01-Матрицы, определители, СЛУ.ppt
- Количество слайдов: 12
Глава I. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и действия над ними ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m n называется таблица, образованная из элементов некоторого множества (например, чисел или функций) и имеющая m строк и n столбцов. Если m n, то матрицу называют прямоугольной. Если m n, то матрицу называют квадратной, порядка n. Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Например, a 24 – a 13 –
2. Линейные операции над матрицами 1) Умножение матрицы на число; 2) Сложение матриц.
3. Нелинейные операции над матрицами 1) Умножение двух матриц (количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк матрицы B); 2) Транспонирование матрицы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m n. Матрица размера n m, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается AТ.
§ 2. Определители Существует числовая характеристика для квадратных матриц: определитель квадратной матрицы. Определитель матрицы A обозначают |A| , det. A или
Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали. Определитель третьего порядка равен алгебраической сумме шести произведений. Со знаком «плюс» берутся произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком «минус» берутся произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. Т. е.
Свойства определителей 1) При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. 2) При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак. 3) Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. 4) Определитель равен нулю если: а) он имеет строку (столбец), состоящую из нулей; б) он имеет хотя бы две одинаковые строки (столбца); в) он имеет хотя бы две пропорциональные (т. е. отличающиеся множителем) строки (столбца); г) хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов).
§ 3. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т. е. если оно имеет вид a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + anxn = b , где ai, b – числа. ai называются коэффициентами уравнения, b называется свободным членом. Если b = 0, то уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными, т. е. систему вида
Обозначим через A и A* следующие матрицы: Матрицу A называют основной матрицей системы (1), матрицу A* – расширенной матрицей системы (1). Пусть X – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов, т. е. Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения AX=B. Его называют матричной формой системы (1).
2. Методы решения систем линейных уравнений Матричный метод. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обратной к матрице A называется матрица, обозначаемая A-1, такая, что A·A-1=A-1 · A=E.
ТЕОРЕМА. Пусть A – квадратная матрица. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель |A| отличен от нуля. Причем обратная матрица A-1 может быть найдена по формуле: где S – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы A, т. е. Матрица ST называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы A. Нахождение решения по формуле X=A-1 · B называют матричным методом решения системы.
Метод Крамера ТЕОРЕМА (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений m и число неизвестных n совпадает и |A| 0, то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам где D=|A|, а Di– определитель, получаемый из определителя D заменой его i-го столбца на столбец свободных членов. Формулы (1) называются формулами Крамера.
01-Матрицы, определители, СЛУ.ppt