Гипербола Кривая второго порядка Определение гиперболы

Гипербола Кривая второго порядка

Определение гиперболы Гипербола — это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух отдельных кривых, которые не пересекаются. Формула гиперболы y = k/x, при условии, что k не равно 0. То есть вершины гиперболы стремятся к нолю, но никогда не пересекаются с ним. Гипербола — это множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Свойства гиперболы Оптическое свойство: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе. Иначе говоря, если F 1 и F 2 фокусы гиперболы, то касательная в любой точки X гиперболы является биссектрисой угла ∠F 1 XF 2. Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.

Свойства гиперболы (Продолжение) Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы. Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними.

Изображение гиперболы в координатной плоскости

Обозначения: Асимптоты гиперболы (красные кривые) , показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F 1 и F 2. Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D 1 и D 2. Эксцентриситет e равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зелёным). Вершины гиперболы обозначены как ±a. Параметры гиперболы обозначают следующее: a — расстояние от центра C до каждой из вершин b — длина перпендикуляра к оси абсцисс, восставленного из каждой из вершин до пересечения с асимптотой c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F 1 и F 2, θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами

Эксцентриситет гиперболы

Директриса гиперболы

Вывод канонического уравнения: Введем обозначения: F 1 и F 2 – фокусы, разность расстояний |F 2 М–F 1 М|=2 а, или. F 2 М–F 1 М=± 2 а. F 1 F 2=2 с (фокусное расстояние), причем по определению 2 а<2 с или а<с. Введем прямоугольную систему координат. Ось Ох проходит через точки F 1 и F 2, как показано на рисунке; начало координат О – середина отрезка F 1 F 2. Тогда координаты точек: F 1(–с; 0) и F 2(с; 0). Согласно определению, гиперболе удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых

. Продолжение: Координаты произвольной (или текущей) точки множества всегда обозначаются X и Y. Таким образом, M(X; Y). Так как то уравнение равносильно: а оно, в свою очередь, равносильно:

. Продолжение: Оба эти уравнения являются уравнениями гиперболы, но они имеют громоздкий вид, неудобны для использования и для запоминания, поэтому мы попытаемся их преобразовать к более простому виду. Для этого проведем следующую цепочку преобразований:

Продолжение:

Типы гипербол:

Равнобочная гипербола Гиперболу, у которой a = b, называют равнобо чной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением xy = a 2 / 2. Примером равнобочной гиперболы с лужит график функции y = 1 / x.

Изображение равнобочной гиперболы на координатной плоскости:

Гипербола Киперта — гипербола определяемая с треугольником. Если треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через вершины ортоцентр (точка пересечения высот треугольника) и центроид (точка пересечения медиан треугольника).

Изображение гиперболы Киперта на координатной плоскости Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта проходит через вершины (A, B, C), ортоцентр и центроид (G) треугольника.

Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха.

Изображение гиперболы Фейербаха на координатной плоскости

Гипербола в жизни встречается гораздо реже, чем парабола. Наши предки наблюдали ветвь гиперболы на стене, когда подносили к ней горящую свечу в подсвечнике с круглым основанием.

Гиперболоиды вращения Вращая гиперболу вокруг каждой из осей, получают два гиперболоида вращения – однополостной и двуполостной

Однополостной гиперболоид Однополостной гиперболоид вращения обладает замечательным свойством — через каждую точку этого гиперболоида проходят две прямые линии, целиком лежащие на нём. Поэтому однополостной гиперболоид как бы соткан из прямых линий.

Двуполостной гиперболоид Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная относительно специально выбранной системы координат уравнением:

Применение гиперболоидов Свойства однополостного гиперболоида использовал русский инженер В. Г. Шухов при строительстве радиостанции в Москве (башни Шухова). Она состоит из нескольких поставленных друг на друга однополостных гиперболоидов. Также устроена и Эйфелева башня в Париже.

Применение гиперболы для определения местонахождения Во время второй мировой войны использовались гиперболические навигационные системы. Штурман на борту самолёта или морского судна принимал радиосигналы от двух пар станций на берегу, которые испускали их одновременно. Используя разность времени между моментами приема сигналов от обеих станций, штурман строил две гиперболы, пересечение которых на карте позволяло определить место, где он находился.

Гипербола и космические спутники Если спутник движется «с первой космической скоростью, то он будет вращаться вокруг Земли по круговой орбите» . При достижении «второй космической скорости, траектория спутника станет параболической и спутник никогда не вернётся в точку из которой он запущен» . При дальнейшем увеличении скорости, спутник будет двигаться по гиперболе и второй фокус появится с другой стороны (центры Земли всё время будут находиться в фокусе орбиты).