Физика. Математика. Лекция 2 Лектор: Загитов Г. Н.

Физика. Математика. Лекция 2 Лектор: Загитов Г. Н.

Применение дифференциала для приближенных вычислений. Из определения производной функции: Можно записать: , или . Величина — бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x)Δx, т. е. f'(x)Δx- главная часть приращения у. Отбрасывая вторую часть в этой формуле, можем написать: Δy=f’(x)Δx или f(x+Δx)-f(x)=f’(x)Δx; отсюда можем вычислить значение функции в точке x+Δx: f(x+Δx)=f(x)+f ’(x)Δx ; если f(х) и f’(x) можно легко вычислить в точке x. αΔx

Пример : вычислить без таблицы Sin 29 • Sin 29 =Sin(30 -1 ), поэтому примем x=30 , а Δx=-1 . • Sin 29 =Sin 30 +Cos 30 (-0, 017)=0, 485. • 1 =3, 14/180=0, 017 • Sin’x=Cosx • Вычислите без таблицы lg 101.

Частные производные функций Допустим дана функция от двух переменных z=f(x, y). Считая у постоянной величиной найдем частное производное по x: ==; и считая x постоянной-частное производное по y: = •

Частные и полный дифференциал функции Находим частные дифференциалы функции по переменным x и y: =; =dy=dy. Сумма частных дифференциалов называется полным дифференциалом. dz(x, y)=+=+dy. •

Задача : найдите абсолютную погрешность в определении объема цилиндра, если при измерениях были получены радиуса r= (6± 0, 1) см и высоты h=(10± 0, 2) cм. Решение: Объем цилиндра: V=h. Принимая за погрешность дифференциал функции получаем: ΔV=d. V=dr+=2πrhΔr+Δh= r(2 h Δr+r Δh)= 3, 14× 6(2× 10× 0, 1+6× 0, 2)=603. •

Интегральное исчисление. Первообразная функция. Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F (x) = f(x). Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

Неопределенный интеграл. Определение : Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. Записывают : ; )()(Cx. Fdxxf

dxx 1, 1 1 C x cedxe xx x dx Cxln CSinxxdxcos CCosxxdxsin C a ax ln Ctgxdx x 2 cos 1 cctgxdx x 2 sin 1 2 1 x dx Carctgx

Свойства: где u, v, w – некоторые функции от х. Пример: ); ())(()(. 1 xf. Cx. Fdxxf ; )()(. 2 dxxfd ; )()(. 3 Cx. Fxd. F ; )(. 4 wdxvdxudxdxwvu ; )()(. 5 dxxf. C ; cos 2 3 1 sin 2)1 sin 2( 322 Cxxxdxxdxxx

Методы интегрирования А) Непосредственное интегрирование.

Б) Способ подстановки (замены переменных).

В) Интегрирование по частям.

Пример. Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства. dxexxe xvxdxdv dxedueu xdxe xx xx x 22 22 2 2 sinsin sin; cos ; 2; cos dxxexe xedxexxexe xvxdxdv dxedueu xx xx 22 22 cos 4 cos 2 sin 2 coscos 2 sin ; cos; sin ; 2; . )cos 2(sin 5 cos 2 2 Cxx e xdxe x x

Определенный интеграл • Пусть на отрезке [ab] задана непрерывная функция y=f(x)

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. S n = f( 1 ) x 1 + f( 2 ) x 2 + … + f( n ) x n = Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку . x 0 < 1 < x 1 , x 1 < 2 < x 2 , … , x n-1 < n < x n. Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что max x i 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется опреде- ленным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]: n i iixf 1 )( n i iinxf. S 1 )(

Свойства определенного интеграла. 4. Если f(x) ( x) на отрезке [a, b] a < b, то; )()(. 1 b a dxxf. Adxx. Af b a b a dxxfdxxfxf)()())()((. 32121 0)(. 2 a a dxxf b a dxxdxxf)()(

5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: 6. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка такая, что b a ab. Mdxxfabm)()()( b a a b dxxf)()(.

8. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство : Теорема: ( Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то b ab a a. Fb. Fdxxf F(x) =)()()(

Пример. . 4 sin 4 1 4 2 sin 2 1 )2 cos 1( 2 1 coscossin 1 2/; 0 ; sin 1 2/ 0 2 1 0 2 tt dtttdttdtt tx dxx

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x 2 , x = 2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную (аргумент) х , искомую функцию y = f ( x ) и ее производные различных порядков y ′ , y ′′ , . . , : F ( x , y ′′ , …, )= 0. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Например, дифференциальные уравнения

Решением дифференциального уравнения называется такая функция y = y ( x ) , которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция y = + Cx , где С – любая постоянная величина, является решением дифференциального уравнения y ′ x −− y = 0. Заметим, что данное дифференциальное равнение имеет бесконечное множество решений, так как С – произвольная постоянная величина. Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется функция y=f (x, , , . . , ) , зависящая от х и n произвольных независимых постоянных, обращающая это уравнение в тождество при любых значениях постоянных , , . Частным решением дифференциального уравнения n -ого порядка называется решениеy=f (x, ), где — фиксированные числа, которое получается из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным , , .