ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Основы гидродинамического подобия 07 12 09 стэ31

Важный этап изучения движения реальных жидкостей - отбор тех факторов, которые являются определяющими для изучаемого процесса. Следующий этап изучения - установление зависимости интересующей величины от системы выбранных определяющих факторов выполняется двумя путями: аналитическим (по законам механики и физики, и экспериментальным. Аналитический применим лишь для ограниченного числа задач и для

Экспериментальный - может учесть многие факторы, но требует научно обоснованной постановки опытов, планирования эксперимента, ограничения его объема необходимым минимумом и систематизации результатов опытов. При этом должно быть обосновано моделирование явлений. Эти задачи позволяет решать теория гидродинамического подобия, т. е. подобия потоков несжимаемой жидкости.

Гидродинамическое подобие складывается из трех составляющих; метрического, кинематического и динамического подобий. Геометрическое подобие в геометрии - пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. В гидрогазодинамике под геометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки, т. е. подобие

подобными не только рассматриваемые участки русел, но и те, которые расположены непосредственно перед ними и за ними и которые влияют на характер течения в рассматриваемых участках. Отношение двух сходственных размеров подобных русел назовем линейным масштабом и обозначим k. L. Для подобных русел I и II величина k. L одинакова (idem), т. е. k = L /L = idem.

Кинематическое подобие означает пропорциональность местных скоростей в сходственных точках и равенство углов, характеризующих направление этих скоростей: где kυ - масштаб скоростей, одинаковый при кинематическом подобии. Так как υ = L / T, kυ = k. L / k. T (где Т - время, k - масштаб времени).

Из кинематического подобия вытекает геометрическое подобие линий тока. Очевидно, что для кинематического подобия требуется геометрическое подобие русел. Динамическое подобие - это пропорциональность сил, действующих на сходственные объемы в кинематически подобных потоках и равенство углов, характеризующих направление этих сил.

В потоках жидкостей обычно действуют разные силы: силы давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение их пропорциональности это полное гидродинамическое подобие. Осуществление его на практике затруднительно, поэтому обычно имеют дело с частичным (неполным) подобием, при котором соблюдается пропорциональность лишь основных,

Для напорных течений в закрытых руслах (для потоков в трубах, в гидромашинах и т. п. ) такими силами являются силы давления, вязкости и силы инерции. На Ж действует также сила тяжести, но в напорных потоках ее действие проявляется через давление, т. е. сводится к соответствующему изменению давления. Сила тяжести учитывается через так называемое приведенное давление: рпр = р + ρgz.

Силы инерции определяются произведением массы на ускорение (F=та), а их отношение в подобных потоках равно масштабу сил: где kρ - масштаб плотностей.

Таким образом, силы инерции пропорциональны плотности, скорости во второй степени и размеру L во второй степени, который в свою очередь, пропорционален площади S: Fин 2. ρSυ 2 Величине ρSυ пропорциональны также силы, с которыми поток воздействует (или способен воздействовать) на преграды, лопасти гидромашин, обтекаемые тела (выводится из уравнения количества движения (импульса сил) см. след. слайд).

Для материального тела массой т, движущегося со скоростью υ, изменение количества движения за время dt вследствие действия силы F выразится векторным уравнением где - приращение количества обусловленное импульсом движения,

Примем силы инерции за основу и будем другие силы, действующие на Ж, сравнивать с инерционными, 2. т. е. с выражением ρSυ Таким образом, для гидродинамически потоков I и II имеем подобных (*)

Это отношение, одинаковое для подобных потоков, называют числом Ньютона и обозначают Ne. Под F подразумевается основная сила: сила давления, вязкости, тяжести или др. Следовательно, соотношение (*) представляет собой общий вид закона гидродинамического подобия. Рассмотрим три характерных случая воздействия на движущуюся Ж основных сил и найдем условия

1. На Ж действуют лишь силы давления и инерции. 2 и условие Тогда F = p. S p. L (*) примет вид (* *) где р - некоторая разность давлений (или просто давление); Еu - безразмерный критерий, называемый числом Эйлера.

условием гидродинамического подобия геометрически подобных потоков в данном случае является Следовательно, равенство для них чисел Эйлера. Из предыдущего ясен физический смысл числа Эйлера: это есть величина, пропорциональная отношению сил давления к силам инерции.

2. На Ж действуют силы вязкости, давления и инерции. Тогда и условие (*) после деления последнего выражения на ρυ2 L 2 примет вид или (***) где Re - безразмерный критерий, называемый числом Рейнольдса.

условием гидродинамического подобия Следовательно, геометрически подобных потоков в этом случае является равенство чисел Рейнольдса, подсчитанных для сходственных сечений потоков. Последнее условие является особенно важным в данном курсе, так как им устанавливается основной критерий подобия напорных потоков - число Рейнольдса.

За характерный размер L при подсчете числа Рейнольдса должен приниматься поперечный размер потока, например, диаметр сечения. Из предыдущего ясен физический смысл числа Рейнольдса: это есть величина, пропорциональная отношению сил вязкости к силам инерции.

