Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0

Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если она определена в этой точке (т. е. существует значение функции в этой точке f(x 0 ) ) и имеет конечный предел при 0 xx равный значению функции в этой точке: )()(lim 0 0 xfxf xx

Функция x y 1 не является непрерывной в точке х=0 , т. к. не существует значения функции в этой точке: 1 0 1 )0(y

Функция 0, 1 xx xx y существует в точке х=0 , т. к. у(0)=1 2 Рассмотрим пределы этой функции в точке х=0. 1)1(lim 00 xx. Предел слева: Предел справа: 1)1(lim 00 x x Эти пределы неравны, следовательно общего предела не существует и функция не является непрерывной в этой точке.

Функция 2 xy является непрерывной в точке х=0, т. к. существует значение функции в этой точке: y(0)=0 3 и существует предел 0 lim 2 0 x x

Определение непрерывности функции может быть записано в виде: )lim()(lim 00 xfxf xxxx

Непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью графика при прохождении этой точки. Рассмотрим график функции y=f(x). Дадим аргументу x 0 приращение Δ x. Тогда функция получит приращение Δ y : )()( 00 xfxxfy Графически:

x y)(xfy 0 xxx 0 )(0 xf )(0 xxf. M N 0 M y

Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если она определена в точке x 0 и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: 0 lim 0 y x

Точка x 0 называется точкой разрыва функции f(x) , если в этой точке функция не является непрерывной.

Точка x 0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x) , если хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности или не существует. Точка x 0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x) , если существуют односторонние пределы функции слева и справа при Точки разрыва бывают 1 и 2 рода. 0 xx

Функция x y 1 имеет точку разрыва второго рода х=0, поскольку: 1 x x 1 lim

Функция 0, 1 xx xx y 2 1)1(lim 00 xx 1)1(lim 00 x xимеет точку разрыва первого рода х=0, поскольку:

xy xy 1 1 x y 1 0, 1 xx xx y