где – магнитная постоянная. , αsind π4

где – магнитная постоянная. , αsind π4 μ d 20 rl. I B Гн/м 10π4μ 7 0 1 Закон Био–Савара–Лапласа для вакуума можно записать так:

Магнитное поле прямого тока. Все вектора в данной точке имеют одинаковое направление (за чертеж). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. B d Пусть точка, в которой определяется магнитное поле, находится на расстоянии b от провода. . sin d d; sin 2 br lb r d b I b db Id. B sin 4 sin sin 4 0 2 2 2 0 Из рисунка видно, что: Подставив найденные значения r и d l в закон Био–Савара–Лапласа, получим:

Для конечного проводника угол α изменяется от α 1 до α 2. Тогда: Для бесконечно длинного проводника α 1 = 0, а α 2 = , тогда: или. αcos π4 μ αdαsin π4 μ d 2 1 α α 21 00 α α b I BB b I B π2 μ 0. 2 π4 μ 0 b I B =1=

r IL B 2 0 I

Магнитное поле кругового тока Рассмотрим поле, создаваемое током I , текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R. βsindd||BB r R βsin

т. к. угол между и α – прямой, то тогда получим : βsindd||BB r R βsin ld r , 1αsin. d π4 μ dd 2 0 || r R r l. I r R BB (1. 6. 1)

Подставив в (1. 6. 1) и, проинтегрировав по всему контуру получим выражение для нахождения магнитной индукции кругового тока : При х = 0 , получим магнитную индукцию в центре кругового тока : 22 x. Rr Rlπ2 . 2 4 d 2 3 22 2 0 R 2 0 3 0 || x. R IR l r IR BB R (1. 6. 2) R I B 2 μ 0 (1. 6. 3)

r I B o 2 0 I

Заметим, что в числителе – магнитный момент контура. Тогда, на большом расстоянии от контура, при , магнитную индукцию можно рассчитать по формуле: m. PISRI 2 π x. R. 2 π4 μ 3 0 x P B m . 2 42 322 2 0 x. R IR

Рассмотрим еще одно важное следствие из закона Био–Савара–Лапласа, которое облегчает расчеты магнитных полей. Допустим, что по проводнику течет ток I. По закону Био–Савара–Лапласа можно рассчитать напряженность в точке М. I H L rdl М 2 4 sin r. Idl H Проведем в магнитном поле замкнутую линию L и разделим ее на участки dl. Для каждого участка будет справедливо выражение где β – угол между H и касательной к линии. Просуммируем вдоль всей линии эти выражения cos. Hdl IHdlcos Если изменить направление тока в проводнике, то в каждой точке поля вектор Н изменит свое направление на противоположное, косинусы углов будут иметь противоположный знак, интеграл сделается отрицательным. Знак интеграла изменится и при изменении направления обхода по линии L. IBdl 0 cos

Поэтому направление обхода и напрваление тока должны быть связаны правилом знаков: Если буравчик вращать по выбранному нами направлению обхода линии L , то его перемещение соответствует положительному направлению тока I. Выражение не зависит ни от формы контура с током, ни от формы замкнутой линии L. Если линия охватывает несколько проводников с токами I 1 , I 2 , … то по принципу суперпозиции , интеграл будет равен сумме этих токов. Если линия охватывает один и тот же проводник n раз, то интеграл равен n · I Если линия L не охватывает токов, то интеграл равен нулю. IHdlcos

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности вдоль данной замкнутой линии обхода. ld. HHdl cos i IHdl Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля или закон полного тока Циркуляция вектора напряженности равна алгебраической сумме токов i IBdl

S B Ф 0 Sd. B Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции (1. 7. 1)Поток вектора через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом: Это теорема Гаусса для Ф В (в интегральной форме): поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

cos. Bd. Sd

В природе нет магнитных зарядов – источников магнитного поля , на которых начинались и заканчивались бы линии магнитной индукции. Заменив поверхностный интеграл в (1. 7. 1) объемным, получим: где – оператор Лапласа. V VB 0 d(1. 7. 2) zyx

М агнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция всюду равна нулю : или Электростатического поля может быть выражено скалярным потенциалом φ , а магнитное поле – вихревое, или соленоидальное 0 Bdiv .