3. На Ж действуют силы тяжести, давления и инерции. Тогда F ρg. L 3 и условие (*) принимает вид или (****) где Fr - безразмерный критерий, называемый числом Фруда.

Следовательно, условием гидродинамического подобия геометрически подобных потоков в данном случае является равенство чисел Фруда. Из предыдущего ясно, что число Фруда это величина, пропорциональная отношению сил инерции к силам тяжести. Критерий Фруда является важным безнапорных течений в открытых руслах, для при рассмотрении

связи между гидродинамическим подобием и уравнением Бернулли – рассмотрим Для установления два напорных потока I и II, которые подобны другу гидродинамически (рис. ), и отметим на них сходственные сечения 1 -1 и 2 -2. 14 12 09 стэ 31 Рис. Подобные потоки

Запишем для указанных сечений одного из потоков уравнение Бернулли в предположении, что Ж идеальная. Это соответствует первому из рассмотренных выше случаев, так как на Ж будут действовать лишь силы давления и инерции. Будем иметь где р1 и р2 - приведенные давления.

Используя уравнение расхода υ1 S 1 = υ2 S 2, исключим скорость υ1 и, перегруппировав члены уравнения, приведем его к безразмерному виду. Для этого 2/(2 g) и разделим уравнение на υ2 получим (I′)

Правая часть уравнения (I′) одинакова для подобных потоков вследствие геометрического подобия, а левая часть (удвоенное число Эйлера 2 Еu), - одинакова вследствие динамического подобия, и все уравнение (I′) одинаково для подобных потоков идеальной Ж. Таким образом, для обеспечения гидродинамического подобия напорных потоков идеальной Ж достаточно одного геометрического подобия.

Теперь запишем уравнение Бернулли для тех же сечений 1 -1 и 2 -2 одного из напорных потоков вязкой Ж, подобных гидродинамически. Будем иметь где ζ - коэффициент потерь энергии между рассматриваемыми сечениями.

После приведения этого уравнения к безразмерному виду подобно предыдущему получим (I′′) Число Еu одинаково для подобных потоков рассматриваемых вследствие их динамического подобия; коэффициенты Кориолиса 1 и 2 одинаковы из-за кинематического подобия, следовательно, одинаковым будет и коэффициент потерь ζ, а также все

В подобных потоках в трубах постоянного сечения одинаковым будет и коэффициент потерь на трение по длине ( ). Итак, в подобных напорных потоках имеем равенство безразмерных коэффициентов и чисел , ζ, , Eu, Re и некоторых других, которые введем позднее.

Изменение числа Re означает, что изменяется соотношение основных сил в потоке, в связи с чем указанные коэффициенты также могут измениться. Поэтому все коэффициенты надо рассматривать как функции числа Re - основного и определяющего критерия для напорных потоков вязкой жидкости (хотя в некоторых интервалах числа Re эти коэффициенты могут оставаться постоянными).

При экспериментах и моделировании напорных течений в лаб. условиях необходимо: 1) обеспечить геометрическое подобие модели (I) и натуры (II), включая условия входа и выхода; 2) соблюсти равенство чисел Re: Re. I = Re. II. Из 2) получаем необходимую скорость потока при эксперименте B частном случае, при νI=νII скорость при эксперименте должна быть больше натурной в LII/LI раз. Применяя менее вязкую Ж (или ту же Ж, но при повышенной температуре) можно снизить скорость υ.

Помимо критериев подобия Еu, Rе, Fr для особых случаев течения Ж применяют и другие критерии. Так, при рассмотрении течений, связанных с поверхностным натяжением (например, при распаде струи на капли, распыливании топлива в двигателях), вводят критерий Вебера (We), равный отношению сил поверхностного натяжения к силам инерции. Для этого принимает вид случая условие (*) We= L/(ρυ2 L 2)= /(ρυ2 L) = idem.

При рассмотрении неустановившихся (нестационарных) периодических течений с периодом Т (например, течений в трубопроводе, присоединенном к поршневому насосу) вводят критерий Струхаля (Sh), учитывающий силы инерции от нестационарности (локальные силы 3) и инерции). Они ~ массе (ρL ускорению dυ/dt, которое, в свою очередь, пропорционально υ/Т. Условие (*) для этого случая принимает вид ρL 3υ/(ρυ2 L 2 T) = L/(υT) = idem или Sh = υT/L = idem. не было ρ в скобках

При рассмотрении движений Ж с учетом ее сжимаемости (например, движений эмульсий) вводят критерий Маха (М), учитывающий силы упругости (пропорциональны площади (L 2) и объемному модулю упругости К = ρс2 [см. формулу ранее]). Поэтому силы упругости пропорциональны ρс2 L 2 и условие (*) принимает вид 2 L 2/(ρυ2 L 2) = c 2/(υ2) = idem ρc или М = υ/c = idem. Потеряна была 2 у L

Критерий Маха имеет очень большое значение при рассмотрении движений газа. Чем ближе число М к единице, тем больше влияние сжимаемости газа при его движении. В применении к жидкостям вместо числа М иногда используют число Коши, равное 2/К 2=М 2. Ca=ρυ Вместо к было с