. Данную зависимость можно применить на многоугольник, заменив прямые диагоналями. Таким образом, уменьшить количество частей, на которые разбивается многоугольник теоретически можно, причем для этого необходимо наличие хотя бы 3 -х диагоналей, пересекающихся в одной точке, а значит – 6 -и вершин. На основании последнего утверждения можно сделать вывод о том, что 1 -ый игрок никак не сможет повлиять на итоги игр на 4 -х - и 5 -иугольниках, так количества имеющихся вершин (4 и 5 соответственно) не достаточно для того, чтобы изменить количество частей.

Появление новой части в шестиугольнике

Алгоритм построения многоугольника 1) Правильный шестиугольник уже имеет единственную точку, в которой пересекаются 3 диагонали

2) Семиугольник можно построить следующим образом: 6 его вершин являются вершинами правильного шестиугольника, а седьмая лежит внутри треугольника, образованного стороной шестиугольника и двумя штриховыми отрезками (это ограничение необходимо для сохранения выпуклости исходного многоугольника)

Возможно два случая: 1) ни одна из диагоналей, выходящих из 7 -ой вершины, не пройдет через уже имеющуюся точку пересечения диагоналей. Тогда останется одна точка, в которой пересекаются 3 диагонали, а значит, количество частей уменьшиться на 1, и будет составлять 49 2) одна из диагоналей, пройдет через уже имеющуюся точку пересечения двух диагоналей. Тогда станет две точки, в которых пересекаются 3 диагонали, а значит, количество частей уменьшиться на 2, и будет составлять 48

4 диагонали Для получения точки, в которой пересекаются 4 диагонали необходимо 8 вершин, а значит, можно рассматривать или использовать как минимум восьмиугольник (можно правильный), в котором, как в 6 иугольнике 3, пересекаются 4 диагонали (в точке симметрии для правильного 8 иугольника). Таким образом, чем больше n, тем больше диагоналей могут пересекаться в одной точке и тем больше таких точек

Если первый проиграл, то…

Для A = {1} и А = {1, 3}, … … проигрышные игры на 7, 9, 10 и 12 -угольниках, имеющих четное количество частей. Для победы первому игроку нужно, чтобы оно было нечетным, а для этого достаточно уменьшить имеющееся количество на 1, используя выше описанный метод, в котором 6 вершин многоугольника являются вершинами правильного 6 -угольника, а остальные расположены так же, как седьмая вершина при рассмотрении семиугольника

Для A = {2} … … проигрышной является только игра на 6 угольнике, результат которой первый игрок изменить не в состоянии, так как на этом поле количество частей можно уменьшить ровно на 1. Их получится 24 – наименьшее возможное количество частей в 6 угольнике. Позиция « 24» – победная для второго игрока.

Для А = {3} … … проигрышные игры на 6 -, 7 -, 8 - и 10 -угольнике. Для 6 -угольника умозаключения аналогичны, как и для A = {2}. На 7 -угольнике первому игроку для победы при построении нужно уменьшить количество частей на 3, т. е. получить 3 точки, в которых пересекаются по 3 диагонали. Это возможно. Решение представлено на Рис. 7. На 8 -угольнике нужно уменьшить количество частей на 2, на 10 угольнике – на 1. Это сделать возможно.

Для A = {1, 2} … … проигрышные игры на 10 - и 11 -угольнике. Однако, если первый игрок уменьшит количество частей на 1 (а это возможно), то он победит.

Для А = {2, 3} … … проигрышные игры все, кроме игры на 9 угольнике. Чтобы победить на 6 -угольнике его достаточно изобразить правильным, уменьшив число частей на 1. Также на 1 необходимо уменьшить число частей при построении 7 -, 11 - и 12 -угольника. А в 8 - и 10 -угольникахх – на 2. Все построения с описанными выше критериями выполнить возможно.

Выводы: • При исследовании данной работы мы вывели формулу для подсчета количества частей, на которые разбивается выпуклый многоугольник всеми своими диагоналями, при условии, что никакие 3 из них не пересекаются в одной точке. • С использованием выведенной формулы было найдено и внесено в таблицу число частей для многоугольников с количеством вершин от 4 до 12 включительно. • Далее, рассмотрены 6 игровых задач с фишками для двух игроков. Для каждой игры построена своя таблица стратегий поведения того или иного игрока, на основании которой выведены зависимости, определяющие победителя для любого построенного поля. • Для каждого из рассмотренных многоугольников в каждой игре был выявлен победитель, с занесением соответствующей информации в таблицу. • Нами был разработано условие уменьшения количества образовавшихся частей с полным логическим исследованием. На основании полученных результатов был выделен тип фигур, проигрыш на которых в той или иной игре первый игрок избежать не может даже при условии, что исходное полемногоугольник он рисует сам. А также, показан алгоритм действий в каждой игре для построения многоугольника первым игроком на оставшихся видах полей, победных для него.