Основные уравнения магнитостатики • Основные уравнения магнитостатики для магнитных полей, созданных постоянными потоками зарядов, записанные в дифференциальной форме, имеют вид div B = 0 , rot B = 0 j. Первое из этих уравнений говорит, что дивергенция вектора В равна нулю. • Если сравнить его с аналогичным уравнением для электрического поля 0 div E то можно прийти к выводу, что магнитного аналога электрического заряда не существует. Нет зарядов, из которых выходят линии вектора магнитной индукции В.

• Магнитные линии образуют петли вокруг токов. • Не имея ни конца, ни начала, линии В возвращаются в исходную точку, образуя замкнутые петли. • В любых, самых сложных случаях линии В не исходят из точек. • Утверждение, что div В = 0 , справедливо всегда. = 0 j. • Возникают магнитные поля в присутствии токов и являются вихревыми полями в области, где есть токи. • Векторная функция векторного аргумента – ротор, взятая от В, пропорциональна плотности токаzyx. BBB zyx kji Brot

Сравнив уравнения магнитостатики rot В = 0 j , div В = 0 с уравнениями электростатики rot Е = 0, div Е = можно заключить, что электрическое поле всегда потенциально, а его источниками являются электрические заряды.

Поле движущегося заряда Полагая, что в элементе тока I·dl содержится Δ n электронов, имеющих скорости упорядоченного движения V , найдем индукцию поля, создаваемую в данной точке одним движущимся электроном. n B B Так как сила тока I = Δ n · e· V ·S sin 4 sin 1 4 2 0 r Sve rn Sven B sin d 4 d 2 0 r l. I

Напряженность магнитного поля внутри длинного соленоида с током Соленоид в магнетизме – аналог конденсатора в электричестве. Поле внутри бесконечного соленоида однородно Выберем контур обхода так, чтобы участки 1 -2 и 3 -4 проходили внутри силовой линии, а 2 -3 и 4 -1 были перпендикулярны ей. Участок 1 -2 расположен внутри соленоида, а 3 -4 вдали от соленоида, где поле мало. Длину Δ l выберем такую, чтобы на протяжении нее величину напряженности можно было бы считать одинаковой. Для этого плотность обмотки, т. е. число витков на единицу длины n 1= Δ n /Δ l должна быть достаточно большой. Циркуляция вектора Н по контуру 1 -2 -3 -4 равна 4 3 1 4 3 2 2 1 Hdl

Второй и четвертый интегралы равны нулю, т. к. , а третьим интегралом пренебрегаем, ввиду малости поля вне соленоида. 4 3 1 4 3 2 2 1 Hdl dl. HHdl. Hdl 2 1 Тогда H · d l = Σ I i = Δ n · I ; In l n. I H 1 Результат расчета в любой точке сечения соленоида будет одинаковой. Произведение nn 11 ·· II называется числом ампер-витков на метр. В величину магнитной индукции на оси соленоида симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад. Поэтому у конца полу бесконечного соленоида на его оси величина индукции равна: В = ½ μ 0 · n 1 · I

напряженность магнитного поля внутри толстых проводников с током Если проводник прямолинейный и бесконечно длинный, то вдоль этой линии обхода напряженность магнитного поля будет везде одинакова и в каждой точке направлена по касательной (так как линия обхода совпадает с силовой линией, cos β =1 в формуле cosdl. H r. HHdl 2 тогда Эта линия охватывает площадь S = π r 2. Если плотность в различных местах проводника одинакова, то ток, проходящий через S , и охватываемый линией обхода, I = j · S , тогда H · 2π r = j ·π r 2 H =½ j · r 2 R I j Т. к. r R I H

