Геометрия. 11 класс. 29. 11. 2016 2/12/17

Геометрия. 11 класс. 29. 11. 2016 2/12/17 02: 27: 35 AM

Повторение: а b а 2/12/17 02: 27: 35 AM 2 аb. S 2 а. S

ah a ab c ab Площадь треугольника 2/12/17 02: 27: 36 AM 3 aha. S 21 cpbpapp. S sin 2 1 ba. S R abc S 4 rp. S 2 сва р

Площадь трапеции h ab Площадь параллелограмма h a 2/12/17 02: 27: 36 AM 4 h ba S 2 аh. S

Площадь круга r Площадь кругового сектора r α 2/12/17 02: 27: 36 AM 52 r. S 3 60 2 r S

Длина окружности r Длина дуги окружности r α 2/12/17 02: 27: 37 AM 6 r. C 2 180 r l

1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 2/12/17 02: 27: 37 AM 9963 2 1 S 1894 2 1 S

S 2 S 3 S 1 S 2/12/17 02: 27: 38 AM 10321 SSSSSпр

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. ). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 2/12/17 02: 27: 38 AM 11284 2 95 S 142 2 95 S

2. Найдите (в см 2 ) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. ). 2/12/17 02: 27: 38 AM

2/12/17 02: 27: 39 AM 133. Найдите (в см 2 ) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. ).

4. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0; 0), (10; 8), (8; 10). 2/12/17 02: 27: 39 AM

5. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты (1; 7), (4; 1), (4; 4), (1; 10). 2/12/17 02: 27: 39 AM

6. Найдите (в см²) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. ). В ответе запишите S/π. 2/12/17 02: 27: 40 AM

7. Найдите площадь сектора круга радиуса , центральный угол которого равен 90˚. 2/12/17 02: 27: 40 AM 17 4 4 90 3 60 4 4 2 S 4 844 411 4 4 44 4 S

8. Периметр треугольника равен 88, а радиус вписанной окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника. 2/12/17 02: 27: 40 AM 18 rp. S 880 S

9. Площадь сектора круга радиуса 15 равна 105. Найдите длину его дуги. 2/12/17 02: 27: 41 AM 19225 3 60105 2 3 60 r S 3 60 2 r S 168 14 168 180 15 l

10. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150. Боковая сторона треугольника равна 9. Найдите площадь этого треугольника. 15019 2/12/17 02: 27: 41 AM

Задания 14. ЕГЭ. Координатный метод. 2/12/17 02: 27: 42 AM

Координаты многогранников. 2/12/17 02: 27: 42 AM

Единичный куб. х уz D (0; 0; 0) A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) B (1; 1; 0) D 1 (0; 0; 1) A 1 (1; 0; 1) C 1 (0; 1; 1) B 1 (1; 1; 1) 2/12/17 02: 27: 42 AM

Прямоугольный параллелепипед. х уz D (0; 0; 0) A (a; 0; 0) C (0; b; 0) B (a; b; 0) D 1 (0; 0; c) A 1 (a; 0; c) C 1 (0; b; c) B 1 (a; b; c) a b c 2/12/17 02: 27: 42 AM

Правильная шестиугольная призма. х у C F DE B A aa C (a; 0; 0) F (- a; 0; 0) х у z C 1 (a; 0; c) F 1 (- a; 0; c) a c 2/12/17 02: 27: 43 AM 353 2 a 1 2 a 3 ; ; 0 2 2 a a D 3 ; ; 0 2 2 a a E 3 ; ; 0 2 2 a a A 3 ; ; 0 2 2 a a B 1 3 ; ; 2 2 a a D c 1 3 ; ; 2 2 a a E c 1 3 ; ; 2 2 a a A c 1 3 ; ; 2 2 a a B c

Правильная треугольная призма. С 1 А ВСА 1 В 1 c a х уz O 2/12/17 02: 27: 43 AM 362 a 3 2 a ; 0; 0 2 a A 3 0; ; 0 2 a B ; 0; 0 2 a C 1; 0; 2 a A c 1 3 0; ; 2 a B c 1 ; 0; 2 a C c

Правильная треугольная пирамида. х y Oz Hh 2/12/17 02: 27: 44 AM 372 a 3 6 a ; 0; 0 2 a A ; 0; 0 2 a B 3 0; ; 0 2 a C 3 0; ; 6 a S h

Правильная четырехугольная пирамида. a h х yz h 2/12/17 02: 27: 44 AM 382 a ; ; 0 2 2 a a B ; ; 0 2 2 a a C ; ; 0 2 2 a a D ; ; 0 2 2 a a A 0; 0; S h