Таким образом, на оси проводника ( r =0) напряженность поля Н=0, а по мере удаления от оси – растет прямо пропорционально расстоянию. В точках за пределами объема проводника напряженность магнитного поля обратно пропорциональна расстоянию от оси проводника R I H 2 r R I H

Закон Ампера F = I·L·B·sina I — сила тока в проводнике; B — модуль вектора индукции магнитного поля; L — длина проводника, находящегося в магнитном поле; — угол между вектором магнитного поля и направлением тока в проводнике. Силу, действующую на проводник с током в магнитном поле, называют силой. Ампера. На прямолинейный участок длиной dl проводника с током I , находящийся в магнитном поле, действует сила, равная. Bld. IFd , Максимальная сила Ампера равна: F = I·L·B Ей соответствует α = 90 0. или

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки : если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная составляющая вектора магнитной индукции В входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по направлению тока, то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление силы, действующей на отрезок проводника с током, то есть силы Ампера.

Зная закон Ампера, можно получить выражение для силы, с которой магнитное поле действует на движущийся заряд. Пусть n – число упорядоченно движущихся электронов в единице объема проводника V — скорость движущихся электронов S – площадь сечения проводника Тогда I = n · e· V ·S = j · S , а элемент тока I · dl = j · S = n · e· V ·S · dl = N · e· V N — число упорядоченно движущихся электронов в объеме участка тока. На 1 заряд действует сила sinsin )sin(1 Bve N ve. NB Bdl. I NNd. F n· Δ V = N или в векторной записи ][Bve. F Сила Лоренца

Сила Лоренца Направление силы Лоренца зависит от знака заряда и перпендикулярна к плоскости, в которой лежат вектора V и B Обратите внимание, что сила Лоренца перпендикулярна скорости и поэтому она не совершает работы, не изменяет модуль скорости заряда и его кинетической энергии. Но направление скорости изменяется непрерывно направление силы Лоренца определяется с помощью того же правила левой руки, что и направление силы Ампера: если левую руку расположить так, чтобы составляющая магнитной индукции В, перпендикулярная скорости заряда, входила в ладонь, а четыре пальца были направлены по движению положительного заряда (против движения отрицательного), то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление действующей на заряд силы Лоренца F л.

Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, то на заряд действует сила BVq. Eq. F Пусть два одноименных точечных заряда q 1 и q 2 движутся вдоль параллельных прямых со скоростью V << C. Сравним силы, действующие на заряды со стороны электрического F эл и магнитного F магн полей. 2 21 0 21 4 1 r qq FFэлэл 2 2 210 211 4 r Vqq BVq. Fмагн F магн действующая на заряд q 1 2 20 3 0 21 44 r Vq r r. Vq

Отношение магнитной силы к электрической будет: 2 2 2 00 2 21 0 2 2 210 4 14 CV V r qq r Vqq FF э м то есть магнитная сила слабее кулоновской силы на множитель, пропорциональный V 2 / C 2 Таким образом, магнитное взаимодействие между движущимися зарядами является релятивистским эффектом (как следствие закона Кулона). Магнетизм исчез бы, если бы скорость света приблизилась к бесконечности. Он отсутствует у неподвижных зарядов ( V = 0). Электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, и образуют единое электромагнитное поле.

Значение величины μ 0 содержится в определении силы Ампера : 1 Ампер=1 А это сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызывал бы между этими проводниками силу, равную 2*10 -7 Н на каждый метр длины. Величину μμ 00 – называют магнитной постоянной , а также магнитной проницаемостью вакуума. Произведение μμ ·· μμ 00 — абсолютная магнитная проницаемость данной среды. Относительной магнитной проницаемостью данной среды по отношению к вакууму называют безразмерную величину μμ , которая показывает во сколько раз сила, действующая на движущиеся заряды и проводники с током в данной среде больше, чем в вакууме.