Правильная шестиугольная пирамида. х y z ah C (a; 0; 0) F (- a; 0; 0) 2/12/17 02: 27: 45 AM 393 ; ; 0 2 2 a a D 3 ; ; 0 2 2 a a E 3 ; ; 0 2 2 a a A 3 ; ; 0 2 2 a a B 0; 0; S h

Расстояние от точки до плоскости. 2/12/17 02: 27: 45 AM

Расстояние от точки М(x 0 ; y 0 ; z 0 )до плоскости ax + by + cz + d = 0. Например: 2/12/17 02: 27: 45 AM 41 0 0 0 2 2 2 ; ax by cz d M a b c 3; 1; 2 M 3 4 12 2 0 x y z 22 2 3 3 4 1 12 2 227 ; 13 3 4 12 M

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости имеет вид Числа a, b, c находим из системы уравнений 2/12/17 02: 27: 46 AM 42; ; m m m. M x y z ; ; n n n. N x y z ; ; p p p. P x y z 0 ax by cz d 0 0 0 m m m n n n p p p ax by cz d

Например: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки — уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. 2/12/17 02: 27: 46 AM 430; 1; 0 M 1; 0; 0 N 1; 1; 1 P 0 ax by cz d 0 1 0 0 0 1 1 1 0 a b c d 0 0 0 b d a b c d 0 b d a d d d c d b d a d c d 0 dx dy dz d : d 1 0 x y z

№ 1 В единичном кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости (BDC 1 ). х уz A 1 (1; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C 1 (0; 1; 1) Запишем уравнение плоскости DBC 1. 2/12/17 02: 27: 46 AM 440 ax by cz d 0 0 1 1 0 a b c d

A 1 (1; 0; 1) Найдем искомое расстояние по формуле Ответ: 2/12/17 02: 27: 47 AM 450 0 0 d a b d b c d 0 d a b c b 0 bx by bz : b 0 x y z 1 1 2 2 2 1 1 1 0 1 12 2 3 ; ( ) 331 ( 1) 1 A BC D 0 0 0 2 2 2 ; ax by cz d M a b c

х у z№ 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF 1 ) F 1 (- 1; 0; 1) Запишем уравнение плоскости DC 1 F 1. C 1 (1; 0; 1) 1 1 2/12/17 02: 27: 47 AM 461 3 ; ; 0 2 2 A 1 3 ; ; 0 2 2 D 0 ax by cz d

2/12/17 02: 27: 48 AM 47 1 0 1 3 0 0 2 2 1 0 a b c d 0 1 3 0 2 2 0 a c d a b d a c d 0 2 3 a c d b d 2 0 0 3 x dy dz d : d 2 1 0 3 y z

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ: 2/12/17 02: 27: 48 AM 48 0 0 0 2 2 2 ; ax by cz d M a b c 2 0 1 0 3 x y z 1 3 ; ; 0 2 2 A 1 12 22 1 2 3 0 1 2 232 3 ;

Расстояние между скрещивающимися прямыми. 2/12/17 02: 27: 48 AM

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую, параллельно первой. b c. A B 2/12/17 02: 27: 49 AM 50 b P ; b c; b ;

№ 1. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми АD 1 и ВD. х уz 2/12/17 02: 27: 49 AM 511; AD BD 1 1; AD BDC 1 1 AD BCP 1; A BDC 1 1( )AD DBCP

A (1; 0; 0) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C 1 (0; 1; 1) Запишем уравнение плоскости BDC 1. Найдем искомое расстояние по формуле 2/12/17 02: 27: 50 AM 520 ax by cz d 0 0 1 1 0 a b c d 0 d a b c b 0 x y z 0 0 0 2 2 2 ; ax by cz d M a b c 0 bx by bz

A (1; 0; 0) Ответ: 2/12/17 02: 27: 50 AM 530 x y z 1 2 2 2 1 1 1 01 3 ; ( ) 331 ( 1)

№ 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми АS и ВС. х yz 1 1 h O 2/12/17 02: 27: 50 AM 54 BC ADP ; AS BC ( )BC ADSP ; BC ADS ; B ADS 2 AC 2 2 OC 2 2 1 2 2 h

Запишем уравнение плоскости ADS. 2/12/17 02: 27: 51 AM 551 1 ; ; 0 2 2 B 1 1 ; ; 0 2 2 A 1 1 ; ; 0 2 2 D 2 0; 0; 2 S 1 1 0 0 2 2 2 0 0 0 2 a b c d 1 1 0 2 2 2 0 2 a b d c d

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ: 2/12/17 02: 27: 51 AM 560 2 2 a b d c d 0 2 2 0 x dy dz d : d 0 2 2 1 0 x y z 1 1 ; ; 0 2 2 B 0 0 0 2 2 2 ; ax by cz d M a b c 2 2 2 1 1 0 2 2 0 1 2 62 2 ; ( ) 36 0 2 2 B AS